【满分计划】第一章 直角三角形的边角关系精选精练卷（含解析)

第一章 直角三角形的边角关系
一、单选题（共20分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向，且与他相距，则图书馆A到公路的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
4．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
5．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
6．如图，将一张宽为2cm的长方形纸片沿AB折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长为（ ）cm
A． B． C．2 D．
7．在中，，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A． B． C． D．2＋2
9．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共20分）
11．cos45°-tan60°=________；
12．如果A为锐角，且则_____．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
14．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，操作平台C离地面的高度为_______米.
（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
15．中，，，，则边的长为_______．
16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 ___．
17．如图，点P，A，B，C在同一平面内，点A，B，C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为 ___千米．
三、解答题（共60分）
18．如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．
（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）
（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）
19．（1）方法导引：
问题：如图1，等边三角形的边长为6，点是和的角平分线交点，，绕点任意旋转，分别交的两边于，两点．求四边形面积．
讨论：
①小明：在旋转过程中，当经过点时，一定经过点．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“”证出．
③小飞：因为，所以只要算出的面积就得出了四边形的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形的面积：________．
（2）应用方法：
①特例：如图2，的顶点在等边三角形的边上，，，边于点，于点，求的面积．
②探究：如图3，已知，顶点在等边三角形的边上，，，记的面积为，的面积为，求的值．
③应用：如图4，已知，顶点在等边三角形的边的延长线上，，，记的面积为，的面积为，请直接写出与的关系式．

20．如图，公路为东西走向，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄；要在公路旁修建一个土特产收购站(取点在上)，使得，两村庄到站的距离之和最短，请在图中作出的位置（不写作法）并计算：
（1），两村庄之间的距离；
（2）到、距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）
21．如图，在中，，，，为的中点．动点从点出发以每秒个单位向终点匀速运动（点不与、、重合），过点作的垂线交折线于点．以、为邻边构造矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
（1）直接写出的长（用含的代数式表示）；
（2）当点落在的边上时，求的值；
（3）当矩形与重叠部分图形不是矩形时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（4）沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合条件的的值．
22．某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角．小明测得某时大树的影子顶端在地面处，此时光线与地面的夹角；又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面处，此时光线与地面的夹角，若米，求该树倾斜前的高度（即的长度）．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）．
23．计算：
（1）
（2）
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据Rt△ABC中，cos B，tan B，sin A的定义，进行判断．
【详解】
∵Rt△ABC中，sinA=，cosA=，sin B=，tanB=，
∴选项C正确，选项A、B、D错误，
故选C．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义．关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形．
2．A
【解析】
【分析】
根据题意可得△OAB为直角三角形，∠AOB=30°，OA=200m，根据三角函数定义即可求得AB的长．
【详解】
解：由已知得，∠AOB=90°60°=30°，OA=200m．
则AB=OA=100m．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
4．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】
∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大而增大即可解答．
【详解】
解：∵，且，
∴45°﹤α﹤90°
∵，且
∴0°＜α＜60°
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值，掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键．
6．A
【解析】
【分析】
作点A作，交BC于点D，作点B作，交AC于点E，根据长方形纸条的宽得出，继而可证明是等边三角形，则有，然后在直角三角形中利用锐角三角函数即可求出AB的值．
【详解】
作点A作，交BC于点D，作点B作，交AC于点E，
∵长方形的宽为2cm，
，
，
．
∴是等边三角形，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质，锐角三角函数，掌握等边三角形的判定及性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求得AC的长，然后根据正弦的定义即可求解．
【详解】
解：根据勾股定理可得：AC＝＝，
∴sinB＝＝．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC的长，正确理解正弦的定义是解题关键．
8．B
【解析】
【分析】
过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】
解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，，
∴△ADB∽△APC，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC PD∴，
当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】
解：由勾股定理得，，
所以，．
故选：．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
10．C
【解析】
【分析】
先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】
∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
11．
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】
解：原式．
故答案是：．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．
12．
【解析】
【分析】
将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出2sinAcosA的值，即可求出sinAcosA的值．
【详解】
解：sinA＋cosA＝ ，
两边平方得：（sinA＋cosA）2＝，
（sinA）2＋2sinAcosA＋（cosA）2＝
则1＋2sinAcosA＝，
解得sinAcosA＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了同角三角函数关系，熟练掌握同角三角函数的基本关系是解本题的关键．
13．4
【解析】
【分析】
根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.
【详解】
∵∠C=90°，AB=6，
∴，
∴BC=4.
【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中， ， ，.
14．7.6
【解析】
【分析】
作于，于，如图2，易得四边形为矩形，则，，再计算出，在中利用正弦可计算出，然后计算即可．
【详解】
解：作于E，于，如图2，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴操作平台离地面的高度为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算．
15．2
【解析】
【分析】
根据正切定义得到，则可设AB=x，BC=2x，利用勾股定理计算出AC=x，所以x=，解得x=1，然后计算2x即可得到BC的长．
【详解】
解：如图，
∵∠B=90°，
∴，
设AB=x，则BC=2x，
∴，
∴x=，解得x=1，
∴BC=2x=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
16．
【解析】
【分析】
设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积-四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，设与的交点为，连接，
在和中，
，
，
，
∵旋转角为30°，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．
17．
【解析】
【分析】
根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA=90°，∠PAC=30°，
∵AP=12千米，
∴PC=6千米，AC=6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB=90°，PC=6千米，
∴∠PBC=60°，
∴千米，
∴（千米），
故答案为：．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（1）图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；（2）该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．
【解析】
【分析】
（1）解直角△ACD，求出CD，再解直角△BCD′，求出CD′，然后计算CD﹣CD′的长度即可；
（2）图3中遮阳蓬的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E，解直角△ECD，求出CE，再计算CE-BC即可．
【详解】
（1）在直角△ACD中，∵AC＝AB+BC＝2米，∠CAD＝30°，
∴tan∠CAD＝，
∴CD＝AC tan∠CAD＝2×＝（米）．
在直角△BCD′中，∵BC＝0.5米，∠CBD′＝60°，
∴tan∠CBD′＝，
∴CD′＝BC tan∠CBD′＝0.5×＝（米），
∴CD﹣CD′＝﹣＝（米）．
故图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了米；
（2）如图，图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度时，过D作DE∥BD′，交AB于E．
在直角△ECD中，∵CD＝米，∠CED＝60°，
∴tan∠CED＝，
∴CE＝＝＝，
∴BE＝CE﹣BC＝﹣0.5＝（米）．
故该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
19．（1）；（2）①的面积；②xy=12；③．
【解析】
【分析】
（1）连接、，利用ASA证出，从而得出的面积与四边形的面积相等，过点作于点，利用锐角三角函数求出OH即可求出△OBC的面积，从而得出结论；
（2）①根据等边三角形的性质可得，从而求出∠BOD，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OD和BD，从而求出结论；
②过点作于，于，根据相似三角形判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；
③过点作交的延长线于，于，根据相似三角形的判定定理可得，根据相似三角形的性质列出比例式，变形可得，分别求出OM和ON，再结合三角形的面积公式即可求出结论．
【详解】
解：（1）连接、
∵是等边三角形，
∴
∵是和的角平分线交点
∴
∴，
∴
∴
∴的面积与四边形的面积相等
过点作于点
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴四边形的面积为．
故答案为：．
（2）①∵是等边三角形，
∴
∵于点，
∴
∵，
∴，，
∴的面积
②过点作于，于．
由①得：，同理：
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
③
过点作交的延长线于，于．
∵，
∴
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握全等三角形的判定及性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键．
20．(1) M，N两村庄之间的距离为千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．
【解析】
【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
【详解】
解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．
（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°
∴NE=AN sin∠NAB=10 sin36.5°=6，
AE=AN cos∠NAB=10 cos36.5°=8，
过M作MC⊥AB于点C，
在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°
∴AC=MA sin∠AMB=MA sin36.5°=3，
MC=MA cos∠AMC=MA cos36.5°=4，
过点M作MD⊥NE于点D，
在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，
ND=NE-MC=2，
∴MN==，
即M，N两村庄之间的距离为千米．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．
DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得
MN′==5（千米）
∴村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．
【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
21．（1），；（2）；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】
（1）根据P点的运动速度和BD的长度即可出结果；
（2）画出图象，根据三角形的相似求出各个线段长，即可解决；
（3）分情况讨论，矩形与重叠部分面积即为矩形面积减去△ABC外部的小三角形面积，通过三角函数计算出各边长求面积即可；
（4）要想使被直线分割成的两部分能拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，则需要被分割的是两个至少有一条相等边长的直角三角形，或者直线正好过正方形一条边的中点，分情况画图求解即可．
【详解】
解：（1）∵，为的中点，
∴，
P从B运动到点D所需时间为1s，
由题意可知，
；
（2）如图所示，
由题意得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
由四边形是矩形可知，∠QPD=∠MDP=90°，PQ=DM，即∠APQ=∠BDM=90°，
∵∠B=∠B，∠BDM=∠ACB=90°，
∴△MDB∽△ACB，
∴ ，即，
∴，即
∵∠A=∠A，∠APQ=∠ACB=90°，
∴△APQ∽△ACB，
∴ ，即，
解得 ；
（3）当 时，如图，DM交BC于点F，
由矩形可知PD∥QM，∴∠FQM=∠B=30°，
此时，
∴，
∴,
解得，
，
同理，，解得，
，
，
当 时，如图，DM交BC于点F，QM交BC于E，
，由题意可知∠A=60°，
，
∴，即，
，得，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴，
综上所述： ；
（4）如图所示，当Q与C重合时，满足条件，
由前面解题过程可知此时，
当PQ=DM时，此时直线CD正好过QM的中点，满足条件，
此时，
当直线CD正好过PQ的中点G时，满足条件，如图，
由前面计算可知，则，
，
解得，
综上所述，或．
【点睛】
本题考查了动点问题，熟练掌握三角函数，矩形的性质是解题的关键．
22．该树倾斜前高度约为11.3米．
【解析】
【分析】
过A作AH⊥BC于E，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
过作于，
∵，
∴为等腰三角形，设，
∵，∴，
又在中，
∵，∴，
即，∴，
即，又在中，
∴，
∴．
答：该树倾斜前高度约为11.3米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
23．（1）；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）先去绝对值，零指数幂，负指数幂，二次根式化简，再合并同类项即可；
（2）先计算负指数幂，代入特殊角三角函数值，二次根式化简，再计算乘法，合并同类项即可．
【详解】
解：（1），
=，
=；
（2）
=，
=，
=2．
【点睛】
本题考查特殊角三角函数值，二次根式，负指数幂，零指数幂，绝对值的混合运算，掌握运算法则是解题关键．
答案第1页，共2页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)