第二章
单元复习
一、选择题
1.下列函数中,y是x的二次函数的是 (D)
A.y=-3x-1 B.y=- C.y=-(x+1)2+x2 D.x2-y+2=0
2.(银川质检)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是 (B)
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
3.(甘肃定西期末)要得到抛物线y=(x-6)2+3,可以将抛物线y=x2 (B)
A.向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向左平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度
4.(新疆伊犁模拟)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值”,甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则
(D)
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
5.(甘肃庆阳期末)若二次函数y=x2-2x+k的图象经过点(-1,y1),,则y1与y2的大小关系为 (A)
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y16.(甘肃酒泉期末)对于抛物线y=-(x+2)2-5,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=2;
③顶点坐标为(-2,-5);
④x>2时,y随x的增大而减小.
其中正确结论的个数为 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(青海西宁模拟)当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是 (D)
8.(鄂州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc<0;②4a+2b+c<0;③8a+c<0;④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.上述结论中正确结论的个数为 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x (B)
A.有最大值,最大值为- B.有最大值,最大值为
C.有最小值,最小值为 D.有最小值,最小值为-
10.(内蒙古乌海模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B(4,0),则下列结论中,正确的个数是 (B)
①abc>0;②4a+b>0;③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0y2;
④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m-3)(m+3)≤b(3-m);⑤若AB≥3,则4b+3c>0.
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题
11.(甘肃庆阳期末)抛物线y=-x2+x-4的顶点坐标为 .
12.(新疆喀什期末)九年级数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … 5 6 7 8 9 …
y … 3.5 3 3.5 5 7.5 …
根据表格上的信息回答:该二次函数y=ax2+bx+c在x=4时,y= 5 .
13.(甘肃白银期末)中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点P到口径面AB的距离是100米,若按图(2)所示建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是 y=x2-100 .
14.(银川中考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 -315.(宁夏固原质检)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长20 m,当矩形的长、宽各取某个特定的值时,菜园的面积最大,这个最大面积为
m2 .
16.二次函数y=a(x-2)2+k(a>0)的图象过原点,与x轴正半轴交于点A,矩形OABC的顶点C的坐标为(0,-2),点P为x轴上任意一点,连接PB,PC.则△PBC的面积为
4 .
17.若关于x的方程x2-2ax+a-2=0的一个实数根为x1≥1,另一个实数根x2≤-1,则抛物线y=-x2+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值是 .
18.(内蒙古赤峰模拟)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,-m-2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为 (2,0),(1,0)或(0,2) .
三、解答题
19.如图,抛物线y=-(x-1)2+4与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标.
(2)求△OCD的面积.
【解析】(1)y=-(x-1)2+4,
即顶点D的坐标为(1,4).
(2)把x=0代入y=-x2+2x+3得:y=3,即OC=3,
所以△OCD的面积为×3×1=.
20.(宁夏中卫期末)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计得到如下数据:
单价(元/件) 30 34 38 40 42
销量(件) 40 32 24 20 16
(1)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围).
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(1)中的关系,且该产品的成本是20元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少
【解析】(1)设所求一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(30,40)、(40,20)代入y=kx+b,
得,解得,∴y=-2x+100.
(2)设利润为w元,产品的单价为x元/件,根据题意,
得w=(x-20)(-2x+100)=-2x2+140x-2 000=-2(x-35)2+450,
∴当产品单价定为35元/件时,工厂获得最大利润为450元.
21. (新疆和田模拟)(1)已知二次函数y1=-(x+1)2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y2=-(x-2)2+1的图象.
(2)平行于x轴的直线y=k在抛物线y2=-(x-2)2+1上截得线段AB=4,求抛物线y2=-(x-2)2+1的顶点到线段AB的距离.
(3)当-1【解析】(1)如图所示,
(2)解得,或
∴A(2+,k),B(2-,k),
∵AB=4,∴2=4,∴k=-3,
∵抛物线y2=-(x-2)2+1的顶点坐标为(2,1),
∴抛物线y2=-(x-2)2+1的顶点到线段AB的距离=4.
(3)当-1y2.当x=1时,y1=y2.
当122.(呼和浩特中考)已知抛物线y=ax2+kx+h(a>0).
(1)通过配方可以将其化成顶点式为_____,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在x轴_____ (填上方或下方),即4ah-k2_____0(填大于或小于)时,该抛物线与x轴必有两个交点.
(2)若抛物线上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),分布在x轴的两侧,则抛物线顶点必在x轴下方,请你结合A,B两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设x1(3)利用二次函数(1)(2)结论,求证:当a>0,(a+c)(a+b+c)<0时,(b-c)2>4a(a+b+c).
【解析】(1)y=ax2+kx+h=a+h=a+h
=a-+h=a+,
∴顶点式为:y=a+,当顶点在x轴下方时,即4ah-k2<0时,该抛物线与x轴必有两个交点.
答案:y=a+ 下方 小于
(2)若设x1①当A,B都在对称轴左侧时,由于在对称轴左侧,函数值随x的增大而减小,所以点A在x轴上方,点B在x轴下方,顶点M在点B下方,所以抛物线顶点必在x轴下方.如图所示:
②当A,B都在对称轴右侧时,由于在对称轴右侧,函数值随x的增大而增大,所以点B在x轴上方,点A在x轴下方,顶点M在点A下方,所以抛物线顶点必在x轴下方.如图所示:
③当A,B在对称轴两侧时,由于A,B分布在x轴两侧,所以不管A,B哪个点在x轴下方,都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上,同①或②,可以说明抛物线顶点必在x轴下方.如图所示:
(3)令y=ax2+(b-c)x+(a+b+c),a>0,
当x1=0时,y1=a+b+c;
当x2=-1时,y2=2(a+c).
而(a+c)(a+b+c)<0,
∴y1·y2<0,
∴y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)上存在两点(-1,2a+2c),(0,a+b+c)分别位于x轴两侧,
∴由(1)(2)可知,y=ax2+(b-c)x+(a+b+c)顶点在x轴下方,
即<0,
又a>0,
∴4a(a+b+c)-(b-c)2<0,
即:(b-c)2>4a(a+b+c).
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单元复习
一、选择题
1.下列函数中,y是x的二次函数的是 ( )
A.y=-3x-1 B.y=- C.y=-(x+1)2+x2 D.x2-y+2=0
2.(银川质检)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是 ( )
A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4
3.(甘肃定西期末)要得到抛物线y=(x-6)2+3,可以将抛物线y=x2 ( )
A.向右平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向左平移6个单位长度,再向下平移3个单位长度
4.(新疆伊犁模拟)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,若c为整数,确定所有c的值”,甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则
( )
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
5.(甘肃庆阳期末)若二次函数y=x2-2x+k的图象经过点(-1,y1),,则y1与y2的大小关系为 ( )
A.y1>y2 B.y1=y2 C.y16.(甘肃酒泉期末)对于抛物线y=-(x+2)2-5,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=2;
③顶点坐标为(-2,-5);
④x>2时,y随x的增大而减小.
其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(青海西宁模拟)当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是 ( )
8.(鄂州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示.已知图象经过点(-1,0),其对称轴为直线x=1.下列结论:
①abc<0;②4a+2b+c<0;③8a+c<0;④若抛物线经过点(-3,n),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3,5.上述结论中正确结论的个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x ( )
A.有最大值,最大值为- B.有最大值,最大值为
C.有最小值,最小值为 D.有最小值,最小值为-
10.(内蒙古乌海模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C.若点B(4,0),则下列结论中,正确的个数是 ( )
①abc>0;②4a+b>0;③M(x1,y1)与N(x2,y2)是抛物线上两点,若0y2;
④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数,则a(m-3)(m+3)≤b(3-m);⑤若AB≥3,则4b+3c>0.
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题
11.(甘肃庆阳期末)抛物线y=-x2+x-4的顶点坐标为 .
12.(新疆喀什期末)九年级数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x … 5 6 7 8 9 …
y … 3.5 3 3.5 5 7.5 …
根据表格上的信息回答:该二次函数y=ax2+bx+c在x=4时,y= .
13.(甘肃白银期末)中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点P到口径面AB的距离是100米,若按图(2)所示建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是 .
14.(银川中考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 .
15.(宁夏固原质检)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长20 m,当矩形的长、宽各取某个特定的值时,菜园的面积最大,这个最大面积为
.
16.二次函数y=a(x-2)2+k(a>0)的图象过原点,与x轴正半轴交于点A,矩形OABC的顶点C的坐标为(0,-2),点P为x轴上任意一点,连接PB,PC.则△PBC的面积为
.
17.若关于x的方程x2-2ax+a-2=0的一个实数根为x1≥1,另一个实数根x2≤-1,则抛物线y=-x2+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值是 .
18.(内蒙古赤峰模拟)我们约定:(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”,当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时,该交点为“整交点”.若关联数为(m,-m-2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数),则这个函数图象上整交点的坐标为 .
三、解答题
19.如图,抛物线y=-(x-1)2+4与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标.
(2)求△OCD的面积.
20.(宁夏中卫期末)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按拟定的价格进行试销,通过对5天的试销情况进行统计得到如下数据:
单价(元/件) 30 34 38 40 42
销量(件) 40 32 24 20 16
(1)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量y(件)与单价x(元/件)之间存在一次函数关系,求y关于x的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围).
(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(1)中的关系,且该产品的成本是20元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少
21. (新疆和田模拟)(1)已知二次函数y1=-(x+1)2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y2=-(x-2)2+1的图象.
(2)平行于x轴的直线y=k在抛物线y2=-(x-2)2+1上截得线段AB=4,求抛物线y2=-(x-2)2+1的顶点到线段AB的距离.
(3)当-122.(呼和浩特中考)已知抛物线y=ax2+kx+h(a>0).
(1)通过配方可以将其化成顶点式为_____,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在x轴_____ (填上方或下方),即4ah-k2_____0(填大于或小于)时,该抛物线与x轴必有两个交点.
(2)若抛物线上存在两点A(x1,y1),B(x2,y2),分布在x轴的两侧,则抛物线顶点必在x轴下方,请你结合A,B两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设x1(3)利用二次函数(1)(2)结论,求证:当a>0,(a+c)(a+b+c)<0时,(b-c)2>4a(a+b+c).
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