2021年高考数学真题及解析（文科）（全国甲卷）

2021年全国高考数学真题试卷及解析（文科）
（全国甲卷）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，3，5，7，，，则　　
A．， B．，7， C．，5，7， D．，3，5，7，
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是　　
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3．已知，则　　
A． B． C． D．
4．下列函数中是增函数的为　　
A． B． C． D．
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为　　
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为
　　
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．在一个正方体中，过顶点的三条棱的中点分别为，，．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是　　
A． B．
C． D．
8．在中，已知，，，则　　
A．1 B． C． D．3
9．记为等比数列的前项和．若，，则　　
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为　　
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．若，，则　　
A． B． C． D．
12．设是定义域为的奇函数，且．若，则　　
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量，满足，，，则　　．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为，则该圆锥的侧面积为　　．
15．已知函数的部分图像如图所示，则　　．
16．已知，为椭圆的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为　　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（12分）记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．
19．（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知为棱上的点，证明：．
20．（12分）设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围．
21．（12分）抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，且．已知点，且与相切．
（1）求，的方程；
（2）设，，是上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数，．
（1）画出和的图像；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
1.B 【解析】本题考查集合的交集与不等式的解法.因为,且,所以,故选B.
2.C 【解析】本题考查频率分布直方图.对于A,由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入低于 4.5万元的农户比率估计为(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故A正确;对于B,由频率分布直方图，知该地农户家庭年收入不低于10. 5万元的农户比率估计为(0.04 +0.02+0.02 +0.02)x1=0.10=10% ,故B正确;对于C,由频率分布直方图可算得年收入的平均值约为0.02x3+0.04x4+0.10x5+0.14x6+0.20x7+
0.20x8+0.10x9+0.10x10+0.04x11+0.02x12+0.02x13+0.02x14=7.68(万元)，所以可估计该地农户家庭年收入的平均值为7.68万元，故C不正确;对于D,由频率分布直方图，知家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计为(0.10+0.14+0.20+0.20)x1=0.64=64%，所以可以估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故D正确.故选C。
3.B 【解析】本题考查复数的运算.由题意,得,故选B.
4.D 【解析】本题考查函数的单调性,对于A,函数f()=-为R上的减函数，故A不正确;对于B，因为<1，所以函数f()=为R上的减函数，故B不正确;对于C,函数f()=在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增，故C不正确;对于D,函数f()=为R上的增函数，故D正确.故选D.
5.A 【解析】本题考查双曲线的渐近线、点到直线的距离公式.双曲线的渐近线方程为34 =0，则点(3,0)到其渐近线的距离为,故选A.
6.C 【解析】本题考查指数运算和对数运算，由题知4.9=5+,则lgV=-0.1,解得V=,故选C.
7.D 【解析】本题考查空间几何体的三视图，由题意得，该空间几何体的直观图如图①，则其侧视图如图②，故选D.
8. D 【解析】本题考查由余弦定理解三角形.结合余弦定理可得,即19=4+，解得=3或=-5(舍)，故选D.
9.A 【解析】本题考查等比数列的前项和.设等比数列的公比为，则可得,则,故选A.
10.C 【解析】本题考查古典概型.先排好3个1,并将其空位从左到右依次标记为A,B,C,D.将2个0放入4个空位中，事件“2个0不相邻”包含的基本事件分别为(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)，共6个，事件“2个0相邻”包含的基本事件分别为(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),共4个，则基本事件的总数为10,因此事件“2个0不相邻”的概率为故选C.
11.A 【解析】本题考查同角三角函数基本关系式以及二倍角公式.，化简得4,则.因为,所以,则,故选A.
12.C 【解析】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性.由题知f()=f())=f()=-f()=-f(-)=f(),则函数f()是周期为2的周期函数，则f()=f(-)=,故选C.
13. 【解析】本题考查平面向量数量积与模的运算，由两边平方,得=25,解得=.
14.39 【解析】本题考查圆锥的体积与侧面积,设圆锥的高为,则由圆锥的体积(为底面圆半径)，得,解得，所以该圆锥的母线，所以该圆锥的侧面积.
15. - 【解析】本题考查余弦函数的图像与性质，由图像，知，所以，解得=2.当=2时，由点在f()的图像上得,解得，所以f()=2cos;当=-2时,f()= 2cos，所以f()=2cos.
16.8 【解析】本题考查椭圆的定义.由椭圆方程知=4,b=2,c=.由P,Q关于坐标原点对称，,关于坐标原点对称，可知四边形为平行四边形.又因为,所以四边形为矩形,所以⊥.所以在Rt△中,由勾股定理，得=48 ①.又由椭圆定义，得||+| ②.对②式平方,得=64 ③,将①式代入③式,得48+=64,解得=8,所以四边形的面积=8.
17.[解]本题考查频率及独立性检验的应用.
(1)由题意可知，甲机床生产的产品中一级品的频率为乙机床生产的产品中一级品的频率为.
(2)由可得，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
18.[证明]本题考查等差数列及通项与前项和的关系.
设数列{}的公差为(为常数).
因为{}是等差数列，所以当≥2时，-所以于是,当≥2时,,又为常数,且当=1时，符合上式，所以数列{}是等差数列.
19.本题考查三棱锥的体积及空间直线垂直的证明.
(1)[解]在直三棱柱中，因为侧面为正方形,所以⊥.
又因为BF⊥,且BF，所以⊥侧面.因为//AB,所以AB⊥侧面.又BC 侧面,所以AB⊥BC.因为E,F分别为AC,的中点，所以CF=1,且所以三棱锥F- EBC的体积V
[证明]取BC的中点M,连接EM,,则EM// AB//,所以,四点共面.在正方形中，由且∠FCB=90°，所以△FCB≌△,所以∠CBF=∠,∠CFB=∠,所以∠CBF+
∠=90°，则BF⊥.又因为BF⊥,且∩，所以BF⊥平面.又因为DE 平面，所以BF⊥DE.
20.[解]本题考查利用导数研究函数的单调性及参数取值范围的求解.
(1)则.又0，所以.令,可得，当时,;当时,,所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)知又时,,所以若的图像与轴没有公共点，则即3 +,得一,所以的取值范围为(,.
21.[解]本题考查抛物线与圆的方程,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式.
(1)抛物线C的焦点在轴上且与直线交于P,Q两点，设抛物线C的方程为不妨设∵OP⊥0Q,∴ 即1-=0,∴=1，∴.抛物线C的方程为又与相切,且M(2,0)，∴的方程为
(2)相切.证明如下:由题意可知点均不与P,Q重合设，则有.
当时，直线的方程为即 即
∴直线与相切，∴圆心M(2,0)到直线的距离为1,即即又,代入上式得,则点在直线上.同理可得当直线的斜率存在时，点也在直线上，
∴直线的方程为，
则圆心M(2,0)到直线的距离为∴直线与相切.
当时,直线的方程为.
∵直线与相切，∴.不妨设,则,∠.直线与相切，∴ ∠.∴直线的方程为，即,∴点(0,0).此时直线的方程为,圆心M(2,0)到直线的距离为1,∴直线与相切.综上,直线与相切.
22.[解]本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，圆的参数方程及两圆的位置关系.
(1)由,得,∵,∴，即.
(2)设P(,).
∵M为C上的动点，∴可设.又A(1,0).∴.又∵，∴即∴点P的轨迹的参数方程为(为参数).
则曲线是以为圆心，半径的圆，曲线C是以( ,0)为圆心，半径的圆.
又，
∴圆C内含于圆与无公共点.
23[解]本题考查含绝对值函数的图像及绝对值不等式的求解.
(1),
画出函数和的图像如图所示.
(2)由(1)中的图像可知,的图像可由的图像向左(>0)或向右(<0)平移||个单位长度得到，且向右平移不符合题意，向左平移的图像易知当射线过图像上的点(，4)时为临界状态，此时有,解得.因此，若要满足题意，则，即所求的取值范围为