2022年高考数学真题试卷(北京卷)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.(2022·北京)已知全集 ,集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得:
故答案为:D
【分析】直接根据补集的概念计算即可.
2.(2022·北京)若复数 满足 ,则 ( )
A.1 B.5 C.7 D.25
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数的模
【解析】【解答】由已知条件可知 ,所以 .
故答案为:B
【分析】根据复数的代数运算以及模长公式,进行计算即可.
3.(2022·北京)若直线 是圆 的一条对称轴,则 ( )
A. B. C.1 D.-1
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标 ,所以由 解得 .
故答案为:A
【分析】由直线是圆的对称轴,则直线过圆心,求圆心代入直线方程即可求得 的值.
4.(2022·北京)已知函数 ,则对任意实数 ,有( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ,可得 ,所以 .
故答案为:C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式,从而可得选项.
5.(2022·北京)已知函数 ,则( )
A. 在 上单调递减
B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减
D. 在 上单调递增
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式;余弦函数的性质
【解析】【解答】 ,选项A 中: ,此时 单调递增;选项B 中: ,此时 先递增后递减;选项C中: ,此时 单调递减;选项D 中: ,此时 先递减后递增.
故答案为:C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ,再逐项分析选项即可.
6.(2022·北京)设 是公差不为0的无穷等差数列,则“ 为递增数列”是“存在正整数 ,当 时, ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明:若 为递增数列,则有对 , ,公差 ,取正整数 (其中 不大于 的最大正整数),则当 时,只要 ,都有 ;
必要性证明:若存在正整数 ,当 时, ,因为 ,所以 ,对 都成立,因为 ,且 ,所以 ,对 ,都有 , ,即 为递增数列,所以 为递增数列是“存在正整数 ,当 时, ”的充要条件.
故答案为:C
【分析】先证明充分性:若 为递增数列,则 ,公差 ,取正整数 ,则当 时,只要 ,都有 ;再证明必要性:若存在正整数 ,当 ,有 ,因为 ,结合已知条件得 , ,即 为递增数列,综上即可判断.
7.(2022·北京)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系,其中 表示温度,单位是 ; 表示压强,单位是bar,下列结论中正确的是( )
A.当 , 时,二氧化碳处于液态
B.当 , 时,二氧化碳处于气态
C.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
D.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【知识点】函数的图象;对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项: , ,由图易知处于固态;
B选项: , ,由图易知处于液态;
C选项: , ,由图易知处于固态;
D选项: , ,由图易知处于超临界状态.
故答案为:D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ,结合T的值以及图象逐个判断即可.
8.(2022·北京)若 ,则 ( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时, ,当 时, ,两式相加得 .
故答案为:B
【分析】令 和 ,所得两式相加即可求解.
9.(2022·北京)已知正三棱锥 的六条棱长均为6, 是 及其内部的点构成的集合,设集合 ,则 表示的区域的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】轨迹方程;棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O,则由题意, ,所以 ,当CO上存在一点Q使得 ,此时QO=1,则动点Q在以QO为半径,O为圆心的圆内,所以面积为π.
故答案为:B
【分析】过点P作底面的射影点O,根据题意可计算 ,当CO上存在一动点Q使得 ,此时QO=1,即可得动点Q的轨迹,从而计算 表示的区域的面积.
10.(2022·北京)在 中, , , . 为 所在平面内的动点,且 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系,
由题意易知 ,
设 ,
, .
故答案为:D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系,设点 ,利用坐标法即可解决问题.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(2022·北京)函数 的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ,解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
12.(2022·北京)已知双曲线 的渐近线方程为 ,则 .
【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ,故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线,再根据已知条件即可得.
13.(2022·北京)若函数 的一个零点为 ,则 ; .
【答案】1;
【知识点】两角和与差的正弦公式;正弦函数的性质
【解析】【解答】 ,解得 ; ,故 .
【分析】根据函数的零点为 ,代入解析式即可求出A的值;从而得到函数的解析式,利用两角差的正弦公式化简,再将 代入即可求得.
14.(2022·北京)设函数 ,若 存在最小值,则 的一个取值为 ; 的最大值为 .
【答案】0(答案不唯一);1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知,函数的最值与函数的单调性相关,故考虑0,2为分界点研究函数的性质,当 时, ,该段的值域为 ,故整个函数没有最小值;当 时, 该段的值域为 ,而 的值域为 ,故此时函数 的值域为 ,即存在最小值0,故第一个空可填写0;当 时, ,该段的值域为 ,而 的值域为 ,若存在最小值,则需满足 ,于是可得 ;当 时, ,该段的值域为 ,而 的值域为 ,若存在最小值,则需满足 ,此时不等式无解.综上, 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0,2为分界点研究函数的单调性和最值,分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15.(2022·北京)已知数列 的各项均为正数,其前 项和 ,满足 给出下列四个结论:
① 的第2项小于3; ② 为等比数列;
③ 为递减数列; ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【知识点】数列的应用;数列的递推公式
【解析】【解答】 ,可得 ,又各项均为正,可得 ,令 可得 ,可解得 ,故①正确;
当 时,由 得 ,于是可得 ,即 ,若 为等比数列,则 时 ,即从第二项起为常数,可检验 则不成立,故②错误;
,可得 ,于是 ,所以 ,于是③正确;
对于④,若所有项均大于等于 ,取 ,则 , ,于是 与已知矛盾,所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①;根据 的关系,求得 假设 为等比数列,经检验n=3不成立,判断②错误;由 ,可得 ,于是 ,所以 ,于是③正确;利用反证法推出矛盾即可判断④.
三、解答题共6小题,共85分。
16.(2022·北京)在 中, .
(I)求 :
(II)若 ,且 的面积为 ,求 的周长.
【答案】(I) ,根据正弦的二倍角公式可得 ,可得 ,所以 ;
(II)∵ ,∴ , ,由余弦定理 ,得 ,所以 周长为 .
【知识点】解三角形;正弦定理的应用;余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)根据正弦的二倍角公式化简求值即可;
(2)根据三角形面积公式求得 ,再由余弦定理求得 ,即可得 周长.
17.(2022·北京)如图,在三棱柱 中,侧面 为正方形,平面 平面 , , 分别为 , 的中点.
(I)求证: 平面 ;
(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求
直线 与平面 所成角的正弦值。
条件①: ;
条件②: .
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分。
【答案】(I)设点P为AB中点,由于P为AB中点,N为AC中点所以PN为 中位线
又M为AB中点,PM是正方形 的中位线
所以
∵ 面 ∥面
又 面
∴ 平面
(II)选择条件①,∵面 面
面 面 ,面 面
又
∴ ,又由①:
∴ 面
∵ 面
故 两两垂直
以B为原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立坐标系
则BMN的法向量
AB与面BMN所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值,即
故所求正弦为 .
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)记AB中点为P,由已知条件可得,,推出 面 面 ,从而推出 平面 ;
(2) 选择条件① ,由 面 面 ,推出,再根据,,推出面 ,得到两两垂直,以B为原点 建立如图空间直角坐标系,利用空间向量求解线面夹角正弦值即可.
18.(2022·北京)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖,为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80, 9.70, 9.55, 9.54, 9.48, 9.42, 9.40, 9.35, 9.30, 9.25;
乙:9.78, 9.56, 9.51, 9.36, 9.32, 9.23;
丙:9.85, 9.65, 9.20, 9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计 的数学期望 ;
(III)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
【答案】(I)由题意得:设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A:
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖,甲的比赛成绩达到9.50以上的有: 9.80,9.70,9.55,9.54 四个,所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ;
(II)X所有可能取值为0,1,2,3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
(III)甲的平均数:
乙的平均数:
丙的平均数:
甲的方差:
乙的方差:
丙的方差:
在校运动会铅球比赛中,乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型概率公式计算即可;
(2)由题意 X 的可能取值为0,1,2,3,先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率,再分别求取X取值的相应概率,由此得分布列和数学期望;
(3)根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
19.(2022·北京)已知椭圆 的一个顶点为 ,焦距为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程:
(Ⅱ)过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ,直线 分别与 轴交于点 ,当 时,求 的值。
【答案】(Ⅰ)由已知
(Ⅱ)设直线 , ,
联立
由 得
, , ,
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得,即
代入上式并等式左右平方后整理可得,
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据已知条件可得, 即,结合求得a,即可得椭圆方程;
(2) 设直线 ,,联立方程组,由韦达定理可得,,由 ABM共线 ,ACN共线可得M、N点坐标,再根据,可求得的值.
20.(2022·北京)已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)设 ,讨论函数 在 上的单调性;
(III)证明:对任意的 ,有 .
【答案】(Ⅰ) ,则 ,又 ,
故所求切线方程为
(Ⅱ) ,
又 ,
故 对 成立, 在 上单调递增
(III)证明:不妨设 ,
由拉格朗日中值定理可得:
其中 ,即
,其中 ,即
由 在 上单调递增,故
∴
∴ 证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明
【解析】【分析】(1)对函数求导得,分别计算,根据直线的点斜式方程即可求切线方程;
(2)由(1)知,利用放缩法可得,即可判断的单调性;
(3) 不妨设 ,由拉格朗日中值定理可得 ,,即 , ,由 (2)的结论,得 , 即,即可证明.
21.(2022·北京)已知 为有穷整数数列.给定正整数 ,若对任意的 ,在 中存在 ,使得 ,则称 为 连续可表数列.
(Ⅰ)判断 是否为5-连续可表数列?是否为 连续可表数列?说明理由;
(Ⅱ)若 为 连续可表数列,求证: 的最小值为4;
(Ⅲ)若 为 连续可表数列, ,求证: .
【答案】(Ⅰ) 若,则对于任意,,所以Q是5-连续可表数列;由不存在任意连续若干项之和相加为6,所以Q不是6-连续可表数列;
(Ⅱ)若 ,设为a,b,c,则至多 6种矛盾 满足
(Ⅲ)若k≤5,则 至多可表15个数,与题意矛盾,若 至多可表21个数,而 ,所以其中有负的,从而a,b,c,d,e,f可表 及那个负数(恰21个)
这表明 中仅一个负的,没有0,且这个们的在 中绝对值最小,同时 中没有两数相同,设那个负数为
则所有数之和 ,再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端,则" 2 ___"形式
若 ,则 (2种方式矛盾)
,问理 ,故-1在一端,不妨为" 形式
右 ,则 (2种矛盾) 同理不行
,则 (2种矛盾)从而
由 ,由表法唯一知3,4不相邻,故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用;数列与不等式的综合
【解析】【分析】 (Ⅰ)根据可表数列的定义即可判断;
(II)反证法:假设,则最多能表示6个数字,与Q为8-连续可表数列矛盾,故k≥4;
(III) 若k≤5,则 至多可表15个数 ,至多可表21个数,而 ,所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数,即至少6个正整数和一个负数才能满足题意,故.
1 / 12022年高考数学真题试卷(北京卷)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.(2022·北京)已知全集 ,集合 ,则 ( )
A. B.
C. D.
2.(2022·北京)若复数 满足 ,则 ( )
A.1 B.5 C.7 D.25
3.(2022·北京)若直线 是圆 的一条对称轴,则 ( )
A. B. C.1 D.-1
4.(2022·北京)已知函数 ,则对任意实数 ,有( )
A. B.
C. D.
5.(2022·北京)已知函数 ,则( )
A. 在 上单调递减
B. 在 上单调递增
C. 在 上单调递减
D. 在 上单调递增
6.(2022·北京)设 是公差不为0的无穷等差数列,则“ 为递增数列”是“存在正整数 ,当 时, ”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2022·北京)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系,其中 表示温度,单位是 ; 表示压强,单位是bar,下列结论中正确的是( )
A.当 , 时,二氧化碳处于液态
B.当 , 时,二氧化碳处于气态
C.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
D.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
8.(2022·北京)若 ,则 ( )
A.40 B.41 C.-40 D.-41
9.(2022·北京)已知正三棱锥 的六条棱长均为6, 是 及其内部的点构成的集合,设集合 ,则 表示的区域的面积为( )
A. B. C. D.
10.(2022·北京)在 中, , , . 为 所在平面内的动点,且 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
11.(2022·北京)函数 的定义域是 .
12.(2022·北京)已知双曲线 的渐近线方程为 ,则 .
13.(2022·北京)若函数 的一个零点为 ,则 ; .
14.(2022·北京)设函数 ,若 存在最小值,则 的一个取值为 ; 的最大值为 .
15.(2022·北京)已知数列 的各项均为正数,其前 项和 ,满足 给出下列四个结论:
① 的第2项小于3; ② 为等比数列;
③ 为递减数列; ④ 中存在小于 的项。
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题,共85分。
16.(2022·北京)在 中, .
(I)求 :
(II)若 ,且 的面积为 ,求 的周长.
17.(2022·北京)如图,在三棱柱 中,侧面 为正方形,平面 平面 , , 分别为 , 的中点.
(I)求证: 平面 ;
(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求
直线 与平面 所成角的正弦值。
条件①: ;
条件②: .
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分。
18.(2022·北京)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖,为预测获得优秀奖的人数及冠军得主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80, 9.70, 9.55, 9.54, 9.48, 9.42, 9.40, 9.35, 9.30, 9.25;
乙:9.78, 9.56, 9.51, 9.36, 9.32, 9.23;
丙:9.85, 9.65, 9.20, 9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计 的数学期望 ;
(III)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)
19.(2022·北京)已知椭圆 的一个顶点为 ,焦距为 .
(Ⅰ)求椭圆 的方程:
(Ⅱ)过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ,直线 分别与 轴交于点 ,当 时,求 的值。
20.(2022·北京)已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)设 ,讨论函数 在 上的单调性;
(III)证明:对任意的 ,有 .
21.(2022·北京)已知 为有穷整数数列.给定正整数 ,若对任意的 ,在 中存在 ,使得 ,则称 为 连续可表数列.
(Ⅰ)判断 是否为5-连续可表数列?是否为 连续可表数列?说明理由;
(Ⅱ)若 为 连续可表数列,求证: 的最小值为4;
(Ⅲ)若 为 连续可表数列, ,求证: .
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得:
故答案为:D
【分析】直接根据补集的概念计算即可.
2.【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数的模
【解析】【解答】由已知条件可知 ,所以 .
故答案为:B
【分析】根据复数的代数运算以及模长公式,进行计算即可.
3.【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标 ,所以由 解得 .
故答案为:A
【分析】由直线是圆的对称轴,则直线过圆心,求圆心代入直线方程即可求得 的值.
4.【答案】C
【知识点】函数的应用
【解析】【解答】由 ,可得 ,所以 .
故答案为:C
【分析】根据函数 的解析式求得 的解析式,从而可得选项.
5.【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式;余弦函数的性质
【解析】【解答】 ,选项A 中: ,此时 单调递增;选项B 中: ,此时 先递增后递减;选项C中: ,此时 单调递减;选项D 中: ,此时 先递减后递增.
故答案为:C
【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 ,再逐项分析选项即可.
6.【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明:若 为递增数列,则有对 , ,公差 ,取正整数 (其中 不大于 的最大正整数),则当 时,只要 ,都有 ;
必要性证明:若存在正整数 ,当 时, ,因为 ,所以 ,对 都成立,因为 ,且 ,所以 ,对 ,都有 , ,即 为递增数列,所以 为递增数列是“存在正整数 ,当 时, ”的充要条件.
故答案为:C
【分析】先证明充分性:若 为递增数列,则 ,公差 ,取正整数 ,则当 时,只要 ,都有 ;再证明必要性:若存在正整数 ,当 ,有 ,因为 ,结合已知条件得 , ,即 为递增数列,综上即可判断.
7.【答案】D
【知识点】函数的图象;对数的性质与运算法则
【解析】【解答】A选项: , ,由图易知处于固态;
B选项: , ,由图易知处于液态;
C选项: , ,由图易知处于固态;
D选项: , ,由图易知处于超临界状态.
故答案为:D
【分析】根据选项所给P的值分别计算 ,结合T的值以及图象逐个判断即可.
8.【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】当 时, ,当 时, ,两式相加得 .
故答案为:B
【分析】令 和 ,所得两式相加即可求解.
9.【答案】B
【知识点】轨迹方程;棱锥的结构特征
【解析】【解答】过点P作底面的射影点O,则由题意, ,所以 ,当CO上存在一点Q使得 ,此时QO=1,则动点Q在以QO为半径,O为圆心的圆内,所以面积为π.
故答案为:B
【分析】过点P作底面的射影点O,根据题意可计算 ,当CO上存在一动点Q使得 ,此时QO=1,即可得动点Q的轨迹,从而计算 表示的区域的面积.
10.【答案】D
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系,
由题意易知 ,
设 ,
, .
故答案为:D
【分析】先根据已知条件建立直角坐标系,设点 ,利用坐标法即可解决问题.
11.【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ,解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
12.【答案】-3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ,故 .
【分析】先写出双曲线 的渐近线,再根据已知条件即可得.
13.【答案】1;
【知识点】两角和与差的正弦公式;正弦函数的性质
【解析】【解答】 ,解得 ; ,故 .
【分析】根据函数的零点为 ,代入解析式即可求出A的值;从而得到函数的解析式,利用两角差的正弦公式化简,再将 代入即可求得.
14.【答案】0(答案不唯一);1
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知,函数的最值与函数的单调性相关,故考虑0,2为分界点研究函数的性质,当 时, ,该段的值域为 ,故整个函数没有最小值;当 时, 该段的值域为 ,而 的值域为 ,故此时函数 的值域为 ,即存在最小值0,故第一个空可填写0;当 时, ,该段的值域为 ,而 的值域为 ,若存在最小值,则需满足 ,于是可得 ;当 时, ,该段的值域为 ,而 的值域为 ,若存在最小值,则需满足 ,此时不等式无解.综上, 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0,2为分界点研究函数的单调性和最值,分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
15.【答案】①③④
【知识点】数列的应用;数列的递推公式
【解析】【解答】 ,可得 ,又各项均为正,可得 ,令 可得 ,可解得 ,故①正确;
当 时,由 得 ,于是可得 ,即 ,若 为等比数列,则 时 ,即从第二项起为常数,可检验 则不成立,故②错误;
,可得 ,于是 ,所以 ,于是③正确;
对于④,若所有项均大于等于 ,取 ,则 , ,于是 与已知矛盾,所以④错误.
【分析】先令 、 计算数列的首项和第二项即可判断①;根据 的关系,求得 假设 为等比数列,经检验n=3不成立,判断②错误;由 ,可得 ,于是 ,所以 ,于是③正确;利用反证法推出矛盾即可判断④.
16.【答案】(I) ,根据正弦的二倍角公式可得 ,可得 ,所以 ;
(II)∵ ,∴ , ,由余弦定理 ,得 ,所以 周长为 .
【知识点】解三角形;正弦定理的应用;余弦定理的应用
【解析】【分析】(1)根据正弦的二倍角公式化简求值即可;
(2)根据三角形面积公式求得 ,再由余弦定理求得 ,即可得 周长.
17.【答案】(I)设点P为AB中点,由于P为AB中点,N为AC中点所以PN为 中位线
又M为AB中点,PM是正方形 的中位线
所以
∵ 面 ∥面
又 面
∴ 平面
(II)选择条件①,∵面 面
面 面 ,面 面
又
∴ ,又由①:
∴ 面
∵ 面
故 两两垂直
以B为原点, 为 轴正方向, 为 轴正方向, 为 轴正方向建立坐标系
则BMN的法向量
AB与面BMN所成角的正弦等于 与 所半余弦的绝对值,即
故所求正弦为 .
【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面平行的判定;用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)记AB中点为P,由已知条件可得,,推出 面 面 ,从而推出 平面 ;
(2) 选择条件① ,由 面 面 ,推出,再根据,,推出面 ,得到两两垂直,以B为原点 建立如图空间直角坐标系,利用空间向量求解线面夹角正弦值即可.
18.【答案】(I)由题意得:设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A:
比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖,甲的比赛成绩达到9.50以上的有: 9.80,9.70,9.55,9.54 四个,所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 ;
(II)X所有可能取值为0,1,2,3
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B,则
丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C,则
0 1 2 3
0.15 0.4 0.35 0.1
(III)甲的平均数:
乙的平均数:
丙的平均数:
甲的方差:
乙的方差:
丙的方差:
在校运动会铅球比赛中,乙获得冠军的概率估计值最大.
【知识点】极差、方差与标准差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型概率公式计算即可;
(2)由题意 X 的可能取值为0,1,2,3,先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率,再分别求取X取值的相应概率,由此得分布列和数学期望;
(3)根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.
19.【答案】(Ⅰ)由已知
(Ⅱ)设直线 , ,
联立
由 得
, , ,
由ABM、ACN共线得
由 得
化简整理得,即
代入上式并等式左右平方后整理可得,
解得k=-4
【知识点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)根据已知条件可得, 即,结合求得a,即可得椭圆方程;
(2) 设直线 ,,联立方程组,由韦达定理可得,,由 ABM共线 ,ACN共线可得M、N点坐标,再根据,可求得的值.
20.【答案】(Ⅰ) ,则 ,又 ,
故所求切线方程为
(Ⅱ) ,
又 ,
故 对 成立, 在 上单调递增
(III)证明:不妨设 ,
由拉格朗日中值定理可得:
其中 ,即
,其中 ,即
由 在 上单调递增,故
∴
∴ 证毕
【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明
【解析】【分析】(1)对函数求导得,分别计算,根据直线的点斜式方程即可求切线方程;
(2)由(1)知,利用放缩法可得,即可判断的单调性;
(3) 不妨设 ,由拉格朗日中值定理可得 ,,即 , ,由 (2)的结论,得 , 即,即可证明.
21.【答案】(Ⅰ) 若,则对于任意,,所以Q是5-连续可表数列;由不存在任意连续若干项之和相加为6,所以Q不是6-连续可表数列;
(Ⅱ)若 ,设为a,b,c,则至多 6种矛盾 满足
(Ⅲ)若k≤5,则 至多可表15个数,与题意矛盾,若 至多可表21个数,而 ,所以其中有负的,从而a,b,c,d,e,f可表 及那个负数(恰21个)
这表明 中仅一个负的,没有0,且这个们的在 中绝对值最小,同时 中没有两数相同,设那个负数为
则所有数之和 ,再考虑排序
(仅一种方式)
∴-1与2相序
若-1不在两端,则" 2 ___"形式
若 ,则 (2种方式矛盾)
,问理 ,故-1在一端,不妨为" 形式
右 ,则 (2种矛盾) 同理不行
,则 (2种矛盾)从而
由 ,由表法唯一知3,4不相邻,故只能 ①
或 ②这2种情形
对① 矛后
对② 也矛盾
综上
【知识点】数列的应用;数列与不等式的综合
【解析】【分析】 (Ⅰ)根据可表数列的定义即可判断;
(II)反证法:假设,则最多能表示6个数字,与Q为8-连续可表数列矛盾,故k≥4;
(III) 若k≤5,则 至多可表15个数 ,至多可表21个数,而 ,所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数,即至少6个正整数和一个负数才能满足题意,故.
1 / 1