2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）

2022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
1．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.
2．（2022·新高考Ⅰ卷）若 则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 解：由题意得， ，则 ，则 2，
故选：D
【分析】先由复数的四则运算，求得z， ，再求z+即可.
3．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
4．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，
代入棱台的体积公式，得，
故选：C
【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.
5．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
6．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
7．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
8．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[18，27]
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，
则，
则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，，
则正四棱锥的体积，
令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ，
则y'=-3x2+1，故当，y'<0，当，y'>0，
则，
，
故该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C
【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.
9．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方体 则（　　）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体ABCD- A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，
所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；
设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，
在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；
直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
13．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 　 　 (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
14．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
15．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
16．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是　 　．
【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
17．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
18．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
19．（2022·新高考Ⅰ卷）如图，直三棱柱 的体积为4， '的面积为
（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， 平面 平面 求二面角 的正弦值.
【答案】（1）因为 ，
所以 ，设A到平面 的距离为h；
则
（2）设D为 的中点，且 ，
由于 BC⊥平面
因为 平面 ，所以 ，
在直角 中， ，连接 ，过A作 ，则 平面 ，而 平面 ，故 .
由 ，
所以 ，
由 ，
以B为原点，向量 ， ， 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设平面ABD的一个法向量 ，
，令 ，则有 .
设平面BCD的一个法向量 ，
令 ，则有
所以
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，再结合棱锥的体积公式求得h；
（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量， ，再求得 ，即可得答案.
20．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
　 不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
附：
P(K2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：
(ii)利用该调查数据，给出 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.
【答案】（1）
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）用局部估计总体
(i)
(ii)
故R的估计值为6
【知识点】独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；
（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；
(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得 ，再代入R，求解即可.
21．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
22．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
1 / 12022年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）
1．（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 则 =（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022·新高考Ⅰ卷）若 则 （　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2022·新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， 记 则 （　　）
A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3
4．（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为 水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为 将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·新高考Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·新高考Ⅰ卷）记函数 的最小正周期为T，若 则 的图像关于点 中心对称，则 （　　）
A．1 B． C． D．3
7．（2022·新高考Ⅰ卷）设 则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 ，且 则该正四棱锥体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．[18，27]
9．（2022·新高考Ⅰ卷）已知正方体 则（　　）
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面ABCD所成的角为
10．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 则（　　）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
11．（2022·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C： 上，过点 的直线交C于P，Q两点，则（　　）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
12．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
13．（2022·新高考Ⅰ卷） 的展开式中 的系数为 　 　 (用数字作答).
14．（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆 和 都相切的一条直线的方程　 　．
15．（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　 　.
16．（2022·新高考Ⅰ卷）已知椭圆C： C的上顶点为A，两个焦点为 离心率为 ，过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， 则△ADE的周长是　 　．
17．（2022·新高考Ⅰ卷）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 ，的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明：
18．（2022·新高考Ⅰ卷）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）若 求B；
（2）求 的最小值.
19．（2022·新高考Ⅰ卷）如图，直三棱柱 的体积为4， '的面积为
（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， 平面 平面 求二面角 的正弦值.
20．（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
　 不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
附：
P(K2 ≥ k) 0.050 0.010 0.001
K 3.841 6.635 10.828
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该
疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(i)证明：
(ii)利用该调查数据，给出 的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.
21．（2022·新高考Ⅰ卷）已知点A(2，1)在双曲线 C： 上，直线 交C于P，Q两点，直线
AP，AQ的斜率之和为0.
（1）求 的斜率；
（2）若 求 的面积.
22．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 和 有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意得， ，则 = ，
故选：D
【分析】先由不等式的解法求得集合M，N，再根据交集的运算求得答案.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 解：由题意得， ，则 ，则 2，
故选：D
【分析】先由复数的四则运算，求得z， ，再求z+即可.
3．【答案】B
【知识点】向量加减混合运算；平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：由题意得， ，
故选：B
【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由题意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，
代入棱台的体积公式，得，
故选：C
【分析】由棱台的体积公式直接求解即可.
5．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个结果，则这2个数互质的概率为 .
故选：D
【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.
6．【答案】A
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得，，
又 的图像关于点 中心对称，
则b=2，且，
所以，
则，
解得，
又，
则k=2，，
故，
故选：A
【分析】由正弦函数的图象与性质，先求得b，，再求得即可.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，
令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
则，
所以y≤0，
所以lna≤lnb，
所以b>a，
a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，
，
令k(x)=，
所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，
所以k(x)>k(0)>0，
所以y'>0，
所以a-c>0，
所以a>c，
综上可得，c故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：记正四棱锥高与侧棱夹角为θ，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，
则，
则l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，，
则正四棱锥的体积，
令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ，
则y'=-3x2+1，故当，y'<0，当，y'>0，
则，
，
故该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C
【分析】由题意正四棱锥的结构特征，结合余弦定理得，进而求得正四棱锥的体积，令x=sinθ，构造函数y=sinθcos2θ=-x3+x，利用导数研究函数的单调性与最值，求得y的最值，从而求得V的最值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：在正方体ABCD- A1B1C1D1中，因为BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，
所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故选项A，B均正确；
设A1C1∩B1D1=O，因为A1C1⊥平面BB1D1D，所以直线BC1与平面BB1D1D所成的角为∠C1BO，
在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故选项C错误；
直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC=45°，故选项D正确.
故选：ABD
【分析】由直线与平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，进而再由直线与平面垂直的性质，从而可判断AB，根据直线与平面所成角的定义可判断CD.
10．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；平面向量的数量积运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p， 所以抛物线C： x2=y，故C的准线为，故A错误；
由y'=2x得曲线C在点A(1，1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y=2x-1，又直线AB为：，即y=2x-1，故直线AB与C相切，故B正确；
过点B(0，-1)的直线设为y=kx-1，交C于P，Q两点的坐标分别设为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线与C方程可得x2-kx+1=0，
则x1+x2=k，x1x2=1，且，
即k2>4，则y1+y2=k2-2，y1y2=1，
此时
，又|OA|2=2，则 ，故C正确；
，
又|BA|2=5，则 ，故D正确.
故选：BCD
【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A，根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B，根据直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C，根据向量的数量积运算可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
13．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
14．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解： 记圆 的圆心为O(0，0)，半径为r1=1，
圆 的圆心为A(3，4)，半径为r2=4，
则|OA|=5=r1+r2，
则两圆外切，作出图象，如图所示，
易得直线l1：x=-1为两圆的切线，
易得直线OA为：，
可得直线l1与直线OA为，
易知两圆的另一公切线l2必过点P，可设l2：，即，
则有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，
另由于两圆外切，所以在公切点处存在公切线l3，由，解得切线l3：3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
【分析】先判断可得两圆外切，数形结合易得其中一切线为：x=-1，再由直线垂直的斜率关系求得切线l2，最后联立两圆的方程组可得切线l3，得解.
15．【答案】a＞0或a＜-4
【知识点】导数的几何意义；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0 ，
可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得 (※)，
又切线有两条， 即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程有两不等实根，由△>0求解即可.
16．【答案】13
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：椭圆离心率为，则a=2c，，可设C：，
则|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，
则△AF1F2为正三角形，则直线DE的斜率，
由等腰三角形性质可得，|AE|=|EF2|， |AD|=|DF2|， 由
椭圆性质得△ADE的周长=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，
设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE为，
与椭圆方程联立，得13x2+8cx-32c2=0，
则，
则，
解得，
即△ADE的周长=4a=13
故答案为：13
【分析】由椭圆的离心率，得a=2c，，并可判断△AF1F2为正三角形，从而可得直线DE的方程为，再根据直线与椭圆的位置关系，结合弦长公式以及椭圆的定义，易得△ADE的周长.
17．【答案】（1）因为 是公差为 的等差数列，而 ，
所以 ①
时， ②
①-②有： .
所以 ，
以上式子相乘，得
经检验， 时， ，符合.
所以 .
（2）由（1）知
所以
所以 = =
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ．
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式可得 ，由利用Sn与an的关系，得 ，再利用累积法，可得an；
（2）由（1）得 ，利用裂项相消求和求得 ，再解不等式即可.
18．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
，所以 ，故 .
（2）因为
所以
所以
由余弦定理
所以
当且仅当 ，即 时取得等号，
综上， 的最小值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 ，可得B；
（2）由诱导公式求得 ， ，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得 ，并利用基本不等式求最值即可.
19．【答案】（1）因为 ，
所以 ，设A到平面 的距离为h；
则
（2）设D为 的中点，且 ，
由于 BC⊥平面
因为 平面 ，所以 ，
在直角 中， ，连接 ，过A作 ，则 平面 ，而 平面 ，故 .
由 ，
所以 ，
由 ，
以B为原点，向量 ， ， 分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
设平面ABD的一个法向量 ，
，令 ，则有 .
设平面BCD的一个法向量 ，
令 ，则有
所以
所以二面角 的正弦值为 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，再结合棱锥的体积公式求得h；
（2）根据平面与平面垂直的性质可得BC⊥平面ABB1A1，再由直线与平面垂直的性质可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰当的空间直角坐标系，分别求得平面ABD，平面BCD的法向量， ，再求得 ，即可得答案.
20．【答案】（1）
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）用局部估计总体
(i)
(ii)
故R的估计值为6
【知识点】独立性检验的应用；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）代入数据，求得K2，再对出表格，即可得结论；
（2）(ⅰ)根据新定义，结合条件概率的计算公式，即可证明；
(ⅱ)由条件概率的计算公式分别求得 ，再代入R，求解即可.
21．【答案】（1）因为点A(2，1)在双曲线 上，所以有
解得 ，所以双曲线
设直线 ，
联立 消去y得到
显然 ，否则不可能有两个交点，
而 ，
由韦达定理得 ，
因为直线AP，AQ的斜率之和为0，
所以
所以 所以
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，易知恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 .
（2）又由（1）易知 ，
且
依题可设AP斜率为 ， 斜率为- ，
则由夹角公式知（后面补充证明） ，
由对称性易知，只需考虑 的情况就行，
所以有 ，解得 或 （舍）.
而 ，同理 ，
而 ，
另一方面，联立 ，（1）
同理 ，（2）
将以上两式相加，得 ，
解得 ，
所以
【知识点】斜率的计算公式；平面内两直线的夹角与到角问题；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先根据题意列式求得双曲线C的方程 ，再结合直线与双曲线的位置关系，以及直线的斜率公式，列式得 ，再判断2k+m-1=0不成立，易得k=-1；
（2）先设AP斜率为 ， 斜率为- ，由夹角公式求得 ，同时根据两直线的位置可得 ，结合(1)，可得 ，再由韦达定理与三角形面积公式可得 ，代入计算即可.
22．【答案】（1）因为 ，所以 ，
若 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，无最小值，不满足；
若 ，令f’（x）＞0 x＞lna，令f’（x）＜0 x＜lna，
所以 ，
因为 ，定义域 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
依题有 ，即 ，
令 ，则 恒成立
所以 在 上单调递增，又因为 ，
有唯一解 ，
综上，
（2）由(1)易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
设三个不同交点的横坐标分别为 ，不妨设 ，
显然有 ，
则肯定有 ，
注意 的结构，易知 ，
所以有 ，所以有 ，而由 在 上单调递减，
知 ，同理 ，
所以 ，
又由 ，
故 ，
所以存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【知识点】指数式与对数式的互化；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；等差数列概念与表示
【解析】【分析】（1）对a分 ， 两种情况，利用导数研究函数f(x)的单调性，并求得 ，同理可得 ，根据题意列式，构造函数 ，并利用导数h’(a)，可得函数h(x)的单调性，并易得h(1)=0，从而求得a；
（2）由(1)易得函数f(x)，g(x)的单调性，不妨设 ，同时根据 ，可得 ， ，从而得 ，再由对数运算可证 ，结论得证.
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