北师大版数学九年级下册 第2章 二次函数 单元复习小结(word版含答案)

单元复习小结
类型之一　二次函数的如图象和性质
1.在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 (　　)
A.y的最小值为1
B.如图象的顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的如图象可以由y=x2的如图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
2.[2021·东营]一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的如图象可能是 (　　)
3.已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则 (　　)
A.y34.已知二次函数y=ax2+bx+c的如图象如示,有下列结论:①abc<0;②a+c>b;③3a+c<0;④a+b>m(am+b)(m≠1).其中正确的结论是　　　　.(填序号)
类型之二　求二次函数表达式
5.[2021·宿迁]已知二次函数y=ax2+bx+c的如图象如示,有下列结论:①a>0;②b2-4ac>0;③4a+b=1;④不等式ax2+(b-1)x+c<0的解集为1A.1 B.2 C.3 D.4
6.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的如图象时,列出了如下的表格:
x … 0 1 2 3 4 …
y=ax2+bx+c … -3 0 1 0 -3 …
那么当x=5时,该二次函数y的值为　　　　.
7.有一条抛物线,三位同学分别说出了它的一些性质:
甲说:对称轴是直线x=2;
乙说:与x轴的两个交点的距离为6;
丙说:抛物线的顶点、抛物线与x轴的两交点围成的三角形的面积等于9.
请你写出满足上述全部条件的抛物线的函数表达式:　　　　　　　　　.
类型之三　二次函数与一元二次方程
8.若二次函数y=x2+mx的如图象的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的根为(　　)
A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7
C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=7
9.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是 (　　)
A.第四象限 B.第三象限
C.第二象限 D.第一象限
10.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx的根是　　　　　　.
11.如在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的如图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)求点A,B的坐标,并根据该函数如图象写出y≥0时x的取值范围.
(2)把点B向上平移m个单位长度得点B1.若点B1向左平移n个单位长度,将与该二次函数如图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位长度,将与该二次函数如图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.
类型之四　二次函数的实际应用
12.某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=-x+26.
(1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)满足的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)如果该产品第一年的利润为20万元,那么该产品第一年的售价是多少
(3)第二年,该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.
类型之五　二次函数综合题
13.[2020·河南模拟]提出问题
若矩形的面积为9,则该矩形的周长有无最大值或最小值 若有,最大(小)值是多少
分析问题
若设该矩形的长为x,则矩形的宽为,若周长为y,则y与x之间的函数关系式为y=2x+(x>0),问题就转化为研究该函数的最值问题.
解决问题
“数学兴趣小组”对函数y=2x+(x>0)的最值问题进行了探究,探究过程如下:
(1)填写下表,并用描点法在坐标系中画出函数y=2x+(x>0)的如图象.
x … 1 2 3 4 5 …
y … 20 12 …
(2)观察该函数的如图象,当x=　　　　时,函数y=2x+(x>0)有最　　　　值(填“大”或“小”),其最值是　　　　;
(3)在求二次函数y=ax2+bx+c的最大(小)值时,我们可以通过配方的形式将函数表达式变为顶点式求出最值,同样函数y=x+(x>0)也可以通过配方求最值:
y=x+=()2+2=()2+2-2·+2·=-2+2.
∵-2≥0,∴y≥2.
当-=0,即x=1时,y最小值=2.
请类比上面的配方法,验证我们对函数y=2x+(x>0)的最值的猜想.
答案
1.C　2.C
3.B　解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2.
∵a=-3<0,∴当x=-2时,函数值最大.
又∵-3到-2的距离比1到-2的距离小,
∴y3故选B.
4.①③④　
5.C　
6.-8
7.y=-(x-2)2+3或y=(x-2)2-3
8.D
9.D　解：∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,∴4-4a<0,解得a>1,∴抛物线的开口向上.又∵b=-2,∴抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴抛物线的顶点在第一象限.故选D.
10.x1=-2,x2=5　解：关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx可变形为a(x-1)2+b(x-1)+c=0.
把抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位长度得到抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c.
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(4,0),
∴抛物线y=a(x-1)2+b(x-1)+c与x轴的交点坐标为(-2,0),(5,0),
∴关于x的一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0的根为x1=-2,x2=5.
故答案为x1=-2,x2=5.
11.解:(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,
解得x1=-2,x2=6,
∴A(-2,0),B(6,0).
由函数如图象,得当y≥0时,-2≤x≤6.
(2)由题意,得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m),函数如图象的对称轴为直线x==2.
∵点B2,B3都在二次函数如图象上且它们的纵坐标相同,
∴=2,
∴n=1,
∴m=-×(-1)2+2×(-1)+6=,
故m,n的值分别为,1.
12.解:(1)W1=(x-6)(-x+26)-80=-x2+32x-236.
(2)由题意,得20=-x2+32x-236,
解得x1=x2=16.
故该产品第一年的售价是16元/件.
(3)因为y≤12,所以-x+26≤12,x≥14,
所以14≤x≤16.
W2=(x-5)(-x+26)-20=-x2+31x-150.
因为-1<0,该二次函数如图象的对称轴为直线x==15.5,
所以当x=14时,W2有最小值,最小值为88.
故该公司第二年的利润W2至少为88万元.
13.解:(1)当x=2时,y=2×2+=13.
故表格中填13.
函数如图象如如图所示.
(2)3　小　12
(3)∵y=2x+
=2()2+2
=2()2+2-2·+6
=2-2+12.
∵-2≥0,∴y≥12.
当-=0,即x=3时,y有最小值,最小值为12.