第四章 对数运算与对数函数 章末综合检测卷-北师大版（2019）必修第一册（Word版含答案）

《第四章　对数运算与对数函数》章末综合检测卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A={y|y=},B={x|y=ln(x-1)},则A∩B=(　　)
A.[1,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
2.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是(　　)
A.f(x)=2x B.f(x)=
C.f(x)=lo|x| D.f(x)=-x|x|
3.[2022江西九江高一上期末考试]函数f(x)=x2+ln|x|的图象大致是(　　)
4.已知f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.[,1)
C.(,1) D.(1,+∞)
5.某类蓄电池的容量C(单位:Ah)、放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式为C=In·t,其中n为Peukert常数.为了测算该类蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h;当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h.则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
A. B. C. D.2
6.[2022辽宁抚顺六校协作体高一上期末考试]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减.设a=f(log45),b=f(log2),c=f(0.20.5),则(　　)
A.cC.b7. 若x2-loga(x+1)<2x-1在(,1)内恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[()-4,1) B.(()-4,1)
C.(1,()4) D.(1,()4]
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x2>x1>0时,x2 f(x1)-x1 f(x2)>x2-x1,若f(1)=e+1,则不等式f(ln x)>ln x+x的解集为(　　)
A.(0,e) B.(1,e)
C.(1,+∞) D.(e,+∞)
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x+1)=loga(x+2)(a>0且a≠1),则(　　)
A.f(x)=logax
B.f(x)的图象恒过原点
C.f(x)无最大值
D.f(x)是增函数
10.已知π为圆周率,e为自然对数的底数,则(　　)
A.πe<3e 　 B.logπe>log3e
C.π·3e-2>3·πe-2 　 D.πlog3e>3logπe
11.已知正实数x,y满足log2x+y<()x-()y,则下列关系一定正确的是(　　)
A. B.x3C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y<
12.已知函数h(x)=ex与函数g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x)=g(),则(　　)
A.函数f(x)的定义域为(-1,1)
B.对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f()
C.对于函数f(x)定义域中任意两个不同实数x1,x2,总满足>0
D.f(x)在[0,]上的值域为[ln,0]
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则实数a=　　　　.
14.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是　　　　.
15.约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数,后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N b=logaN,现已知2a=6,3b=36,则=　　　　,=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分.)
16.已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=loga(1+bx)(a>0且a≠1),f(1)=1,f(3)=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)请从①y=f(x)-f(-x),②y=f(-x)-f(x),③y=f(x)+f(-x)这三个条件中选择一个作为函数g(x)的解析式,指出函数g(x)的奇偶性,并证明.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)已知函数f(x)=ax+k(a>0,且a≠1)的图象过点(-1,1),其反函数f -1(x)的图象过点(8,2).
(1)若将f -1(x)的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,就得到函数g(x)的图象,写出g(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,若g(x)≥3m-1在x∈[2,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-lo(x+1).
(1)求函数f(x)在(-∞,0)上的解析式;
(2)求不等式f(lox)+f(log2(2x-1))<0的解集.
20.(12分)已知在函数y=lox的图象上有A,B,C三点,它们的横坐标依次为t,t+2,t+4,其中t≥1.
(1)设△ABC的面积为S,求S关于t的解析式S=f(t);
(2)判断函数S=f(t)的单调性;
(3)求S=f(t)的最大值.
21.(12分)[2022江西赣州高一上期末考试]已知函数f(x)=log2x.
(1)若g(x)=f()·f(2x),求函数g(x)的值域;
(2)若不等式f(k·2x)≥f(4x-k)在区间[1,2]有解,求实数k的取值范围.
22. (12分)[2022辽宁沈阳郊联体高一上期末考试]已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0),当点M(x,y)在函数y=g(x)的图象上运动时,对应的点N(3x,2y)在函数y=f(x)的图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的相关函数.
(1)解关于x的不等式f(x)<1.
(2)对任意的x∈(0,1),f(x)的图象总在其相关函数g(x)图象的下方,求实数a的取值范围.
(3)设函数F(x)=f(x)-g(x),x∈(0,1).当a=1时,求|F(x)|的最大值.
参考答案
一、单项选择题
1.C　2.D　3.C　4.B　5.B　6.A　7.D　8.B
二、多项选择题
9.BC　10.CD 11.BC　12.ABD
三、填空题
13.1
14.{x|-115. 　1
16.-2
四、解答题
17.(1)由题意,得,
所以,解得或(舍去),
所以函数f(x)=log2(1+x).(4分)
(2)选择①.
g(x)=log2(1+x)-log2(1-x),
要使g(x)有意义,则应满足,
所以x∈(-1,1),关于原点对称.(7分)
又g(x)=log2,g(-x)=log2=log2()-1=-log2=-g(x),
所以函数g(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.(10分)
选择②.
g(x)=log2(1-x)-log2(1+x),
要使g(x)有意义,则应满足,
所以x∈(-1,1),关于原点对称.(7分)
又g(x)=log2,g(-x)=log2=log2()-1=-log2=-g(x),
所以函数g(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.(10分)
选择③.
g(x)=log2(1+x)+log2(1-x),
要使g(x)有意义,则应满足,
所以x∈(-1,1),关于原点对称.(7分)
又g(x)=log2(1-x2),g(-x)=log2[1-(-x)2]=log2(1-x2)=g(x),
所以函数g(x)是定义在(-1,1)上的偶函数.(10分)
18.(1)由题意,得,所以,
所以f(x)=2x+1,得f -1(x)=log2x-1.(4分)
将f -1(x)的图象向左平移2个单位长度,得到y=log2(x+2)-1的图象,再向上平移1个单位长度,得到y=log2(x+2)的图象.
所以g(x)=log2(x+2).(6分)
(2)要使g(x)≥3m-1在x∈[2,+∞)上恒成立,只需当x∈[2,+∞)时,g(x)min≥3m-1.(8分)
因为g(x)在[2,+∞)上单调递增,
所以g(x)min=g(2)=log2(2+2)=2,
则2≥3m-1,解得m≤1.
所以实数m的取值范围是(-∞,1].(12分)
19.(1)当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-[-x-lo(-x+1)]=x+lo(-x+1),
所以函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x+lo(-x+1).(4分)
(2)当x≥0时,f(x)=x-lo(x+1)=x+log2(x+1)为增函数,
又f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)在R上为增函数.(6分)
由f(lox)+f(log2(2x-1))<0,得f(log2(2x-1))<-f(lox)=f(-lox)=f(log2x),
所以log2(2x-1)所以,解得所以不等式f(lox)+f(log2(2x-1))<0的解集为(,1).(12分)
20.(1)作出函数y=lox的图象如图所示,A,B,C三点的坐标分别为(t,lot),(t+2,lo(t+2)),(t+4,lo(t+4)),分别过A,B,C三点向x轴作垂线,垂足分别为E,F,N,
则△ABC的面积为
S△ABC=S梯形ABFE+
=-[lot+lo(t+2)]-[lo(t+2)+lo(t+4)]+2[lot+lo(t+4)]
=lot+lo(t+4)-2lo(t+2)
=log2
=log2(1+),
即S=f(t)=log2(1+)(t≥1).(6分)
(2)f(t)=log2(1+)(t≥1)是复合函数,其外层是一个增函数,当t≥1时,内层是一个减函数,故函数f(t)=log2(1+)(t≥1)是一个减函数.(10分)
(3)由(2)的结论,可知函数在t=1时取到最大值,f(1)=log2(1+)=log2,
故S=f(t)的最大值是log2.(12分)
21.(1) g(x)=f()·f(2x)=(log2)·(log22x)=(log2x-3)(log2x+1),(1分)
令t=log2x(t∈R),则函数g(x)的值域转化为函数h(t)=(t-3)(t+1)的值域.
又h(t)=t2-2t-3=(t-1)2-4,
∴当t=1时,h(t)min=-4,(3分)
∴g(x)的值域为[-4,+∞).(4分)
(2)由题意,得在区间[1,2]恒成立,解得0∵f(x)=log2x在区间[1,2]上单调递增,
且f(k·2x)≥f(4x-k)在区间[1,2]有解,
∴k·2x≥4x-k在区间[1,2]有解,
即(2x+1)k≥4x在区间[1,2]有解,
又2x+1>0,∴k≥在区间[1,2]有解.(8分)
令t=2x+1,x∈[1,2],则t∈[3,5],
设φ(t)==t+-2,t∈[3,5],
∵函数φ(t)在区间[3,5]上单调递增,
∴φ(t)min=φ(3)=.(10分)
又k≥在区间[1,2]有解等价于k≥φ(t)min,∴k≥.
综上,实数k的取值范围为[,4).(12分)
22.(1)依题意,得,则,解得-a故所求不等式的解集为(-a,2-a).(2分)
(2)由题意,得2y=log2(3x+a),即f(x)的相关函数为g(x)=log2(3x+a).(3分)
又对任意的x∈(0,1),f(x)的图象总在其相关函数g(x)图象的下方,
所以当x∈(0,1)时,f(x)-g(x)=log2(x+a)-log2(3x+a)<0恒成立.
由x+a>0,3x+a>0,a>0,得x>-.
在此条件下,当x∈(0,1)时,log2(x+a)2即(x+a)2<3x+a恒成立,
即x2+(2a-3)x+a2-a<0恒成立,(5分)
所以,解得0故实数a的取值范围为(0,1].(7分)
(3)当a=1时,由(2)知在区间(0,1)上,f(x)所以|F(x)|=|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=log2.
令t=,μ=3x+1∈(1,4),则x=,
所以t=(μ++4)≥(2+4)=,当且仅当μ==2,即x=时取等号,(11分)
所以|F(x)|的最大值为log2=log23-.(12分)