中国科学技术大学2022年创新班招生考试复试数学试题（Word版含解析）

中国科学技术大学2022年创新班招生考试复试
数学
注意事项：
答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷满分100分，需要写出必要的计算和证明过程。
一、求最小值的正整数使得存在一个实部和虚部都是正数的使得。
二、（1）已知为周期，为正整数，证明为周期。
（2）为一个函数满足：为有理数，为无理数，证明任意正有理数都是周期。
（3）已知任意正有理数都是周期，且恒成立，证明：是常值函数。
三、记，为整数。
（1）写出的表达式。
（2）求集合
（3）已知函数满足，证明：即是单射也是满射。
（4）是否存在函数使得？证明你的结论。
四、记为三次单位根。记集合。
（1）是实系数多项式，证明：存在实数使得；
（2）上一个小题中是不是唯一的？为什么？
（3）对整数，记。
① 求所有，使得；
② 证明：。冰球所有，使得。
③ 对任意的，证明：存在使得，且
（4）对任意的，证明：存在使得下面两列两个条件成立：
① 存在，使得；
② 存在，使得
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数学试题答案解析