2021年高考数学真题及解析（文科）（全国乙卷）

2021年高考数学真题及解析（文科）
（全国乙卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，2，3，4，，集合，，，，则　　
A． B．， C．， D．，2，3，
2．设，则　　
A． B． C． D．
3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　
A． B． C． D．
4．函数的最小正周期和最大值分别是　　
A．和 B．和2 C．和 D．和2
5．若，满足约束条件则的最小值为　　
A．18 B．10 C．6 D．4
6．　　
A． B． C． D．
7．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为　　
A． B． C． D．
8．下列函数中最小值为4的是　　
A． B． C． D．
9．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　
A． B． C． D．
10．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　
A． B． C． D．
11．设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为　　
A． B． C． D．2
12．设，若为函数的极大值点，则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。
13．已知向量，，若，则　　．
14．双曲线的右焦点到直线的距离为　　．
15．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
19．（12分）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前项和．证明：．
20．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程；
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1.A 【解析】本题考查集合的并集、补集运算.∵M={1,2}，N={3,4}，∴MUN={1, 2，
3, 4},又U={1, 2, 3,4,5}, (MUN) ={5}，故选A.
2.C 【解析】本题考查复数的运算.∵ iz =4 +3i，∴z====3-4i,故选C.
3.A 【解析】本题考查复合命题的真假判断.命题p：∈R，sin＜1是特称命题，当=0时，sin=0＜1成立，∴p为真命题，命题q：∈R，≥1是全称命题，∵||≥0.∴≥=1，所以q为真命题.∴ p, q均为假命题，∴p q为真命题， p q为假命题，p q为假命题， （pVq）为假命题，故选A.
4.C 【解析】本题考查辅助角公式、两角和的正弦公式、正弦型函数的性质，f()=sin+cos=(sin+cos)=sin(+），∴函数f()的最小正周期T==6π，因为∈R，∴f=，故选C.
5.C 【解析】本题考查简单的线性规划问题.
由题可得，约束条件表示的可行域如图阴影部分所示.
由，得，∴A（3,1）；
由，得，∴B（1,3）；
由，得，∴C（5,3）；
由z=3，得=-3+z，当直线=-3+z经过点B时在轴上的截距面最小，∴=3x1+3=6，故选C.
6.D 【解析】本题考查诱导公式、二倍角的余弦公式.
-==-==，故选D.
7.B 【解析】本题考查几何概型概率的求法.由于区间(0,)的长度是，而取到的数小于，则该数在区间(0,)内，其长度为，故所求概率P==.
8.C 【解析】本题考查函数最值的求法及基本不等式的应用.
A中,= +2+4= +3≥3，不符合题意.
B中,=+,令t= ,则=t+ ,t∈(0,1].由于=t+在区间(0,1]上单调递减，因此y≥1 +4=5,最小值是5，不符合题意.
C中,=+-*,令=则=+,(0，+∞)，所以≥2=4，当且仅当=2,即=1时取等号，符合题意.
D中，当∈(0,1)时,In＜0,=In+＜0,不符合题意.故选C.
9.B 【解析】本题考查函数的奇偶性及图像变换f() ===-1+,
对于A选项,f()-1=-1=-2,≠0，不符合题意；
对于B选项,f()+1=+1=,≠0，为奇函数，符合题意；
对于C选项,f()-1=-1=-2,≠-2，不符合题意；
对于D选项,f()+1=+1=,≠-2，不符合题意.故选B.
10.D 【解析】本题考查异面直线所成的角及余弦定理的应用.不妨设正方体的棱长为1,连接，(图略)，由题意可知//，所以∠或其补角是异面直线与所成的角.在△中,= ,=,===，由余弦定理可得cos∠===.又∠∈(0,π)，所以∠=，即直线与所成的角为，故选D.
11.A 【解析】本题考查椭圆的几何性质.由+=1知椭圆上顶点B坐标为(0,1).设(,)(|≤1)是椭圆上任意一点，则||=.又+=1,则=5(1-),则||==.由||≤1知=-时,||取最大值,为.故选A.
12.D 【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值.∵f()=，∴f()=.
若>0,且“时,函数f()在(-∞,)上单调递增，在()上单调递减,在(,+∞)上单调递增,∴函数f()在=处取极小值,不符合题意.
若>0，且<时，函数f()在(-∞,)上单调递增，在(,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增，∴函数f()在=处取极大值,此时0<<,∴ <.同理，若<0,且a<时，函数f()在(-∞,)和(,+∞)上单调递减，在(,)上单调递增，∴函数f()在=处取极小值,不符合题意.
若<0,且> 时，函数f()在(-∞,)和(,+∞)上单调递减，在(,)上单调递增，函数f()在=处取极大值,此时0>>,∴ <.综上, <,故选D.
13. 【解析】本题考查向量共线的坐标运算.由//得,2 x4-5λ=0,解得λ=.
14. 【解析】本题考查双曲线的几何性质及点到直线距离公式的应用.由题意知∴，即=3，∴右焦点坐标为(3,0).∴点(3,0)到直线的距离.
15. 【解析】本题考查三角形面积公式及余弦定理的应用.∵，B=60°，∴X=，∴=4.又,∴+=12.在中，由余弦定理知B=12-8x=8,解得=.
16.②⑤(或③④) 【解析】本题考查三棱锥的三视图，
若俯视图为④，则直观图如图甲所示，侧视图为③;
若俯视图为⑤，则直观图如图乙所示，侧视图为②.
17.[解]本题考查样本的平均数和方差.
(1)由题意知,x (9.8+10.3 ++10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10,
=x(10.1+(1)由题意知10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
=x[+]=0.036;
=x[+]=0.04;
由(1)中的数据可得-=0.3,2==,而0.3>，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18.本题考查面面垂直的证明、四棱锥的体积计算.
(1)[证明]因为⊥底面, 底面,所以⊥.又因为⊥,∩=,所以⊥平面.又 平面,所以平面⊥平面.
(2)[解]由(1)知⊥平面,又 平面,所以⊥.在矩形中,设 =2(>0)，则由⊥可得∠ ∠=90°，而∠ +∠ = 90°,所以∠= ∠.在Rt△和Rt△中,tan∠= ,tan∠==,所以=,即=，所以=，所以四棱锥的体积xx1x1=.
19.本题考查等比数列的通项公式及错位相减法求和.
(1)[解]设等比数列的公比为,则 =.又因为,,成等差数列,所以2x= +，即6=1+9,解得=，所以=,==.
(2)[证明]由(1)得===-,=+++,①
=++++，②
①-②可得=++++-=-=-=--,
所以 =--=-.
因为-=＞0,所以大于，所以-＜-，所以-＜-，即＜-=.
20．[解]（1）由题意知，，．
（2）由（1）知，抛物线，，
设点的坐标为，则，
点坐标为，将点代入得，
整理得，，当时取最大值．
故答案为：．
21．[解]（1），△，
①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
②当△，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，，单调递增，在，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）设曲线过坐标原点的切线为，
切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
22.[解]本题考查圆的参数方程、直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化及直线与圆相切.
(1)因为 的圆心为(2,1),半径为1,所以 的一个参数方程为
(为参数).
(2)由图知 的切线斜率存在，设切线方程为即.由直线与圆相切得圆心(2,1)到切线的距离为1,则=1,解得=±,则切线方程为或-
即或，极坐标方程为ρcosθ-或ρcosθ+.
23.[解]本题考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式.
(1)当时,f() =≥6,
当≥1时,2 +2≥6,解得≥2;当-3<<1时,4≥6,无解;当≤-3时，-(2+2)≥6,
解得≤-4.
综上，不等式f()≥6的解集为(-∞,-4]∪[2,+∞).
(2)由题有恒成立，而≥,当且仅当(≤0时，等号成立，故>0.
当≥-3时,2+3>0，解得> - ;当< -3时，-3>0,无解.综上,的取值范围为(-).