期中测评
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(银川模拟)计算1-2sin245°的结果是 (B)
A.-1 B.0 C. D.1
2.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线的表达式为 (D)
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-5 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-5
3.(新疆阿勒泰一模)若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在抛物线y=-2x2+8x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (C)
A.y34.将二次函数y=x2+4x-1用配方法化成y=(x-h)2+k的形式,下列所配方的结果中正确的是 (B)
A.y=(x-2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-4)2-1 D.y=(x+4)2-5
5. (西宁模拟)在△ABC中,AC≠BC,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,则下列比值中不等于sin A的是 (D)
A. B.
C. D.
6.(赤峰中考)已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是 (C)
A.抛物线y=ax2+bx+c的开口向下
B.当x<3时,y随x增大而增大
C.方程ax2+bx+c=0的根为0和2
D.当y>0时,x的取值范围是07. (兰州模拟)如图,小明为了测量电视塔AB的高度,他从电视塔底部B出发,沿塔前的小广场前进96米至点C,然后沿坡度为i=1∶2.4的斜坡向下走39米到达点D,再沿平路继续前行78米至点E,在E处小明操作无人勘测机,当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时,测得点D的俯角为30°,塔顶A的仰角为27°,点A,B,C,D,E,F,O在同一平面内,则电视塔AB的高度约为____.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) (B)
A.107.1米 B.137.1米
C.152.1米 D.159.1米
8. (通辽中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿A→B→C的路径运动,点Q沿A→D→C的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是 (C)
9. (甘肃定西质检)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球运动的时间为6 s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5 s时,小球的高度h=30 m.
其中正确的是 (C)
A.①④ B.①② C.②③④ D.②④
10. (内蒙古赤峰期末)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,则下列结论:①abc<0;②4a-2b+c=0;③9a-3b+c<0;④若方程ax2+bx+c-k=0有实数根,则k≤3.其中正确的个数是 (A)
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(甘肃庆阳期末)已知α是锐角,sin(α+15°)=,则cos α= .
12.(宁夏固原期末)二次函数y=2x2+4x+1图象的顶点坐标为 (-1,-1) .
13.(甘肃天水期末)一个斜坡的坡度是1∶3,高是4 m,则他从坡底到坡顶部所走的路程是 4 m.
14.如图,已知点M(a,b)是函数y=-x2+x+2图象上的一个动点.若|a|<1,则b的取值范围是 015.已知二次函数y=-x2-2x+m,当m≤x≤m+2时最大值为-2,则m的值为 -3或1 .
16.(内蒙古乌兰察布期中)我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形,例如:在四边形PQMN中,如果∠P=∠Q=100°,∠M=60°,那么四边形PQMN是三等角四边形.请阅读以上定义,完成下列探究:如图,在△ABC中,AB=AC=9,cos B=,如果点D在边AB上,AD=6,点E在边AC上,四边形DBCE是三等角四边形,那么线段CE的长是 .
17.(乌鲁木齐模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的对称轴为直线x=1,经过A(0,2),B(-1,m)两点,其中m<0.下列四个结论:①ab<0;②一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根在1和2之间;
③点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t>时,y1>y2;④a<-.
其中正确的结论是 ①③④ (填写序号).
18.(新疆生产建设兵团中考)如图,已知正方形ABCD边长为1,E为AB边上一点,以点D为中心,将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF,连接EF,分别交BD,CD于点M,N.若=,则sin∠EDM= .
三、解答题(共66分)
19.(6分)(甘肃白银期末)计算:2cos245°+tan 60°·tan 30°-cos 60°
【解析】原式=2×+×-=1+1-=.
20. (8分)(内蒙古包头模拟)如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=,求:
(1)线段DC的长.
(2)sin∠EDC的值.
【解析】(1)在△ABC中,∵AD是边BC上的高,∴AD⊥BC.∴sin B==.
∵AD=12,∴AB===15.
在Rt△ABD中,∵BD===9,
∴CD=BC-BD=14-9=5.
(2)在Rt△ADC中,∵AD=12,DC=5,∴AC=13.
∵E是AC的中点,∴DE=EC,∴∠EDC=∠C.
∴sin∠EDC=sin∠C==.
21. (10分)(通辽中考)如图,一段河流自西向东,河岸笔直,且两岸平行.为测量其宽度,小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向,他以1.5 m/s的速度沿着河岸向东步行40 s后到达C处,此时测得大树位于北偏东45°方向,试计算此段河面的宽度.(结果取整数,参考数据:≈1.732)
【解析】如图,作AD⊥BC于D.
由题意可知:BC=1.5×40=60(m),∠ABD=90°-60°=30°,∠ACD=90°-45°=45°,
在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=tan 45°==1,∴AD=CD,
在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=tan 30°=,∴BD=,
∵BC=BD-CD=-AD=60(m),∴AD=30(+1)≈82(m),
答:此段河面的宽度约82 m.
22. (10分)(包头中考)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为 km,CD长为(+)km,BD长为 km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A,B,C,D在同一水平面内).
(1)求A,D两点之间的距离.
(2)求隧道AB的长度.
【解析】(1)过A作AE⊥CD于E,如图所示:
则∠AEC=∠AED=90°,
∵∠ACD=60°,
∴∠CAE=90°-60°=30°,
∴CE=AC=(km),
AE=CE=(km),
∴DE=CD-CE=(+)-
=(km),
∴AE=DE,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴AD=AE=×=(km).
(2)由(1)得:△ADE是等腰直角三角形,
∴AD=AE=(km),∠ADE=45°,
∵∠CDB=135°,
∴∠ADB=135°-45°=90°,
∴AB===3(km),
即隧道AB的长度为3 km.
23.(10分)(甘肃陇南质检)定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.请解决下列问题:
(1)求出二次函数y=x2-2x+1的旋转函数的顶点坐标.
(2)若二次函数y1=x2+(m+8n)x+16与y2=-x2-6x+2n-7m互为“旋转函数”,直线l与函数y1,y2的图象都只有一个公共点,求(m+n)2 020的值以及直线l的解析式;
(3)在平面直角坐标系中,坐标原点为O,已知点P(2,0),☉p与y轴相切,交x轴正半轴于点A,点B在☉p上,且∠BAO=30°,△A′OB′与△AOB关于原点对称,若两个二次函数的图象分别经过A′,O,B′与A,O,B三点,求证:这两个二次函数互为“旋转函数”.
【解析】(1)由二次函数y=x2-2x+1可知,a1=1,b1=-2,c1=1,
∵a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,
∴a2=-1,b2=-2,c2=-1,
∴函数y=x2-2x+1的“旋转函数”为y=-x2-2x-1;
∴顶点坐标为(-1,0).
(2)∵y1=x2+(m+8n)x+16与y2=-x2-6x+2n-7m互为“旋转函数”,
∴,解得:,
∴(m+n)2 020=(2-1)2 020=1,
∴y1=x2-6x+16,y2=-x2-6x-16;
设直线l的解析式为y=kx+b,
则x2-6x+16=kx+b与-x2-6x-16=kx+b都有两个相等的实数根,
∴,,
∴直线l的解析式为y=2x或y=-14x.
(3)由题意得:点A的坐标为(4,0),点O的坐标为(0,0),
∴点B的坐标为(1,)或(1,-),
∵点A,B关于原点的对称点分别是A′,B′,
∴A′(-4,0),B′(-1,-)或(-1,),
∴可求得过点A,B,O的函数解析式为y1=-x2+x或y1=x2-x,
过点A′,B′,O的二次函数解析式为y2=x2+x或y2=-x2-x,
∴a1=-,b1=,c1=0,a2=,b2=,c2=0,
或者a1=,b1=-,c1=0,a2=-,b2=-,c2=0,
∴a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,
∴经过A′,O,B′与A,O,B三点的两个二次函数互为“旋转函数”.
24.(10分)(甘肃张掖期末)某超市有甲、乙两种商品,若买1件甲商品和2件乙商品,共需80元;若买2件甲商品和3件乙商品,共需135元.
(1)求甲、乙两种商品每件售价分别是多少元;
(2)甲商品每件的成本是20元,根据市场调查:若按(1)中求出的单价销售,该超市每天销售甲商品100件;若销售单价每上涨1元,甲商品每天的销售量就减少5件.写出甲商品每天的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系,并求每件售价为多少元时,甲商品每天的销售利润最大,最大利润是多少
【解析】(1)设甲、乙两种商品每件售价分别是a元,b元,由题意列方程组得:
解得:
答:甲、乙两种商品每件售价分别是30元和25元;
(2)由题意得,y=(x-20)[100-5(x-30)]=-5x2+350x-5 000,
∵y=-5x2+350x-5 000=-5(x-35)2+1 125,
∴当x=35时,y最大=1 125,
∴销售单价为35元时,甲商品每天的销售利润最大,最大利润是1 125元.
25. (12分)(青海中考)如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线y=-x2+bx+c经过B,D两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积.(请在图1中探索)
(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上.要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)
【解析】(1)把B(3,0)和D代入抛物线的解析式得,
,解得,,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+x+;
(2)令x=0,得y=-x2+x+=,
∴C,
令y=0,得y=-x2+x+=0,
解得,x=-1,或x=3,
∴A(-1,0),
∵y=-x2+x+=-(x-1)2+2,
∴M(1,2),
∴S四边形ABMC=S△AOC+S△COM+S△MOB
=OA·OC+OC·xM+OB·yM
=×1×+××1+×3×2=;
(3)-设Q(0,n),
①当AB为平行四边形的边时,有AB∥PQ,AB=PQ,
P点在Q点左边时,则P(-4,n),
把P(-4,n)代入y=-x2+x+,得
n=-,
∴P;
②当AB为平行四边形的边时,有AB∥PQ,AB=PQ,
当P点在Q点右边时,则P(4,n),
把P(4,n)代入y=-x2+x+,得
n=-,
∴P;
③当AB为平行四边形的对角线时,如图2,AB与PQ交于点E,
则E(1,0),
∵PE=QE,
∴P(2,-n),
把P(2,-n)代入y=-x2+x+,得
-n=,∴n=-,
∴P.
综上,满足条件的P点坐标为:或或.
PAGE期中测评
(120分钟 120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(银川模拟)计算1-2sin245°的结果是 ( )
A.-1 B.0 C. D.1
2.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线的表达式为 ( )
A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-5 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-5
3.(新疆阿勒泰一模)若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在抛物线y=-2x2+8x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y34.将二次函数y=x2+4x-1用配方法化成y=(x-h)2+k的形式,下列所配方的结果中正确的是 ( )
A.y=(x-2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-4)2-1 D.y=(x+4)2-5
5. (西宁模拟)在△ABC中,AC≠BC,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,则下列比值中不等于sin A的是 ( )
A. B.
C. D.
6.(赤峰中考)已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
以下结论正确的是 ( )
A.抛物线y=ax2+bx+c的开口向下
B.当x<3时,y随x增大而增大
C.方程ax2+bx+c=0的根为0和2
D.当y>0时,x的取值范围是07. (兰州模拟)如图,小明为了测量电视塔AB的高度,他从电视塔底部B出发,沿塔前的小广场前进96米至点C,然后沿坡度为i=1∶2.4的斜坡向下走39米到达点D,再沿平路继续前行78米至点E,在E处小明操作无人勘测机,当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时,测得点D的俯角为30°,塔顶A的仰角为27°,点A,B,C,D,E,F,O在同一平面内,则电视塔AB的高度约为____.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51) ( )
A.107.1米 B.137.1米
C.152.1米 D.159.1米
8. (通辽中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿A→B→C的路径运动,点Q沿A→D→C的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是 ( )
9. (甘肃定西质检)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;
②小球运动的时间为6 s;
③小球抛出3秒时,速度为0;
④当t=1.5 s时,小球的高度h=30 m.
其中正确的是 ( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②④
10. (内蒙古赤峰期末)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,则下列结论:①abc<0;②4a-2b+c=0;③9a-3b+c<0;④若方程ax2+bx+c-k=0有实数根,则k≤3.其中正确的个数是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(甘肃庆阳期末)已知α是锐角,sin(α+15°)=,则cos α= .
12.(宁夏固原期末)二次函数y=2x2+4x+1图象的顶点坐标为 .
13.(甘肃天水期末)一个斜坡的坡度是1∶3,高是4 m,则他从坡底到坡顶部所走的路程是 m.
14.如图,已知点M(a,b)是函数y=-x2+x+2图象上的一个动点.若|a|<1,则b的取值范围是 .
15.已知二次函数y=-x2-2x+m,当m≤x≤m+2时最大值为-2,则m的值为 .
16.(内蒙古乌兰察布期中)我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形,例如:在四边形PQMN中,如果∠P=∠Q=100°,∠M=60°,那么四边形PQMN是三等角四边形.请阅读以上定义,完成下列探究:如图,在△ABC中,AB=AC=9,cos B=,如果点D在边AB上,AD=6,点E在边AC上,四边形DBCE是三等角四边形,那么线段CE的长是 .
17.(乌鲁木齐模拟)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的对称轴为直线x=1,经过A(0,2),B(-1,m)两点,其中m<0.下列四个结论:①ab<0;②一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根在1和2之间;
③点P1(t,y1),P2(t+1,y2)在抛物线上,当实数t>时,y1>y2;④a<-.
其中正确的结论是 (填写序号).
18.(新疆生产建设兵团中考)如图,已知正方形ABCD边长为1,E为AB边上一点,以点D为中心,将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF,连接EF,分别交BD,CD于点M,N.若=,则sin∠EDM= .
三、解答题(共66分)
19.(6分)(甘肃白银期末)计算:2cos245°+tan 60°·tan 30°-cos 60°
20. (8分)(内蒙古包头模拟)如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=,求:
(1)线段DC的长.
(2)sin∠EDC的值.
21. (10分)(通辽中考)如图,一段河流自西向东,河岸笔直,且两岸平行.为测量其宽度,小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向,他以1.5 m/s的速度沿着河岸向东步行40 s后到达C处,此时测得大树位于北偏东45°方向,试计算此段河面的宽度.(结果取整数,参考数据:≈1.732)
22. (10分)(包头中考)某工程队准备从A到B修建一条隧道,测量员在直线AB的同一侧选定C,D两个观测点,如图.测得AC长为 km,CD长为(+)km,BD长为 km,∠ACD=60°,∠CDB=135°(A,B,C,D在同一水平面内).
(1)求A,D两点之间的距离.
(2)求隧道AB的长度.
23.(10分)(甘肃陇南质检)定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.请解决下列问题:
(1)求出二次函数y=x2-2x+1的旋转函数的顶点坐标.
(2)若二次函数y1=x2+(m+8n)x+16与y2=-x2-6x+2n-7m互为“旋转函数”,直线l与函数y1,y2的图象都只有一个公共点,求(m+n)2 020的值以及直线l的解析式;
(3)在平面直角坐标系中,坐标原点为O,已知点P(2,0),☉p与y轴相切,交x轴正半轴于点A,点B在☉p上,且∠BAO=30°,△A′OB′与△AOB关于原点对称,若两个二次函数的图象分别经过A′,O,B′与A,O,B三点,求证:这两个二次函数互为“旋转函数”.
24.(10分)(甘肃张掖期末)某超市有甲、乙两种商品,若买1件甲商品和2件乙商品,共需80元;若买2件甲商品和3件乙商品,共需135元.
(1)求甲、乙两种商品每件售价分别是多少元;
(2)甲商品每件的成本是20元,根据市场调查:若按(1)中求出的单价销售,该超市每天销售甲商品100件;若销售单价每上涨1元,甲商品每天的销售量就减少5件.写出甲商品每天的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系,并求每件售价为多少元时,甲商品每天的销售利润最大,最大利润是多少
25. (12分)(青海中考)如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线y=-x2+bx+c经过B,D两点,与x轴的另一个交点为A,与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为M,求四边形ABMC的面积.(请在图1中探索)
(3)设点Q在y轴上,点P在抛物线上.要使以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.(请在图2中探索)
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