2022年高考数学真题试卷（北京卷）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2022·北京）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D
【分析】直接根据补集的概念计算即可.
2．（2022·北京）若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由已知条件可知 ，所以 .
故答案为：B
【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.
3．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
4．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
5．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
6．（2022·北京）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明：若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，取正整数 （其中 不大于 的最大正整数），则当 时，只要 ，都有 ；
必要性证明：若存在正整数 ，当 时， ，因为 ，所以 ，对 都成立，因为 ，且 ，所以 ，对 ，都有 ， ，即 为递增数列，所以 为递增数列是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】先证明充分性：若 为递增数列，则 ，公差 ，取正整数 ，则当 时，只要 ，都有 ；再证明必要性：若存在正整数 ，当 ，有 ，因为 ，结合已知条件得 ， ，即 为递增数列，综上即可判断.
7．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
8．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
9．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
10．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
12．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
13．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
14．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 ．
【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15．（2022·北京）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】数列的应用；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得 ，故①正确；
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，故②错误；
，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；
对于④，若所有项均大于等于 ，取 ，则 ， ，于是 与已知矛盾，所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①；根据 的关系，求得 假设 为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误；由 ，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；利用反证法推出矛盾即可判断④.
三、解答题共6小题，共85分。
16．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
17．（2022·北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
直线 与平面 所成角的正弦值。
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为 中位线
又M为AB中点，PM是正方形 的中位线
所以
∵ 面 ∥面
又 面
∴ 平面
（II）选择条件①，∵面 面
面 面 ，面 面
又
∴ ，又由①：
∴ 面
∵ 面
故 两两垂直
以B为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立坐标系
则BMN的法向量
AB与面BMN所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即
故所求正弦为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）记AB中点为P，由已知条件可得，，推出 面 面 ，从而推出 平面 ；
（2） 选择条件① ，由 面 面 ，推出，再根据，，推出面 ，得到两两垂直，以B为原点 建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角正弦值即可.
18．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；
乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；
丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ；
（II）X所有可能取值为0，1，2，3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
（III）甲的平均数：
乙的平均数：
丙的平均数：
甲的方差：
乙的方差：
丙的方差：
在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由题意 X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；
（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
19．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
20．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ，
故所求切线方程为
（Ⅱ） ，
又 ，
故 对 成立， 在 上单调递增
（III）证明：不妨设 ，
由拉格朗日中值定理可得：
其中 ，即
，其中 ，即
由 在 上单调递增，故
∴
∴ 证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；
（2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性；
（3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明.
21．（2022·北京）已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．
【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；
（Ⅱ）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足
（Ⅲ）若k≤5，则 至多可表15个数，与题意矛盾，若 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)
这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为
则所有数之和 ，再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端，则" 2 ___"形式
若 ，则 (2种方式矛盾)
，问理 ，故-1在一端，不妨为" 形式
右 ，则 (2种矛盾) 同理不行
，则 (2种矛盾)从而
由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据可表数列的定义即可判断；
（II）反证法：假设，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k≥4；
（III） 若k≤5，则 至多可表15个数 ，至多可表21个数，而 ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故.
1 / 12022年高考数学真题试卷（北京卷）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（2022·北京）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京）若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（2022·北京）若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A． B． C．1 D．-1
4．（2022·北京）已知函数 ，则对任意实数 ，有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·北京）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减
B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减
D． 在 上单调递增
6．（2022·北京）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
8．（2022·北京）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C．-40 D．-41
9．（2022·北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 表示的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·北京）在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
12．（2022·北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
13．（2022·北京）若函数 的一个零点为 ，则 ； ．
14．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 ．
15．（2022·北京）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 ，满足 给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。
16．（2022·北京）在 中， ．
（I）求 ：
（II）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
17．（2022·北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， 分别为 ， 的中点．
（I）求证： 平面 ；
（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
直线 与平面 所成角的正弦值。
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
18．（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；
乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；
丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ；
（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（2022·北京）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别与 轴交于点 ，当 时，求 的值。
20．（2022·北京）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（III）证明：对任意的 ，有 ．
21．（2022·北京）已知 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ，在 中存在 ，使得 ，则称 为 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 是否为5-连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若 为 连续可表数列，求证： 的最小值为4；
（Ⅲ）若 为 连续可表数列， ，求证： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D
【分析】直接根据补集的概念计算即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】由已知条件可知 ，所以 .
故答案为：B
【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.
3．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 ，所以由 解得 .
故答案为：A
【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 的值.
4．【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ，可得 ，所以 .
故答案为：C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式，从而可得选项.
5．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的性质
【解析】【解答】 ，选项A 中： ，此时 单调递增；选项B 中： ，此时 先递增后递减；选项C中： ，此时 单调递减；选项D 中： ，此时 先递减后递增.
故答案为：C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ，再逐项分析选项即可.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明：若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，取正整数 （其中 不大于 的最大正整数），则当 时，只要 ，都有 ；
必要性证明：若存在正整数 ，当 时， ，因为 ，所以 ，对 都成立，因为 ，且 ，所以 ，对 ，都有 ， ，即 为递增数列，所以 为递增数列是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】先证明充分性：若 为递增数列，则 ，公差 ，取正整数 ，则当 时，只要 ，都有 ；再证明必要性：若存在正整数 ，当 ，有 ，因为 ，结合已知条件得 ， ，即 为递增数列，综上即可判断.
7．【答案】D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项： ， ，由图易知处于固态；
B选项： ， ，由图易知处于液态；
C选项： ， ，由图易知处于固态；
D选项： ， ，由图易知处于超临界状态.
故答案为：D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ，结合T的值以及图象逐个判断即可.
8．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，两式相加得 .
故答案为：B
【分析】令 和 ，所得两式相加即可求解.
9．【答案】B
【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， ，所以 ，当CO上存在一点Q使得 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为π.
故答案为：B
【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 ，当CO上存在一动点Q使得 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 表示的区域的面积.
10．【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，
由题意易知 ，
设 ，
， .
故答案为：D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 ，利用坐标法即可解决问题.
11．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
12．【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线，再根据已知条件即可得.
13．【答案】1；
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质
【解析】【解答】 ，解得 ； ，故 .
【分析】根据函数的零点为 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 代入即可求得.
14．【答案】0（答案不唯一）；1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15．【答案】①③④
【知识点】数列的应用；数列的递推公式
【解析】【解答】 ，可得 ，又各项均为正，可得 ，令 可得 ，可解得 ，故①正确；
当 时，由 得 ，于是可得 ，即 ，若 为等比数列，则 时 ，即从第二项起为常数，可检验 则不成立，故②错误；
，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；
对于④，若所有项均大于等于 ，取 ，则 ， ，于是 与已知矛盾，所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①；根据 的关系，求得 假设 为等比数列，经检验n=3不成立，判断②错误；由 ，可得 ，于是 ，所以 ，于是③正确；利用反证法推出矛盾即可判断④.
16．【答案】（I） ，根据正弦的二倍角公式可得 ，可得 ，所以 ；
（II）∵ ，∴ ， ，由余弦定理 ，得 ，所以 周长为 .
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）根据三角形面积公式求得 ，再由余弦定理求得 ，即可得 周长.
17．【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为 中位线
又M为AB中点，PM是正方形 的中位线
所以
∵ 面 ∥面
又 面
∴ 平面
（II）选择条件①，∵面 面
面 面 ，面 面
又
∴ ，又由①：
∴ 面
∵ 面
故 两两垂直
以B为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立坐标系
则BMN的法向量
AB与面BMN所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值，即
故所求正弦为 .
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）记AB中点为P，由已知条件可得，，推出 面 面 ，从而推出 平面 ；
（2） 选择条件① ，由 面 面 ，推出，再根据，，推出面 ，得到两两垂直，以B为原点 建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角正弦值即可.
18．【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A：
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ；
（II）X所有可能取值为0，1，2，3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
（III）甲的平均数：
乙的平均数：
丙的平均数：
甲的方差：
乙的方差：
丙的方差：
在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可；
（2）由题意 X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；
（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
19．【答案】（Ⅰ）由已知
(Ⅱ)设直线 ， ，
联立
由 得
， ， ，
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得，即
代入上式并等式左右平方后整理可得，
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据已知条件可得， 即，结合求得a，即可得椭圆方程；
（2） 设直线 ，，联立方程组，由韦达定理可得，，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据，可求得的值.
20．【答案】（Ⅰ） ，则 ，又 ，
故所求切线方程为
（Ⅱ） ，
又 ，
故 对 成立， 在 上单调递增
（III）证明：不妨设 ，
由拉格朗日中值定理可得：
其中 ，即
，其中 ，即
由 在 上单调递增，故
∴
∴ 证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）对函数求导得，分别计算，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；
（2）由（1）知，利用放缩法可得，即可判断的单调性；
（3） 不妨设 ，由拉格朗日中值定理可得 ，，即 ， ，由 （2）的结论，得 ， 即，即可证明.
21．【答案】（Ⅰ） 若，则对于任意，，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列；
（Ⅱ）若 ，设为a，b，c，则至多 6种矛盾 满足
（Ⅲ）若k≤5，则 至多可表15个数，与题意矛盾，若 至多可表21个数，而 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 及那个负数（恰21个)
这表明 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 中绝对值最小，同时 中没有两数相同，设那个负数为
则所有数之和 ，再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端，则" 2 ___"形式
若 ，则 (2种方式矛盾)
，问理 ，故-1在一端，不妨为" 形式
右 ，则 (2种矛盾) 同理不行
，则 (2种矛盾)从而
由 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 （Ⅰ）根据可表数列的定义即可判断；
（II）反证法：假设，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k≥4；
（III） 若k≤5，则 至多可表15个数 ，至多可表21个数，而 ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故.
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