2021年高考数学真题及解析（理科）（全国乙卷）

2021年全国高考数学真题试卷及解析（理科）
（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则　　
A． B． C． D．
2．已知集合，，，，则　　
A． B． C． D．
3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　
A． B． C． D．
4．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　
A． B． C． D．
5．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
　　
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则　　
A． B． C． D．
8．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为　　
A． B． C． D．
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
10．设，若为函数的极大值点，则　　
A． B． C． D．
11．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
12．设，，，则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为　　．
14．已知向量，，若，则　　．
15．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
19．（12分）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
20．（12分）己知函数，已知是函数的极值点．
（1）求；
（2）设函数．证明：．
21．（12分）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4．
（1）求；
（2）若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程；
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
1.C 【解析】设复数,则.由题意可知.根据复数相等的充要条件,可得,即.故选C.
2.C 【解析】由题意得，集合 ,所以,则.故选C.
3.A 【解析】命题是特称命题.当时,成立，为真命题.命题是全称命题.为真命题.均为假命题，为真命题，为假命题，为假命题，为假命题故选A.
4. B [解析】对于A选项,,定义域为,为非奇非偶函数，不符合题意;对于B选项，,定义域为,则函数为奇函数，符合题意;对于C选项,,定义域为,为非奇非偶函数，不符合题意;对于D选项,,定义域为,为非奇非偶函数,不符合题意.故选B.
5.D 【解析】不妨设正方体的棱长为1,连接(图略):易知//，所以∠(或其补角)是异面直线与，所成的角在中,,由余弦定理可得.因为异面直线所成角不为钝角，所以直线与所成的角为.故选D.
6.C 【解析】由题意可知，将5名志愿者分配到4个项目进行培训共有(种)不同的分配方案，故选C.
7.B 【解析】将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像,再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像.故选B.
8.B 【解析】设在区间(0,1)与(1,2)中随机取的数分别为,则两数之和大于,即,如图中阴影部分.在平面直角坐标系中，正方形的面积,直线一右上方的部分为五边形，则五边形的面积,所以所求概率.故选B.
9.A 【解析】过点作//,交于点(图略).由题意可得三点共线，设∠,则,.因为,所以,两式作差可得,所以.又因为所以,所以海岛的高.故选A.
10.D 【解析】令,解得或.由题得在直线的附近时，左侧为正值，右侧为负值当时，作出的大致图像如图①所示，则,即;当时,作出的大致图像如图②所示，则,即.综上,与始终异号，即,即.故选D.
11.C 【解析】由题意得,设.由点在上,得,即,则.二次函数的图像是开口向下的抛物线的一部分，其中抛物线的对称轴为直线,当时,，即点在抛物线上.由题可知，则,得，则，即 ,则,故,故选C.
12.B 【解析】.令，则,当时，,则,在[0,)上单调递减，则，所以.令,则,当时，,则,在[0,2)上单调递增，所以,所以.综上,.故选B.
13.4 【解析】在双曲线中,,所以渐近线的方程为.因为一条渐近线的方程为,即,且,所以,解得,所以,所以双曲线的焦距.
14. 【解析】因为,所以,整理得,解得.
15. 【解析】又
在中，由余弦定理知,得.
16.②⑤或③④ 【解析】若俯视图为④,则直观图如图甲所示,侧视图为③.若俯视图为⑤,则直观图如图乙所示,侧视图为②.故答案为②⑤或③④.
17. 【解】(1)
(2)由(1)知，,而,所以可以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18. 【解】(1)因为平面,且在矩形中,,所以以为原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(图略).
设,则,所以.因为,所以,解得 ,所以.
(2)由(1)中结论及建立的空间直角坐标系可得，,则.设平面的法向量为，则,即,令，则,所以.
设平面的法向量为,则,即,解得,令,则,所以.所以,所以二面角的正弦值为.
19.(1)【证明】当时,,则,则;当时,代入得,则故数列是首项为,公差为的等差数列.
(2)【解】由(1)得当时,;当时,,由满足上式，得.当时,;当时,- ,因为不满足上式,故.
20.(1)【解】令 则由题知得,则.
当时,.当时,;当0时,故为的极值点，满足题意.综上有.
(2)【证明】由(1)得,定域为(,0)(0,1).当时,，则;当时,,则.
要证1，即证，即证.而，即证.令,则且,即证，即证.令且,则.
当时,单调递减;当时,,单调递增.又时,所以，即.
21.【解】(1)由题得，圆的半径为，则与圆上点的距离的最小值为，解得.
(2)由题得直线的斜率存在，设直线的方程为,联立'得，则,.则抛物线,求导得 ,则在点处切线的斜率为，在点处切线的斜率为.所以切线的方程为，切线的方程为.联立两切线方程得,解得,即,即.
又在圆上，则,有.又,所以.点到直线的距离.所以而,其中,故时,取得最大值,最大值为.
22. 【解】(1)因为的圆心为(2,1),半径为1,所以的参数方程为,(为参数).
(2)由图知的切线的斜率存在,设切线方程,即.由直线与圆相切得圆心(2,1)到切线的距离为1,则,解得,则切线方程为和,即和，则极坐标方程为和.
23. 【解】(1)当时,.
当时,,得;当时,,无解;当时，,得.综上，不等式的解集为(，-4][2, ).
(2)由题有恒成立，而.当且仅当时，等号成立，
故.
当时,,则元:当时，,无解.综上,的取值范围为.