初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.2 二次函数图像与性质
一、单选题
1．（2020九上·北京期中）若(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】因为点(2，5)、(4，5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x= =3；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线上的两个点的横坐标，求出对称轴即可。
2．（2020九上·二连浩特期中）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，2） D．（1，-2）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+1）2-2
∴顶点坐标为（-1，-2），
故答案为：B．
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
3．（2020九上·二连浩特期中）抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴ .
∵开口方向相反，
∴两个函数的二次项系数互为相反数，即 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，说明两个函数二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可确定a的值.
4．（2020九上·海珠期中）抛物线 经过平移得到抛物线 ,平移过程正确的是（ ）
A．先向下平移2个单位,再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位,再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位,再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位,再向左平移3个单位.
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，而点 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点 ，
抛物线 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线 ．
故答案为： ．
【分析】先利用顶点式得到抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
5．（2020九上·惠城月考）平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=-x2先向右平移1个单位可变为
y=-（x-1）2
再向上平移2个单位
可变为y=-（x-1）2+2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的性质以及平移的性质即可得到答案。
6．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
二、填空题
7．（2020九上·北京月考）抛物线 的对称轴是直线 .
【答案】x=1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线 ，可得对称轴是直线x=1，
故答案为：x=1；
【分析】根据抛物线的顶点坐标式 ，则对称轴为直线x=b即可求得；
8．（2020九上·张家港期中）已知抛物线y=ax2-3x+a2-1经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为 .
【答案】-1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 3x＋a2 1经过坐标原点，且开口向下，
∴a＜0，且a2 1＝0，
解得a＝ 1，
故答案为： 1.
【分析】根据二次函数的图象开口向下知道a＜0，又二次函数的图象过原点，可以得到a2 1＝0，即可求出a的值.
9．（2020九上·江城月考）抛物线y=3(x-2)2+3的顶点坐标是 。
【答案】(2，3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为（2,3）
【分析】根据题意，题目中给出的为二次函数的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标。
10．（2020九上·嘉祥月考）若二次函数y=x2+bx- 5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 。
【答案】x1=2，x2=4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，-=2
∴b=-4
∴x2+bx-5=2x-13可变为x2-4x-5=2x-13
∴x1=2，x2=4
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴为x=2，求出b的值，继而解方程得到答案即可。
11．（2020九上·绍兴月考）已知关于 x 的二次函数 的图象开口向下， y 与 x 的部分对应值如下表所示：
x -3 -2 -1 0 1
y 0 m t n 0
下列判断，① ；② ；③方程 有两个不相等的实数根；
④若 ，则 ，正确的是 (填写正确答案的序号) .
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ①∵图象的张口向下，∴a<0, ,
∴b<0, ∵对称轴x=-1, ∴m=n>0, ∴c=n>0, ∴abc>0, 故①正确；
②∵当x=1, y=a+b+c=0, ∵=-1, ∴b=2a, ∴a+b+c=3a+c=0，故②正确；
③∵ 的顶点坐标为（-1，t）,当图象向下移动t+1个单位得 ,
抛物线与x轴没有交点，即方程 没有实数根，故③错误；
④m=4a-2b+c=4a-4a-3a=-3a>3, ∴a＜-1, t=-a+b-c=-4a, ∴t>4，故④正确；
综上正确的选项是①②④ .
故答案为：①②④ .
【分析】①由抛物线的张口可得a<0, 结合对称轴，可得b<0，当x=0，y=n=c>0, 从而可得abc>0；
②由于x=1, y=a+b+c=0, 结合b=2a, 可得a+b+c=3a+c=0；
③由抛物线的顶点坐标可得当抛物线向下移动t+1个单位时其与x轴无交点，即方程 ， 没有实数根；
④当x=-2时，y=m，由m>3, 可得a的范围，再结合x=-1，y=-4a=t，从而求出t的范围.
三、解答题
12．（2020九上·马山月考）把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5化成y=a(x-h)2+k形式，并求出它的图象顶点坐标、对称轴
【答案】解：y=-2x2-4x+5=-2（x2+2x+1-1）+5=-2（x+1）2+7.
∴顶点坐标为（-1，7），对称轴为直线x=-1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】先将函数解析式转化为顶点式，就可得到抛物线的顶点坐标及对称轴。
13．（2019九上·遵义月考）已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积.
【答案】解：∵二次函数
∴顶点
∵点 在图像上且在 轴上，即 时 的坐标
∴
∴
∴ 的面积
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积。
14．（2018·湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），
∴ ，解得， ，
即a的值是1，b的值是-2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】将点（﹣1，0），（3，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得出关于a，b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，
15．（2019九上·秀洲期末）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且 ，求点A、B的坐标．
【答案】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线x=-,得出其对称轴直线，根据AB等于4及抛物线的对称性可知A,B两点到对称轴直线的水平距离是2，从而得出A,B两点的坐标。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.2 二次函数图像与性质
一、单选题
1．（2020九上·北京期中）若(2，5)，(4，5)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的两个点，则抛物线的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
2．（2020九上·二连浩特期中）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（-1，-2） C．（1，2） D．（1，-2）
3．（2020九上·二连浩特期中）抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
4．（2020九上·海珠期中）抛物线 经过平移得到抛物线 ,平移过程正确的是（ ）
A．先向下平移2个单位,再向左平移3个单位
B．先向上平移2个单位,再向右平移3个单位
C．先向下平移2个单位,再向右平移3个单位
D．先向上平移2个单位,再向左平移3个单位.
5．（2020九上·惠城月考）平面直角坐标系中，将抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九上·嘉祥月考）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论：①abc <0；②c+2a<0；③9a-3b+c=0； ④a-b≥m(am+b) (m为实数)：⑤4ac-b2<0。
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2020九上·北京月考）抛物线 的对称轴是直线 .
8．（2020九上·张家港期中）已知抛物线y=ax2-3x+a2-1经过坐标原点，且开口向下，则实数a的值为 .
9．（2020九上·江城月考）抛物线y=3(x-2)2+3的顶点坐标是 。
10．（2020九上·嘉祥月考）若二次函数y=x2+bx- 5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 。
11．（2020九上·绍兴月考）已知关于 x 的二次函数 的图象开口向下， y 与 x 的部分对应值如下表所示：
x -3 -2 -1 0 1
y 0 m t n 0
下列判断，① ；② ；③方程 有两个不相等的实数根；
④若 ，则 ，正确的是 (填写正确答案的序号) .
三、解答题
12．（2020九上·马山月考）把二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5化成y=a(x-h)2+k形式，并求出它的图象顶点坐标、对称轴
13．（2019九上·遵义月考）已知二次函数 的图象如图所示，求 的面积.
14．（2018·湖州）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
15．（2019九上·秀洲期末）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且 ，求点A、B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】因为点(2，5)、(4，5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x= =3；
故答案为：C.
【分析】根据抛物线上的两个点的横坐标，求出对称轴即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+1）2-2
∴顶点坐标为（-1，-2），
故答案为：B．
【分析】由抛物线的顶点坐标式可求得答案．
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴ .
∵开口方向相反，
∴两个函数的二次项系数互为相反数，即 .
故答案为：D.
【分析】抛物线y=﹣ x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，说明两个函数二次项系数的绝对值相等，再由开口方向相反，可确定a的值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，而点 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点 ，
抛物线 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线 ．
故答案为： ．
【分析】先利用顶点式得到抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=-x2先向右平移1个单位可变为
y=-（x-1）2
再向上平移2个单位
可变为y=-（x-1）2+2
故答案为：C.
【分析】根据题意，由抛物线的性质以及平移的性质即可得到答案。
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线可知，a＞0，c＜0
对称轴x=-＜0
∴b＞0
∴abc＜0，即①正确；
②根据对称轴可得，-=-1
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0
∴c+3a=0
∴c+2a=-3a+2a=-a＜0，即②正确；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，即③正确
④当x=-1时，y的最小值为a-b+c
∴x=m时，y=am2+bm+c
∴am2+bm+c≥a-b+c
即a-b≤m（am+b），即④错误；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴△＞0
∴b2-4ac＞0
∴4ac-b2＜0，即⑤正确
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可。
7．【答案】x=1
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由抛物线 ，可得对称轴是直线x=1，
故答案为：x=1；
【分析】根据抛物线的顶点坐标式 ，则对称轴为直线x=b即可求得；
8．【答案】-1
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2 3x＋a2 1经过坐标原点，且开口向下，
∴a＜0，且a2 1＝0，
解得a＝ 1，
故答案为： 1.
【分析】根据二次函数的图象开口向下知道a＜0，又二次函数的图象过原点，可以得到a2 1＝0，即可求出a的值.
9．【答案】(2，3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为（2,3）
【分析】根据题意，题目中给出的为二次函数的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标。
10．【答案】x1=2，x2=4
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，-=2
∴b=-4
∴x2+bx-5=2x-13可变为x2-4x-5=2x-13
∴x1=2，x2=4
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴为x=2，求出b的值，继而解方程得到答案即可。
11．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ①∵图象的张口向下，∴a<0, ,
∴b<0, ∵对称轴x=-1, ∴m=n>0, ∴c=n>0, ∴abc>0, 故①正确；
②∵当x=1, y=a+b+c=0, ∵=-1, ∴b=2a, ∴a+b+c=3a+c=0，故②正确；
③∵ 的顶点坐标为（-1，t）,当图象向下移动t+1个单位得 ,
抛物线与x轴没有交点，即方程 没有实数根，故③错误；
④m=4a-2b+c=4a-4a-3a=-3a>3, ∴a＜-1, t=-a+b-c=-4a, ∴t>4，故④正确；
综上正确的选项是①②④ .
故答案为：①②④ .
【分析】①由抛物线的张口可得a<0, 结合对称轴，可得b<0，当x=0，y=n=c>0, 从而可得abc>0；
②由于x=1, y=a+b+c=0, 结合b=2a, 可得a+b+c=3a+c=0；
③由抛物线的顶点坐标可得当抛物线向下移动t+1个单位时其与x轴无交点，即方程 ， 没有实数根；
④当x=-2时，y=m，由m>3, 可得a的范围，再结合x=-1，y=-4a=t，从而求出t的范围.
12．【答案】解：y=-2x2-4x+5=-2（x2+2x+1-1）+5=-2（x+1）2+7.
∴顶点坐标为（-1，7），对称轴为直线x=-1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】先将函数解析式转化为顶点式，就可得到抛物线的顶点坐标及对称轴。
13．【答案】解：∵二次函数
∴顶点
∵点 在图像上且在 轴上，即 时 的坐标
∴
∴
∴ 的面积
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积。
14．【答案】解：∵抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），
∴ ，解得， ，
即a的值是1，b的值是-2．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】将点（﹣1，0），（3，0）代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得出关于a，b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，
15．【答案】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝﹣1，
∵A在B右边，且AB＝4，
∴B（﹣3，0），A（1，0）．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴直线x=-,得出其对称轴直线，根据AB等于4及抛物线的对称性可知A,B两点到对称轴直线的水平距离是2，从而得出A,B两点的坐标。
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