第一章
单元复习
一、选择题
1.(宁夏石嘴山模拟)直角三角形ABC的面积为24 cm2,直角边AB为6 cm,∠A是锐角,则sin A=(A)
A. B. C. D.
2.如图,一个人从山脚下的A点出发,沿山坡小路AB走到山顶B点.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度,下列按键顺序正确的是 (A)
A.2÷sin20= B.2×sin20=
C.2÷cos20= D.2×tan20=
3.(内蒙古通辽期末)Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,cos A=,则AC的长为 (B)
A. B. C. D.5
4.(青海玉树模拟)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是 (D)
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140 m 100 m 95 m 90 m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 (C)
A.AB=,BC=4,AC=5 B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.+=0
6.(新疆阿勒泰模拟)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 (A)
A. B. C.2 D.2
7.(金华中考)如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 (A)
A.4cos α米 B.4sin α米 C.4tan α米 D.米
8.如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0.6 m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3 m,则石坝的坡度为 (B)
A. B.3 C. D.4
9.(内蒙古包头模拟)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α= (D)
A. B.- C. D.-
10.(甘肃武威模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则 (B)
A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21
二、填空题
11.(甘肃天水期末)已知:在△ABC中,sin(90°-∠A)=,则锐角∠A为 60° .
12.(银川一模)在△ABC中,∠A,∠B为锐角,sin A=,tan B=.则△ABC的形状为 等腰三角形 .
13.(赤峰中考)如图,一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,则木杆折断之前高度约为 8.1 m.(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78)
14.(赤峰中考)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°,测得底部B的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米,那么该建筑物的高度BC为 12 米(结果保留根号).
15.(鄂尔多斯中考)如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,且∠A=90°,则tan∠ABC= 或 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tan α=,则tan 2α= .
17.(新疆克拉玛依模拟)如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=(x<0)的图象上,则tan∠BAO的值为 .
18.如图,在Rt△ABD中,AB=6,tan∠ADB=,点C为斜边BD的中点,P为AD上任一点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF= .
三、解答题
19.(通辽中考)从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90米.若tan α=0.27,tan β=2.73,求这栋楼高.
【解析】见全解全析
20. (天水中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶.(参考数据:≈1.414,
≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α,求坡角α度数;
(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除 请说明理由.
【解析】(1)∵新坡面坡角为α,新坡面的坡度为1∶,∴tan α==,∴α=30°;
(2)该文化墙PM不需要拆除,理由:作CD⊥AB于点D,则CD=6米,
∵新坡面的坡度为1∶,∴tan∠CAD===,
解得,AD=6米,
∵坡面BC的坡度为1∶1,CD=6米,∴BD=6米,
∴AB=AD-BD=(6-6)米,又∵PB=8米,∴PA=PB-AB=8-(6-6)=14-6≈14-6×1.732≈3.6米>3米,∴该文化墙PM不需要拆除.
21.(青海中考)如图1是某中学教学楼的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,≈1.4)
【解析】作BE⊥AD于点E,作CF⊥AD于点F,延长FC到点M,使得BE=CM,连接BC,EM,
∵AB=CD,AB+CD=AD=2,∴AB=CD=1,
在Rt△ABE中,∠A=35°,AB=1,
∴BE=AB·sin∠A=1×sin 35°≈0.6,
∴AE=AB·cos∠A=1×cos 35°≈0.8,
在Rt△CDF中,∠D=45°,CD=1,
∴CF=CD·sin∠D=1×sin 45°≈0.7,
∴DF=CD·cos∠D=1×cos 45°≈0.7,
∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴BE∥CM,
又∵BE=CM,∴四边形BEMC是平行四边形,∴BC=EM,
在Rt△MEF中,FM=CF+CM=1.3,EF=AD-AE-FD=0.5,
∴EM==≈1.4.
答:B与C之间的距离约为1.4米.
22. (天水中考)为了维护国家主权和海洋权益,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行30分钟后到达B处,此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.
(1)求∠APB的度数;
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全 (参考数据:≈1.414,≈1.732)
【解析】(1)由题意得,∠PAB=90°-60°=30°,∠ABP=90°+45°=135°,
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-30°-135°=15°;
(2)海监船继续向正东方向航行安全,理由如下:
作PH⊥AB于H,如图:
则△PBH是等腰直角三角形,
∴BH=PH,
设BH=PH=x海里,
由题意得:AB=40×=20(海里),
在Rt△APH中,tan∠PAB=tan 30°==,
即=,
解得:x=10+10≈27.32>25,且符合题意,
∴海监船继续向正东方向航行安全.
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单元复习
一、选择题
1.(宁夏石嘴山模拟)直角三角形ABC的面积为24 cm2,直角边AB为6 cm,∠A是锐角,则sin A=( )
A. B. C. D.
2.如图,一个人从山脚下的A点出发,沿山坡小路AB走到山顶B点.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度,下列按键顺序正确的是 ( )
A.2÷sin20= B.2×sin20=
C.2÷cos20= D.2×tan20=
3.(内蒙古通辽期末)Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,cos A=,则AC的长为 ( )
A. B. C. D.5
4.(青海玉树模拟)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是 ( )
同学 甲 乙 丙 丁
放出风筝线长 140 m 100 m 95 m 90 m
线与地面夹角 30° 45° 45° 60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 ( )
A.AB=,BC=4,AC=5 B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.+=0
6.(新疆阿勒泰模拟)如图所示,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 ( )
A. B. C.2 D.2
7.(金华中考)如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 ( )
A.4cos α米 B.4sin α米 C.4tan α米 D.米
8.如图,为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度),把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁,量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE=0.6 m,又量得杆底与坝脚的距离AB=3 m,则石坝的坡度为 ( )
A. B.3 C. D.4
9.(内蒙古包头模拟)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sin α-cos α= ( )
A. B.- C. D.-
10.(甘肃武威模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则 ( )
A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21
二、填空题
11.(甘肃天水期末)已知:在△ABC中,sin(90°-∠A)=,则锐角∠A为 .
12.(银川一模)在△ABC中,∠A,∠B为锐角,sin A=,tan B=.则△ABC的形状为 .
13.(赤峰中考)如图,一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断,木杆顶端落在地面上,且与地面成38°角,则木杆折断之前高度约为 m.(参考数据:sin 38°≈0.62,cos 38°≈0.79,tan 38°≈0.78)
14.(赤峰中考)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°,测得底部B的俯角是60°,此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米,那么该建筑物的高度BC为 米(结果保留根号).
15.(鄂尔多斯中考)如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,且∠A=90°,则tan∠ABC= .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tan α=,则tan 2α= .
17.(新疆克拉玛依模拟)如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=(x<0)的图象上,则tan∠BAO的值为 .
18.如图,在Rt△ABD中,AB=6,tan∠ADB=,点C为斜边BD的中点,P为AD上任一点,过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF= .
三、解答题
19.(通辽中考)从A处看一栋楼顶部的仰角为α,看这栋楼底部的俯角为β,A处与楼的水平距离AD为90米.若tan α=0.27,tan β=2.73,求这栋楼高.
【解析】见全解全析
20. (天水中考)某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1∶1,文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1∶.(参考数据:≈1.414,
≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α,求坡角α度数;
(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除 请说明理由.
21.(青海中考)如图1是某中学教学楼的推拉门,已知门的宽度AD=2米,且两扇门的大小相同(即AB=CD),将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°,将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°,其示意图如图2,求此时B与C之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin 35°≈0.6,cos 35°≈0.8,≈1.4)
22. (天水中考)为了维护国家主权和海洋权益,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示,正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上,继续航行30分钟后到达B处,此时测得灯塔P在北偏东45°方向上.
(1)求∠APB的度数;
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全 (参考数据:≈1.414,≈1.732)
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