§1 对数的概念
A级必备知识基础练
1.若7x=8,则x=( )
A. B.log87 C.log78 D.log7x
2.方程的解是( )
A. B. C. D.9
3.(多选题)下列结论正确的是( )
A.lg(lg 10)=0
B.lg(ln e)=0
C.若10=lg x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5
4.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A.e0=1与ln 1=0
B.与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
5.若loga2=m,loga3=n,则a2m+n= .
6.已知a=log48,b=log24,则4a= ,a+b= (用最简结果作答).
7.求下列各式中x的值:
(1)log2x=-; (2)logx(3+2)=-2;
(3)log5(log2x)=1; (4)x=log27.
8.解答下列各题.
(1)计算:lg 0.000 1;log2;log3.12(log1515).
(2)已知log4x=-,log3(log2y)=1,求xy的值.
9.求下列各式中x的取值范围:
(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).
B级关键能力提升练
10.已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab=( )
A.2 B.3 C.5 D.6
11.已知lo(log2x)=lo(log3y)=1,则x,y的大小关系是( )
A.x
C.x>y D.不确定
12.若f(ex)=x,则f(2)= .
13.已知log(x+3)(x2+3x)=1,则x的值为 .
14.求下列各式的值:
(1)lo2; (2)log7; (3)log2(log93).
C级学科素养创新练
15.若log2(lo(log2x))=log3(lo(log3y))=log5(lo(log5z))=0,试确定x,y,z的大小关系.
§1 对数的概念
1.C
2.A ∵=2-2,
∴log3x=-2,∴x=3-2=.
3.AB ∵lg10=1,∴lg(lg10)=lg1=0,A正确;
∵lne=1,∴lg(lne)=lg1=0,B正确;
若10=lgx,则x=1010,C不正确;
若log25x=,则x=2=5,D不正确.
4.ABD log39=2应转化为32=9.
5.12 因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3.
所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
6.8 ∵a=log48,b=log24,则4a==8,即22a=23,∴2a=3,∴a=.由b=log24,∴2b=4,即2b=22,
∴b=2,∴a+b=+2=.
7.解(1)由log2x=-,得=x,故x=.
(2)由logx(3+2)=-2,得3+2=x-2,
故x=(3+2-1.
(3)由log5(log2x)=1,得log2x=5,故x=25=32.
(4)由x=log27,得27x=,即33x=3-2,
故x=-.
8.解(1)因为10-4=0.0001,
所以lg0.0001=-4.
因为2-6=,所以log2=-6.
log3.12(log1515)=log3.121=0.
(2)因为log4x=-,所以x==2-3=.
因为log3(log2y)=1,所以log2y=3.
所以y=23=8.所以xy=×8=1.
9.解(1)由题意知x-10>0,所以x>10.
故x的取值范围是{x|x>10}.
(2)由题意知
即所以x>1,且x≠2,
故x的取值范围是{x|x>1,且x≠2}.
10.D 设log2a=log3b=k,则a=2k,b=3k,
∴a+b=2k+3k=5,
∴k=1,
∴a=2,b=3,
∴ab=2×3=6.
故选D.
11.A 因为lo(log2x)=1,
所以log2x=.所以x=.
又因为lo(log3y)=1,所以log3y=.
所以y=.
因为,
所以x12.ln 2
13.1 由对数的性质知
解得x=1.故实数x的值为1.
14.解(1)设lo2=x,则=2,即2-4x=2,
∴-4x=1,x=-,即lo2=-.
(2)设log7=x,则7x=.
∴x=,即log7.
(3)设log93=x,则9x=3,即32x=3,∴x=.
设log2=y,则2y==2-1,
∴y=-1.∴log2(log93)=-1.
15.解由log2(lo(log2x))=0,得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log3(lo(log3y))=0,得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310.
由log5(lo(log5z))=0,得lo(log5z)=1,log5z=,
z==(56,∵310>215>56,∴y>x>z.
12.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
A级必备知识基础练
1.2log510+log50.25=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2.(2022内蒙古包头高三期末(文))若xlog34=1,则3(4x-4-x)=( )
A.5 B.7 C.8 D.10
3.等于( )
A.lg 3 B.-lg 3 C. D.-
4.已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为( )
A.6 B.9 C.12 D.18
5.(2022江西九江高一期末)设a=lg 2,b=lg 3,则log318=( )
A.+1 B.+1 C.+2 D.+2
6.log35log46log57log68log79= .
7.设ax=M,y=logaN(a>0,且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga= .
8.计算:
(1);
(2)lg-lg+lg-log92·log43;
(3)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.
B级关键能力提升练
9.若lg x-lg y=a,则lg-lg=( )
A.3a B.a C.a D.
10.若2loga(P-2Q)=logaP+logaQ(a>0,且a≠1),则的值为( )
A. B.4 C.1 D.4或1
11.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C. D.
12.设a=log36,b=log520,则log215=( )
A. B.
C. D.
13.(2022江西景德镇一中高一期末(文))已知实数x,y,正数a,b满足ax=by=2,且=-3,则-a的最小值为 .
14.已知loga(x2+4)+loga(y2+1)=loga5+loga(2xy-1)(a>0,且a≠1),求log8的值.
C级学科素养创新练
15.设正数a,b,c满足a2+b2=c2.求证:log21++log21+=1.
2.1 对数的运算性质
2.2 换底公式
1.C 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.
2.C 因为xlog34=1,
所以log34x=1,即4x=3,
所以3(4x-4-x)=3×3-=8.
故选C.
3.C 原式=lo+lo=log94+log35=log32+log35=log310=.
4.D ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,
∴=logk2,=logk3.
∵2a+b=ab,
∴=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,
∴k=18.
5.C log318=+2,
故选C.
6.3 log35log46log57log68log79==3.
7.3x- ∵ax=M,∴x=logaM,
∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-y.
8.解(1)原式==1.
(2)(方法一)原式=lg+lg=lg=lg1-=-.
(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-=-lg2+lg8-lg4-=-(lg2+lg4)+lg8-=-lg(2×4)+lg8-=-.
(3)∵log53=a,log54=b,
∴log25144=log512=log53+log54=a+b.
9.A lg-lg=3=3(lgx-lgy)=3a.
10.B 由2loga(P-2Q)=logaP+logaQ,得loga(P-2Q)2=loga(PQ),P>0,Q>0,P>2Q.
由对数运算法则得(P-2Q)2=PQ,即P2-5PQ+4Q2=0,
所以P=Q(舍去)或P=4Q,解得=4.
11.AD 由题意,设4a=6b=9c=k(k>1),则a=log4k,b=log6k,c=log9k,
由ab+bc=2ac,可得=2,
因为=log69+log64=log636=2,故A正确,B错误;
=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误;
=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.
12.D ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,
∴log23=,log25=,
∴log215=log23+log25=.故选D.
13.- 已知实数x,y,正数a,b满足ax=by=2,则x=loga2,y=logb2,
由换底公式可得=2log2a+log2b=log2(a2b)=-3,可得a2b=,则=8a2,
因为a>0,则-a=8a2-a=8a-2-≥-,
当且仅当a=时,等号成立,因此,-a的最小值为-.
14.解由对数的运算法则,可将等式化为loga[(x2+4)·(y2+1)]=loga[5(2xy-1)],
∴(x2+4)(y2+1)=5(2xy-1).
整理,得x2y2+x2+4y2-10xy+9=0,
配方,得(xy-3)2+(x-2y)2=0,
∴.
∴log8=log8=lo2-1=-log22=-.
15.证明log2+log2=log2
=log2=log2=log22=1.
2§3 对数函数
3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
A级必备知识基础练
1.函数y=4x与y=log2x的图象关于( )
A.x轴对称 B.直线y=x对称
C.原点对称 D.y轴对称
2.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.函数y=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-2,1) D.(-1,1)
4.若函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),且g(a)=,则a=( )
A.2 B.-2 C. D.-
5.函数f(x)=与g(x)=-log2x的大致图象是( )
6.已知a=,b=log2,c=lo,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
7.(多选题)给出下列三个等式:①f(xy)=f(x)+f(y),②f(x+y)=f(x)f(y),③f(x+y)=f(x)+f(y),下列函数中至少满足一个等式的是( )
A.f(x)=3x B.f(x)=log2x
C.f(x)=x2 D.f(x)=kx(k≠0)
8.已知f(x)是不恒为0的函数,定义域为D,对任意x∈D,n∈N+,都有nf(x)=f(xn)成立,则f(x)= (写出满足条件的一个f(x)即可).
9.若函数f(x)=log2x+2的反函数的定义域为(3,+∞),则f(x)的定义域为 .
10.作出函数y=|log2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
B级关键能力提升练
11.(多选题)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)图象经过点(4,2),则下列结论正确的有( )
A.函数为增函数
B.函数为偶函数
C.若x>1,则f(x)>0
D.若012.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )
13.(多选题)已知函数f(x)=(log2x)2-log2x2-3,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
B.函数y=f(x)的最小值为-4
C.函数y=f(x)的最大值为4
D.函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称
14.已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)在同一直角坐标系中的图象可能是下图中的 (填序号).
15.已知函数f(x)=|ln x|,实数m,n满足016.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
C级学科素养创新练
17.已知函数f(x)=a·2x+b的图象过点A,B.
(1)求函数y=f(x)的反函数y=g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(2x-1)-lof(x),求使得F(x)≤0的x的取值范围.
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
1.B 因为log2x=log4x,且函数y=4x与y=log4x互为反函数,故函数y=4x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
2.BCD 因为0函数f(x)=loga(x+2)的图象是把y=logax的图象向左平移2个单位长度,所以图象过第二、三、四象限.
3.D 令x+2=1,得x=-1,此时y=1.故图象过定点(-1,1).
4.B 由题意,得g(x)=2x.
∵g(a)=,∴2a=,
∴a=-2.
5.A 因为函数f(x)=是减函数,过点(0,1),函数g(x)=-log2x=lox是减函数,过点(1,0),且两函数图象关于y=x对称,所以A选项中的函数图象符合题意,故选A.
6.D ∵0lo=1,∴c>a>b.故选D.
7.ABD 对于A,f(x+y)=3x+y=3x·3y=f(x)·f(y),符合②;
对于B,f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y),符合①;
对于C,不满足任何一个等式;
对于D,f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y),符合③.
故选ABD.
8.log2x
9.(2,+∞) 因为f(x)的反函数的定义域为(3,+∞),所以f(x)=log2x+2的值域为(3,+∞),
所以log2x+2>3,所以x>2,所以f(x)的定义域为(2,+∞).
10.解先作出函数y=log2x的图象,如图①.再将y=log2x在x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的图象不变),得函数y=|log2x|的图象,如图②;然后将y=|log2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log2x|+2的图象,如图③.由图③得函数y=|log2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).
11.ACD 由题知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x,函数为增函数,故A正确;
f(x)=log2x不为偶函数,故B错误;
当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确;
根据f(x)=log2x的图象,知若012.C 函数的定义域为(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.
13.AB 令(log2x)2-log2x2-3=0,即(log2x)2-2log2x-3=0,解得log2x=3或log2x=-1,即x=8或x=,A正确;
由f(x)=(log2x)2-2log2x-3=(log2x-1)2-4≥-4,即函数f(x)的最小值为-4,无最大值,B正确,C错误;
由可知f(1)≠f(3),所以函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称,D错误.故选AB.
14.② (方法一)首先,曲线y=ax位于x轴上方,y=loga(-x)位于y轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.
(方法二)若0若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有②满足条件.
(方法三)如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象,又y=logax与y=ax互为反函数(两者图象关于直线y=x对称),则可直接选②.
15.e2 由题意以及函数f(x)=|lnx|的性质可得-lnm=lnn,所以=n,且0因为函数f(x)=|lnx|在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(x)在区间[m2,n]上的最大值是2,
所以|lnm2|=2或lnn=2,
①当|lnm2|=2时,m=,又因为=n,所以n=e,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,满足题意;
②当lnn=2时,n=e2,m=,此时f(x)在区间[m2,n]上的最大值为ln=4,不满足题意.综上,n=e,m==e2.
16.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意,f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
17.解(1)因为函数f(x)=a·2x+b的图象过点A,B,所以解得
所以f(x)=·2x+,设y=·2x+,则2y=2x+1,x=log2(2y-1),
所以y=f(x)的反函数为g(x)=log2(2x-1).
(2)F(x)=g(2x-1)-lof(x)=log2(2x-1)-lo,
F(x)≤0,即log2(2x-1)≤lo=log2,
所以解得0所以x的取值范围是(0,log2].
1第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用
A级必备知识基础练
1.已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为( )
A.(0,+∞) B.
C.(1,2) D.(-∞,0)
2.已知函数f(x)=lg5x++m的值域为R,则m的取值范围为( )
A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)
C.(-∞,4) D.(-∞,-4]
3.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点,则a的取值范围是 .
4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为 .
5.求函数y=loga(a-ax)的单调区间.
6.已知函数f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明.
B级关键能力提升练
7.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,4)∪[2,+∞) D.[-4,4)
8.已知函数f(x)=若f(4)=3,则f(x)>0的解集为( )
A.{x|x>-1}
B.{x|-1C.{x|x>-1,且x≠0}
D.
9.(多选题)(2021江苏镇江扬中第二高级中学高一期末)下列结论中正确的有( )
A.函数f(x)=ax-1+3(a>0,a≠1)的图象一定过定点P(1,3)
B.函数f(x-1)的定义域是(1,3),则函数f(x)的定义域为(2,4)
C.若loga>1,则a的取值范围是,1
D.若2-x-2y>ln x-ln(-y)(x>0,y<0),则x+y<0
10.已知函数y=logax(a>0,且a≠1),当x>2时恒有|y|≥1,则a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
C级学科素养创新练
12.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则实数k的取值范围是( )
A.(0,1) B.[0,1)
C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.[1,+∞)
第2课时 习题课 对数函数图象和性质的应用
1.B 由于函数f(x)=log3(1-ax)在(-∞,2]上为减函数,且函数y=log3u为增函数,则函数u=1-ax在(-∞,2]上为减函数,且u=1-ax>0在(-∞,2]上恒成立,∴-a<0,得a>0,且umin=1-2a>0,解得a<.因此,实数a的取值范围是.故选B.
2.D 令t=5x++m≥2+m=4+m,当且仅当x=log52时,等号成立.则y=lgt.
∵值域为R,∴t可取(0,+∞)上的每一个正数,
∴4+m≤0,∴m≤-4,故选D.
3.(0,1] 函数f(x)的图象如图所示,要使直线y=a与f(x)的图象有两个不同的交点,则04.∪(2,+∞) ∵f(x)是R上的偶函数,
∴它的图象关于y轴对称.
∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,0]上单调递减.由f=0,得f=0.
∴f(lox)>0,∴lox<-或lox>,解得x>2或05.解令t=a-ax.
①当a>1时,y=logat在定义域内是增函数,且t=a-ax是减函数,而a-ax>0,即ax所以y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减.
②当00,即ax所以y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递增.
综上所述,当a>1时,函数y=loga(a-ax)在区间(-∞,1)上单调递减;
当06.解(1)要使函数f(x)有意义,
则解得-2故所求函数f(x)的定义域为(-2,2).
(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为(-2,2),
设任意的x∈(-2,2),则-x∈(-2,2),
且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),
故f(x)为奇函数.
7.D 令g(x)=x2-ax-3a,则由函数f(x)=log2t在区间(-∞,-2]上单调递减,可得函数g(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,所以g(-2)>0,且≥-2,解得-4≤a<4,故选D.
8.D ∵f(4)=log24+a=3,∴a=1,
∴f(x)=
当x>0时,log2x+1>0,∴log2x>-1=log2,
∴x>.
当x≤0时,x+1>0,∴x>-1.∴-1综上,-1.
9.CD 对于A选项,f(x)=ax-1+3(a>0,a≠1),令x-1=0,可得x=1,f(1)=a0+3=4,
所以函数f(x)的图象过定点(1,4),A选项错误;
对于B选项,1对于C选项,当01=logaa,可得a>,此时当a>1时,由loga>1=logaa,可得a<,此时a∈ .
综上所述,实数a的取值范围是,1,C选项正确;
对于D选项,当x>0,y<0时,由2-x-2y>lnx-ln(-y),可得2-x-lnx>2y-ln(-y),
构造函数f(x)=2-x-lnx(x>0),则f(x)>f(-y),
由于函数y1=2-x,y2=-lnx在(0,+∞)上均为减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,则x<-y,即x+y<0,D选项正确.
故选CD.
10.∪(1,2] 当a>1时,y=logax在区间(2,+∞)上单调递增,由loga2≥1,得1当0故a的取值范围是∪(1,2].
11.解(1)∵函数f(x)=log2是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).∴log2=-log2.
即log2=log2,∴a=±1.
当a=-1时,f(x)=log2无意义,舍去,∴a=1.
令>0,解得x<-1或x>1.
所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),
当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.
∵x∈(1,+∞),f(x)+log2(x-1)>m恒成立,
∴m≤1.故m的取值范围是(-∞,1].
12.C 令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,故其真数x2-2kx+k必能取到(0,+∞)内的所有值,故函数t=x2-2kx+k的图象一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.
1§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
A级必备知识基础练
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数
B.幂函数
C.指数型函数
D.对数型函数
2.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有( )
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
3.(2021安徽繁昌第一中学高一开学考试)某引进的外来水生植物在水面的蔓延速度极快,对当地的生态造成极大的破坏.某科研部门在水域中投放一定面积的该植物研究发现,该植物在水面的覆盖面积y(单位:m2)与经过的时间t(单位:月,t∈N)的关系为y=8×t,则该植物在水域中的面积达到刚开始投放时的1 000倍需要的时间(单位:月)为( )参考数据:lg ≈0.125
A.20 B.22 C.24 D.26
4.(多选题)以下四种说法中,不正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xa>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax
5.某电脑公司六年来电脑总产量y(单位:台)与生产时间x(单位:年)的函数关系如图.有下列说法:①前三年产量增长速度越来越快;②前三年产量增长速度越来越慢;③后三年这种产品停止生产;④后三年产量保持不变.其中说法正确的是 .(填序号)
6.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是 .
7.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求
B级关键能力提升练
8.当0A.h(x)C.g(x)9.如图所示的是一份统计图表,根据此图表得到的以下说法中,正确的有( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高;
②人民生活费收入增长最快的一年是2018年;
③生活费价格指数上涨速度最快的一年是2019年;
④虽然2020年生活费收入增长是缓慢的,但由于生活费价格指数也略有降低,因而人民生活有较大的改善.
A.1项 B.2项 C.3项 D.4项
10.某企业常年生产一种出口产品,根据调查可知,进入21世纪以来,该产品的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lox+a.
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后求出相应的函数关系式(所求a或b的值保留1位小数);
(2)受某些因素影响,预测2023年的年产量比预计减少30%,试根据所选择的函数模型,确定2023年的年产量.
11.若不等式3x2-logax<0在x∈0,内恒成立,求实数a的取值范围.
C级学科素养创新练
12.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的函数研究
1.D 初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系.
2.ABD 由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
3.C 刚投放时的面积为y=8×0=8,
设经过t个月该植物在水域中的面积是刚开始投放时的1000倍,
则8×t=8×1000,t=lo1000==24.故选C.
4.ABC
5.②④ 结合图象的增长趋势易得出②④正确.
6.y2 从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
7.解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).
观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
8.D 在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
9.C 由题意,“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增大的,故①正确;“生活费收入指数”在2018~2019年最陡,故②正确;“生活费价格指数”在2018~2019年上涨最快,故③不正确;由于“生活费价格指数”略呈下降趋势,而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势,故④正确.
10.解(1)符合条件的是f(x)=ax+b.
理由如下:
若模型为f(x)=lox+a,则f(x)是减函数,与已知不符.若模型为f(x)=2x+a,则由f(1)=21+a=4,得a=2,即f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知数据相差太大,不符合.
则近似符合的模型为f(x)=ax+b.
由已知得解得
所以f(x)=1.5x+2.5,x∈N+.
(2)2023年的预计年产量为f(7)=1.5×7+2.5=13(万件),所以13×(1-30%)=9.1(万件),即预测2023年的年产量为9.1万件.
11.解由题意,知3x2∴0综上,a的取值范围是,1.
12.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以解得所以该函数模型的关系式是y=(x∈N+).
(2)当x=0时,y=,所以元旦放入时凤眼莲的面积是m2.
由>10×,得>10,
所以x>lo10=.
因为≈5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.
1第四、五章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.log225·log52=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aC.c3.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于( )
A.lg B.lg
C. D.
4.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1·x2·…·x2 022)=8,则f()+f()+…+f()的值等于( )
A.4 B.8
C.16 D.2loga8
5.已知函数f(x)=的定义域为M,函数g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N=( )
A.{x|x>1} B.{x|x<1}
C. D.{x|-16.(2021四川成都月考)关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在同一直角坐标系中,函数y=,y=logax+(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
8.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=( )
A. B.3 C. D.4
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.若a>b>0,0A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述论述,其中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.f(x)一定有最小值
C.当a=0时,f(x)的值域为R
D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是{a|a≥-4}
11.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( )
A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=x+
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
12.设函数f(x)=若实数a,b,c满足0A.ab=1 B.c-a=
C.b2-<0 D.a+c<2b
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知2x=7y=196,则= .
14.(2021广东广州期中)某校学生在研究折纸实验中发现,当对折后纸张达到一定的厚度时,便不能继续对折了.在理想情况下,对折次数n与纸的长边ω(cm)和厚度x(cm)有关系:n≤log2.现有一张长边为30 cm,厚度为0.05 cm的矩形纸,该矩形纸最多能对折 次.(参考数值:lg 2≈0.3,lg 3≈0.48)
15.函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,则点A的坐标为 ;若f-<,则实数a的取值范围是 .
16.某数学小组以函数f(x)=lg为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究结果如下:
①函数f(x)的定义域为(-1,1);
②函数f(x)是偶函数;
③对于任意的x∈(-1,1),都有f=2f(x);
④对于任意的a,b∈(-1,1),都有f(a)+f(b)=f;
⑤对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0.
其中所有正确研究结果的序号是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)计算:log3(9×272)+log26-log23+log43×log316;
(2)解方程:log5(x+1)-lo(x-3)=1.
18.(12分)已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a满足下列条件,分别求实数a的值或范围.
(1)有2个零点;
(2)有3个零点;
(3)有4个零点.
19.(12分)已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x),a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)-g(x)的定义域;
(2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围.
20.(12分)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(单位:元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(单位:元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多
21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
22.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax),a>0,且a≠1.
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1 如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
第四、五章测评
1.A log225·log52=3,故选A.
2.B 因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<1,即c∈(0,1),所以a3.C 设t年后剩余量为ykg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=a时,a=0.92ta,
所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=.
4.C f()+f()+…+f()=loga+loga+…+loga=loga(x1·x2·x3·…·x2022)2=2loga(x1x2…x2022)=2f(x1·x2·…·x2022)=16.
5.D f(x)=满足1-x>0,故x<1,即M={x|x<1};
g(x)=ln(1+x)满足1+x>0,故x>-1,即N={x|x>-1}.
故M∩N={x|-1故选D.
6.B 关于x的方程9x-(a+1)3x+a2-1=0有两个不相等的正根,
令t=3x,所以t>1,
则问题转化为方程t2-(a+1)t+a2-1=0有两个大于1的不等实数根t1,t2,
故
解得所以实数a的取值范围是.
故选B.
7.D 当01时,函数y=ax的图象过定点(0,1)且单调递增,则函数y=的图象过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+的图象过定点,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.
8.C 对2x+2x=5,2x+2log2(x-1)=5进行变形,可得2x-1=-x,log2(x-1)=-x.
画出函数y=2x-1,y=-x,y=log2(x-1)的图象,如图所示.
根据指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,易得函数y=2x-1和函数y=log2(x-1)的图象关于直线y=x-1对称,从而x1+x2等于直线y=x-1与y=-x交点的横坐标的2倍,即.
9.AC 因为0b>0得logcab>0,得cab>0,01,所以ac>bc,故C正确;取c=,a+b=2,则logc(a+b)=lo2=-1<0,故D错误.
10.AC 对A,当a=0时,解x2-1>0有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),此时x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)值域为R,故B错误,C正确;对D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1对称轴x=-≤2.解得a≥-4.但当a=-4时f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.
11.ABC 甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B正确;易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=x+,故C正确;当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=×8+,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
12.ABC 由题意,实数a,b,c满足0可得ab=1和c-a=恒成立,即A,B正确;
又由b2-<0,所以b2-<0,所以C正确;
又由a+c-2b=2a+∈-,当13. 2x=7y=196,∴x=log2196,y=log7196,
∴=log1962+log1967=lo14=.
14.6 ∵n≤log2log2600=≈6.18,
∴矩形纸最多能对折6次.
15.(-1,1) 0,∪(1,+∞) 函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图象恒过定点A,令x+2=1,求得x=-1,f(-1)=1,可得它的图象经过定点(-1,1).
当0若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,求得0当a>1时,函数f(x)为增函数,
若f-<,则1+loga-+2<,
即loga,即,求得a>,又a>1,所以a>1.综上,实数a的取值范围为0,∪(1,+∞).
16.①③④ 在①中,因为f(x)=lg,所以>0,得函数的定义域为(-1,1),所以①是正确的;
在②中,f(x)=lg=-lg=-f(-x),
所以函数f(x)为奇函数,所以②是错误的;
在③中,对于任意x∈(-1,1),有f=lg=lg=lg,
又2f(x)=2lg=lg,所以③是正确的;
在④中,对于任意的a,b∈(-1,1),有f(a)+f(b)=lg+lg=lg=lg,又f=lg=lg,所以④是正确的;
在⑤中,对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1,x2,总满足>0,即说明f(x)是增函数,但f(x)=lg=lg-1+是减函数,所以⑤是错误的.
综上可知,正确研究结果的序号为①③④.
17.解(1)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316=log3[32×(33)2]+(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36]+log22+(log43)×2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.
(2)原方程化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,
∴(x+1)(x-3)=5,解得x=-2或x=4.
经检验,x=-2不符合题意,故原方程的解为x=4.
18.解如图为y=|x2-2x-3|的图象,函数y=a与y=|x2-2x-3|的图象的交点个数即为函数f(x)的零点个数.
由图知,(1)当x=1时,y=4,
∴当a=0或a>4时,函数有2个零点;
(2)当a=4时,函数有3个零点;
(3)当019.解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义,
则有解得-1(2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x),
即loga(x+1)>loga(4-2x).
当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1.
由(1)知-1当0由(1)知-1综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2);
当020.解(1)当x≤6时,y=50x-115,
令50x-115>0,解得x>2.3,
∵x为整数,∴3≤x≤6,x∈Z.
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,结合x为整数得6∴f(x)=
(2)对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),显然当x=6时,ymax=185;
对于y=-3x2+68x-115=-3x-2+(6当x=11时,ymax=270.
∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
21.解(1)要使函数有意义,则解得-1(2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)若f=2,∴loga-loga1-=loga4=2,解得a=2,∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴x+1>1-x>0,解得0故所求x的集合为(0,1).
22.解(1)∵a>0,且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.∴3-2a>0.
∴a<.又a>0,且a≠1,
∴a的取值范围是(0,1)∪.
(2)假设满足条件的实数a存在.
由(1)知t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat为增函数,
∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),∴故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
1