上海市2022届春季高考数学试卷

上海市2022届春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．（2022·上海）已知 ，则 　 　
2．（2022·上海）已知 ， ，则 　 　
3．（2022·上海）不等式 的解集为　 　
4．（2022·上海）已知 ，则 　 　
5．（2022·上海）已知方程组 有无穷解，则 的值为　 　
6．（2022·上海）已知函数 的反函数为 ，则 　 　
7．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为　 　
8．（2022·上海）在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　
9．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为　 　
10．（2022·上海）在△ABC中， ， ，M为AC的中点，P在AB上，则 的最小值为　 　
11．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是　 　
12．（2022·上海）已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2022·上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（　　）次
A．0 B．2 C．4 D．12
16．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（2022·上海）如图，在圆柱 中，底面半径为1， 为圆柱母线.
（1）若 ，M为 中点，求直线 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
18．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
20．（2022·上海）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
21．（2022·上海）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
（1）若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
（2）若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；
（3）若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，求证： 在R上单调递增.
答案解析部分
1．【答案】2-i
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z=2+i，
∴
故答案为：2-i
【分析】根据共轭复数的定义求解即可.
2．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴(1，2)
故答案为：(1，2)
【分析】根据交集的定义求解即可.
3．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0故答案为： .
【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.
4．【答案】-2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：-2
【分析】根据和角的正切公式求解即可.
5．【答案】4
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质；方程组解的个数与两直线的位置关系
【解析】【解答】解：∵方程组 有无穷解，
∴两直线重合
∴
解得m=4
故答案为：4
【分析】根据方程组解的个数与直线的位置关系直接求解即可.
6．【答案】3
【知识点】反函数
【解析】【解答】解：∵函数 的反函数为 ，
∴令x3=27，得x=3
即 3
故答案为：3
【分析】根据反函数的定义直接求解即可.
7．【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
8．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=c，AC=b，BC=a，则c=2，b=3，
则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
∴
则由正弦定理得，
则R=
故答案为：
【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.
9．【答案】17
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，
①千位数为3或4的四位数，共有个；
②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有个；
③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143.
根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17
故答案为：17
【分析】根据分类加法计数原理与根据分步加法计数原理，结合排列组合求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意知，可以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)，
由题意可设P(x，2-x)，
则，
则
则当时， 取得最小值为
故答案为：
【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.
11．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
12．【答案】2
【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算
【解析】【解答】解：因为 为奇函数，
所以关于原点对称，
又 关于直线 对称，
则函数的周期为T=4(1-0)=4，
又因为 当 时， ，
作出函数的图象，如图所示，
则由题意知， 的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 .
故答案为：2
【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.
13．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
14．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
15．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：根据直线与平面垂直的性质定理易知当相邻两个时钟在3时和9时的时候，时针相互垂直.
故答案为：B
【分析】根据直线与平面垂直的性质定理求解即可.
16．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1，q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
17．【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO1与底面的夹角为∠MO1A1
则由题意得，
则∠MO1A1= ；
（2）设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
则因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r=2
所以圆柱的侧面积为
圆柱的体积为
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可.
18．【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
19．【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
20．【答案】（1）由题意知，∵ ∠AFB ，
∴在Rt△BOF中，BF=2OB，即a=2b=2
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意知A(-a，0)，B(0，-1)，C(a，2)，D(a，1)，
则直线BC：
直线AD：
则由得交点为，符合椭圆 ，故交点在椭圆上；
（3）设P为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)，
则，
则直线BP：，
∴点，
同理可得，设Q为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a，0)，
则，
则直线AQ：，
∴点，
∴
设，则
∵
∴
∴|CD|≥6
即|CD|的最小值为6
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；
(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；
(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.
21．【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示
①当时，h(x)≤f(x)恒成立；
②当时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
解得或，
综上可得或，
故解集为：
（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，
∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 在 上单调递增
∴x-t则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)
得f(x-t)∴f(x)-f(x-t)>0
则由①得
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
∴对t>0都成立，
则f(x)在R上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式及其解法；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.
1 / 1上海市2022届春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．（2022·上海）已知 ，则 　 　
【答案】2-i
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：∵z=2+i，
∴
故答案为：2-i
【分析】根据共轭复数的定义求解即可.
2．（2022·上海）已知 ， ，则 　 　
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴(1，2)
故答案为：(1，2)
【分析】根据交集的定义求解即可.
3．（2022·上海）不等式 的解集为　 　
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0故答案为： .
【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.
4．（2022·上海）已知 ，则 　 　
【答案】-2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：-2
【分析】根据和角的正切公式求解即可.
5．（2022·上海）已知方程组 有无穷解，则 的值为　 　
【答案】4
【知识点】直线的一般式方程与直线的性质；方程组解的个数与两直线的位置关系
【解析】【解答】解：∵方程组 有无穷解，
∴两直线重合
∴
解得m=4
故答案为：4
【分析】根据方程组解的个数与直线的位置关系直接求解即可.
6．（2022·上海）已知函数 的反函数为 ，则 　 　
【答案】3
【知识点】反函数
【解析】【解答】解：∵函数 的反函数为 ，
∴令x3=27，得x=3
即 3
故答案为：3
【分析】根据反函数的定义直接求解即可.
7．（2022·上海）在 的展开式中，含 项的系数为　 　
【答案】66
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得 的通项公式为(0≤r≤12，r∈N)
令36-4r=-4，得r=10，
则，
则 项的系数为66.
故答案为：66
【分析】根据二项式定理直接求解即可.
8．（2022·上海）在△ABC中， ， ， ，则△ABC的外接圆半径为　 　
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：设AB=c，AC=b，BC=a，则c=2，b=3，
则由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得
∴
则由正弦定理得，
则R=
故答案为：
【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可.
9．（2022·上海）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为　 　
【答案】17
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：由题意知符合要求的四位数分成三类，
①千位数为3或4的四位数，共有个；
②千位数为2且百位数是3或4的四位数，共有个；
③千位数为2且百位数是1的四位数，只有一个数：2143.
根据分类加法计数原理得所求四位数的个数为12+4+1=17
故答案为：17
【分析】根据分类加法计数原理与根据分步加法计数原理，结合排列组合求解即可.
10．（2022·上海）在△ABC中， ， ，M为AC的中点，P在AB上，则 的最小值为　 　
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题意知，可以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，2)，B(2，0)，C(0，0)，M(0，1)，
由题意可设P(x，2-x)，
则，
则
则当时， 取得最小值为
故答案为：
【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.
11．（2022·上海）已知双曲线 ，双曲线上右支上有任意两点 ， ，满足 恒成立，则a的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图所示，取点P1关于x轴对称的点P3，则P3(x2，-y2)，分别在渐近线上取点M，N
则由 恒成立，得恒成立，
则∠P1OP3恒为锐角，
即∠MON≤90°，
则其中一条渐近线的斜率，
则
故答案为：
【分析】根据双曲线的几何性质，结合向量的数量积求解即可.
12．（2022·上海）已知 为奇函数，当 时， ，且 关于直线 对称，设 的正数解依次为 、 、 、 、 、 ，则 　 　
【答案】2
【知识点】函数的图象与图象变化；极限及其运算
【解析】【解答】解：因为 为奇函数，
所以关于原点对称，
又 关于直线 对称，
则函数的周期为T=4(1-0)=4，
又因为 当 时， ，
作出函数的图象，如图所示，
则由题意知， 的几何意义是相邻两条渐近线之间的距离2，即 .
故答案为：2
【分析】根据函数的图象与性质，结合极限的几何意义，运用数形结合思想求解即可.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
14．（2022·上海）已知 ，下列选项中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：对于A，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d对于B，因为 ，即a>b，c>d，则根据不等式的性质得 ，故B正确；
对于C， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad对于D，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
15．（2022·上海）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（　　）次
A．0 B．2 C．4 D．12
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：根据直线与平面垂直的性质定理易知当相邻两个时钟在3时和9时的时候，时针相互垂直.
故答案为：B
【分析】根据直线与平面垂直的性质定理求解即可.
16．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1，q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（2022·上海）如图，在圆柱 中，底面半径为1， 为圆柱母线.
（1）若 ，M为 中点，求直线 与底面的夹角大小；
（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.
【答案】（1）根据直线与平面所成角的定义，易知 直线MO1与底面的夹角为∠MO1A1
则由题意得，
则∠MO1A1= ；
（2）设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，
则因为圆柱的轴截面为正方形，
所以h=2r=2
所以圆柱的侧面积为
圆柱的体积为
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角
【解析】【分析】根据直线与平面所成角的定义，以及圆柱的侧面积与体积公式求解即可.
18．（2022·上海）已知数列 ， ， 的前n项和为 .
（1）若 为等比数列， ，求 ；
（2）若 为等差数列，公差为d，对任意 ，均满足 ，求d的取值范围.
【答案】（1）设等比数列的公比为q，则由题意得a1=2，
则
则
则
（2）由题意得
则(3-2n)d≤1
当n=1时，d≤1；
当n≥2时，恒成立；
∵
∴d≥0
综上
【知识点】极限及其运算；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等比数列的前n项和公式，结合极限求解即可；
（2）根据等差数列的前n项和公式，结合不等式的解法求解即可.
19．（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知 m， m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）若∠ADE ，求EF的长；
（2）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
【答案】（1）如图，作DH⊥EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，最大面积为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
20．（2022·上海）在椭圆 中，直线 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
（1）若∠AFB ，求椭圆 的标准方程；
（2）若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
（3）已知直线BC与椭圆 相交于点P，直线AD与椭圆 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 的最小值.
【答案】（1）由题意知，∵ ∠AFB ，
∴在Rt△BOF中，BF=2OB，即a=2b=2
则椭圆 的标准方程为 ；
（2）由题意知A(-a，0)，B(0，-1)，C(a，2)，D(a，1)，
则直线BC：
直线AD：
则由得交点为，符合椭圆 ，故交点在椭圆上；
（3）设P为(acosθ，sinθ)，又B(0，-1)，
则，
则直线BP：，
∴点，
同理可得，设Q为(-acosθ，-sinθ)，又A(-a，0)，
则，
则直线AQ：，
∴点，
∴
设，则
∵
∴
∴|CD|≥6
即|CD|的最小值为6
【知识点】直线的斜截式方程；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，运用数形结合思想求解即可；
(2)根据直线的斜截式方程，以及两直线的交点，结合点在椭圆上的判定求解即可；
(3)根据直线的斜截式方程，以及直线与椭圆的位置关系，运用换元法，结合两点间的距离公式以及不等式的性质求解即可.
21．（2022·上海）已知函数 ，甲变化： ；乙变化： ， .
（1）若 ， ， 经甲变化得到 ，求方程 的解；
（2）若 ， 经乙变化得到 ，求不等式 的解集；
（3）若 在 上单调递增，将 先进行甲变化得到 ，再将 进行乙变化得到 ；将 先进行乙变化得到 ，再将 进行甲变化得到 ，若对任意 ，总存在 成立，求证： 在R上单调递增.
【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示
①当时，h(x)≤f(x)恒成立；
②当时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
解得或，
综上可得或，
故解集为：
（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，
∵x∈R时，h1(x)=h2(x)恒成立
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 在 上单调递增
∴x-t则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)
得f(x-t)∴f(x)-f(x-t)>0
则由①得
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
∴对t>0都成立，
则f(x)在R上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的化简求值；一元二次不等式及其解法；绝对值不等式
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.
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