2022年中科大少年班招生试题
一、求正整数的最小值，使得存在一个实部和虚部都是正数的z使得
2”=2n
二、(1)已知T,T2为f(x)的周期，a,b为正整数，证明：aT+bT2为f(x)
的周期。
(2)函数f(x)满足：x为有理数时f(x)=1,x为无理数时f(x)=0,证
明：任意正有理数都是f(x)的周期.
(③)已知任意正有理数都是f(x)的周期，且f(x)-f(y)≤x-y恒成立，
证明：f是常值函数，
三、记g(x)=x2-k,h(x)=g(g(x),k为整数.
(1)写出h(x)的表达式.
(②)求集合A={x∈RIh(x)=x.
(3)已知函数f:A→A满足f(f(x)=g(x),证明：f既是单射也是满
射
(④)是否存在函数s(x)使得ss(x)=x2-2？证明你的结论.
四、记o=-+51为三次单位根.记集合X=x+0lx,yeZ公.
2
2
(1)若f(x)是实系数多项式，证明：存在实数a,b使得f(o)=a+b.
(②)上一小题中α，b是不是唯一的？为什么？
(③)对整数x,y,记N(x+yw)=x2-y+y2.
①求所有aeX,使得N(a)=1.
②证明：N(a)≥0(aeX).并求所有a∈X,使得N(a)=0.
③对任意的a,BeX,证明：存在y,6∈X使得a=B+6,且
N(B)>N(8)
(4)对任意的a,B∈X,证明：存在6∈X使得下列两个条件成立：
①存在u,v∈X使得6=au+u:
②存在，2∈X使得a=Yd,B=Y6,
