1.1 集合的概念与表示 第1课时 集合的概念
A级必备知识基础练
1.下列各组对象能构成集合的有( )
①接近于1的所有整数;
②小于0的所有实数;
③(2 022,1)与(1,2 022).
A.1组
B.2组
C.3组
D.0组
2.已知集合M是由满足y=其中x∈N+,∈Z的实数y组成的,则M中含有的元素个数为( )
A.4
B.6
C.8
D.12
3.(多选题)下列关系正确的有( )
A.∈R
B. R
C.|-3|∈N
D.|-|∈Q
4.已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列结论正确的是( )
A.-1 A
B.-11∈A
C.3k2-1∈A
D.-34 A
5.(2022上海徐汇校级模拟)若集合A中共有三个元素-1,3,a3,且a∈A,则实数a的值为 .
6.已知集合A中含有0,2,5三个元素,B中含有1,2,6三个元素,定义集合C中的元素是a+b,其中a∈A,b∈B,则C中元素的个数是 .
B级关键能力提升练
7.(多选题)下面说法不正确的是( )
A.集合N中最小的数是0
B.若-a不属于N,则a属于N
C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2
D.x2+1=2x的解可表示为{1,1}
8.已知x,y为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则集合M中的元素为 .
9.已知集合M满足条件:若a∈M,则∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M中的元素全部求出来.
10.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.
(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值.
(2)-5能否为集合A中的元素 若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.
C级学科素养创新练
11.集合A中共有3个元素:-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素:9,a-5,1-a,现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值.
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
1.B ①中接近于1的所有整数标准不明确,故不能构成集合;②中“小于0”是一个明确的标准,能构成集合;③中(2022,1)与(1,2022)是两个不同的数对,是确定的,能构成集合.
2.B 由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个.故选B.
3.AC 是实数,是实数,|-3|=3是自然数,|-|=是无理数.故选AC.
4.C 当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;
若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=- Z,选项B错误;
令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;
当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.
5.0或1或3 由题意得,a=-1或a=3或a=a3,
故a=-1或a=3或a=0或a=1,
经检验,当a=-1时,a3=-1,不满足集合中元素的互异性,故实数a的取值为0或1或3.
6.8 若a∈A,b∈B,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则集合C中有8个元素.
7.BCD 因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确;
因为N表示自然数集,-0.5 N,0.5 N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确;
根据集合中元素的互异性知D说法不正确.
8.1,3 ①当x,y均为正数时,代数式的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式的值为-1.所以集合M的元素为-1,3.
9.解∵3∈M,∴=-2∈M,
∴=-∈M,∴∈M,
∴=3∈M,
∴集合M中的所有元素为3,-2,-.
10.解(1)因为-3是集合A中的元素,
所以-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3,则a=0,
此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;
若-3=2a-1,则a=-1,
此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.
综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.
(2)不能.理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.
当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;
当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.
综上,-5不能为集合A中的元素.
11.解∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,
若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25;B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.
若a2=9,则a=±3,当a=3时,A中的元素为-4,5,9;B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去.
当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9;B中的元素为9,-8,4,符合题意.
综上所述,a=-3.
1第2课时 集合的表示
A级必备知识基础练
1.已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是( )
A.0∈A B.-4 A C.4∈A D.2∈A
2.一次函数y=x+2和y=-2x+8的图象的交点组成的集合是( )
A.{2,4}
B.{x=2,y=4}
C.(2,4)
D.{(x,y)|x=2,且y=4}
3.(多选题)下列选项中是集合A={(x,y)|x=,y=,k∈Z}中的元素的是( )
A. B.
C.(3,4) D.(4,3)
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a= ,此时集合A用列举法表示为 .
5.用适当方法表示下列集合:
(1)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合;
(2)方程+|y-2|=0的解集;
(3)由函数y=3x2+1(x∈R)图象上所有点组成的集合.
B级关键能力提升练
6.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是( )
A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合
B.1,2,,0.5,这些数组成的集合有5个元素
C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不相等
D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集
8.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= .
9.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},其中a为常数,且a∈R.
(1)若A中至少有一个元素,求a的取值范围;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
C级学科素养创新练
10.已知集合A={x|x=m+n,m∈Z,n∈Z}.
(1)试分别判断x1=-,x2=,x3=(1-2)2与集合A的关系;
(2)设a,b∈A,证明:ab∈A.
第2课时 集合的表示
1.A ∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A.
2.D 联立方程组解得
∴一次函数y=x+2与y=-2x+8的图象的交点为(2,4),
∴所求集合是{(x,y)|x=2,且y=4}.
3.AD 由x=,y=,得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD.
4.-4 {-1,4} ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
5.解(1)当从1,2,3这三个数字中抽出1个数字时,自然数为1,2,3;
当抽出2个数字时,可组成自然数12,21,13,31,23,32;
当抽出3个数字时,可组成自然数123,132,213,231,321,312.
由于元素个数有限,故用列举法表示为{1,2,3,12,13,21,23,31,32,123,132,213,231,312,321}.
(2)由算术平方根及绝对值的意义,可知解得因此该方程的解集为-,2.
(3)由题知,此集合是点集,是函数y=3x2+1图象上的所有点,
故用描述法可表示为{(x,y)|y=3x2+1,x∈R}.
6.A 当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1;当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1;当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1;当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1.所以A·B={-1,1},所以A·B中所有元素之和为0.
故选A.
7.CD 对于选项A,集合{y|y=2x2+1}是数集,集合{(x,y)|y=2x2+1}是点集,不是同一集合,所以A错误;对于选项B,因为=0.5,所以1,2,,0.5,这些数组成的集合有3个元素,所以B错误;对于选项C,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点,故集合M与集合P不相等,所以C正确;选项D显然正确.故选CD.
8.(x,y)xy≥0,-2≤x≤,-1≤y≤
9.解(1)当A中恰有一个元素时,
若a=0,则方程化为-3x+2=0,此时方程只有一个实数根x=;
若a≠0,则由Δ=9-8a=0,解得a=,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个相等的实数根.
当A中有两个元素时,
则a≠0,且Δ=9-8a>0,解得a<,且a≠0,此时关于x的方程ax2-3x+2=0有两个不相等的实数根.
综上,a的取值范围为-∞,.
(2)当A中没有元素时,
则a≠0,Δ=9-8a<0,解得a>,此时关于x的方程ax2-3x+2=0没有实数根.
当A中恰有一个元素时,由(1)知,此时a=0或a=.
综上,a的取值范围为aa=0,或a≥.
10.(1)解x1=-=0+(-1)×,
因为0∈Z,-1∈Z,所以x1∈A;
x2==1+,
因为1∈Z, Z,所以x2 A;
x3=(1-2)2=9-4=9+(-4)×,
因为9∈Z,-4∈Z,所以x3∈A.
(2)证明因为a,b∈A,所以可设a=m1+n1,b=m2+n2,且m1,n1,m2,n2∈Z,
所以ab=(m1+n1)(m2+n2)=m1m2+(m2n1+m1n2)+2n1n2=(m1m2+2n1n2)+(m2n1+m1n2).
因为m1m2+2n1n2∈Z,m2n1+m1n2∈Z,所以ab∈A.
11.2 集合的基本关系
A级必备知识基础练
1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )
A.A B B.C B C.D C D.A D
2.(多选题)下列说法错误的是( )
A.空集没有子集
B.任何集合至少有两个子集
C.空集是任何集合的真子集
D.若 A,则A≠
3.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B A成立的a的值是( )
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1
4.(多选题)(2022广东广州增城期末)以下满足{0,2,4} A {0,1,2,3,4}的集合A=( )
A.{0,2,4} B.{0,1,3,4}
C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4}
5.已知集合A={x|x2=4}.①2 A;②{-2}∈A;③ A;④{-2,2}=A;⑤-2∈A.
则上述式子表示正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知集合A={x|=a},当A为非空集合时,实数a的取值范围是 .
7.集合{x|1
8.已知集合A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数x,使得集合B是A的子集 若存在,求出集合A,B;若不存在,请说明理由.
B级关键能力提升练
9.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2, },若B A,则实数a的值可能是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
10.已知集合M={x|-A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.T={y|-πD.S={x||x|≤,x∈Z}
11.下列各组中的两个集合相等的是 .(填序号)
①P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z};
②P={x|x=2n-1,n∈N+},Q={x|x=2n+1,n∈N+};
③P={x|x2-x=0},Q=xx=,n∈Z.
12.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B A,则实数a的取值范围是 .
13.已知集合A=xx=(2k+1),k∈±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
14.已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b的值.
C级学科素养创新练
15.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算※,法则如下:当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;当m,n不全为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是( )
A.27-1 B.211-1
C.213-1 D.214-1
1.2 集合的基本关系
1.B 正方形是邻边相等的矩形.
2.ABC A错,空集的子集为空集;B错, 只有一个子集;C错,空集不是空集的真子集;D正确,因为空集是任何非空集合的真子集.
3.A 由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1.又B A,∴a=-1,a2=1.
4.AC 根据集合间的包含关系可知,A可以为{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}.
5.C ∵A={x|x2=4}={-2,2},故④正确;2∈A,故①错误;-2∈A,故⑤正确;{-2} A,故②错误; A,故③正确.所以正确的有3个.故选C.
6.[0,+∞) 要使集合A为非空集合,则方程=a有解,故只须a≥0.
7.14 因为{x|18.解假设存在集合B是A的子集,则B中元素必是A中的元素,若x+2=3,则x=1,此时A={1,3,-1},B={3,1},符合题意.
若x+2=-x3,即(x+1)(x2-x+2)=0.
因为x2-x+2≠0,所以x+1=0,所以x=-1,
此时x+2=1,集合B中的元素不满足互异性.
综上所述,存在实数x=1,使得集合B是A的子集,
此时A={1,3,-1},B={1,3}.
9.ABC 因为B A,所以2∈A,∈A,
即解得a≤1.满足题意的选项为ABC.
10.D 集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3 M,集合Q中的元素2 M,集合T中的元素-3 M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S M.
11.①③ ①中对于Q,n∈Z,所以n-1∈Z,即Q表示偶数集,所以P=Q;
②中P是由1,3,5,…所有正奇数组成的集合,Q是由3,5,…所有大于1的正奇数组成的集合,1 Q,所以集合P与集合Q不相等;
③中P={0,1},Q中当n为奇数时,x==0;当n为偶数时,x==1,即Q={0,1},所以P=Q.
12.(-∞,1] 若B= ,则2a-1若B≠ ,则a-1≤2a-1,即a≥0.
要使B A,需满足解得0≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].
13.A=B 对于集合A,当k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时,x=(4n-2+1)=,n∈Z,
所以集合A=xx=,n∈Z.
由B=xx=,k∈Z,可知A=B.
14.解因为A=B,则
①若b=1+a,b2=1+2a,
则(1+a)2=1+2a,解得a=0.
则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去.
②若b=1+2a,b2=1+a,
则(1+2a)2=1+a,
即4a2+3a=0,解得a=0或a=-.
由①知a=0不成立,
当a=-时,b=1+2a=-,此时A=B=.
15.C 由题意,当m,n都是正奇数时,m※n=m+n;
当m,n不全为正奇数时,m※n=mn;
若a,b都是正奇数,则由a※b=16,可得a+b=16,此时符合条件的数对有(1,15),(3,13),(5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个;
若a,b不全为正奇数,则由a※b=16,可得ab=16,则符合条件的数对有(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1),共5个.
故集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}中的元素个数是13,
所以集合M={(a,b)|a※b=16,a∈N+,b∈N+}的真子集的个数是213-1.
21.3 集合的基本运算 第1课时 交集与并集
A级必备知识基础练
1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=( )
A.{4,8} B.{0,2,6}
C.{0,2} D.{2,4,6}
2.(2022重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,y},若A∩B={3},则A∪B=( )
A.{1,3} B.{-1,3}
C.{-1,1,3} D.{-3,-1,3}
3.(多选题)已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B可能为( )
A.{1,2,5} B.{2,3,5}
C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5}
4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{-1,0,1} D.{2,3,4}
5.(2022河南郑州月考)已知集合A={x|2≤x<4},B={x|y=},则A∪B=( )
A.[3,+∞) B.[3,4)
C.[3,4] D.[2,+∞)
6.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|57.已知集合A={x|x2-px+15=0},B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值.
B级关键能力提升练
8.(多选题)已知集合A={x|x2+x-2=0},B={x|ax=1},若A∩B=B,则a=( )
A.- B.1 C.-1 D.0
9.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B,且x A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B=( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1,或x>3}
D.{x|0≤x≤1,或x≥3}
10.定义集合的商集运算为=xx=,m∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=xx=-1,k∈S,则集合∪T中的元素个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
11.已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ,求p,q的值.
C级学科素养创新练
12.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学最多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人.
1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
1.C B={x|x<3.5},又A={0,2,4,6,8,10},
∴A∩B={0,2}.
2.C 由题可知,A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为A∩B={3},所以y=3,B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.
3.AD 由题意知集合B中必有元素1和5,且有元素2,3,4中的0个、1个、2个或3个.A,D符合.
4.C
5.D A={x|2≤x<4},B={x|y=}={x|x≥3},则A∪B={x|x≥2}.
6.-4 如图,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.
7.解因为A∩B={3},所以3∈A,3∈B,
从而可得p=8,所以A={3,5}.
又因为A∪B={2,3,5},所以B={2,3},
所以方程x2-ax-b=0的两个根为2和3,
由根与系数的关系可得a=5,b=-6.
综上可得,p=8,a=5,b=-6.
8.ABD A={x|x2+x-2=0}={1,-2},∵A∩B=B,∴B A,
当a=0时,B= ,符合题意;
当B={-2}时,-2a=1,∴a=-;
当B={1}时,a=1.综上a=0,-,1.故选ABD.
9.C 由题意知A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
∴A*B={x|0≤x<1,或x>3}.
10.C ∵S={2,4,6},∴T=xx=-1,k∈S={0,1,2},∴=0,,1,∴∪T=0,,1,2.∴集合∪T中元素的个数为7.
11.解由A∩C=A知A C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.
而A∩B= ,故α B,β B.
显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.
令α=1,β=3.
对于方程x2+px+q=0的两根α,β,
根据根与系数的关系可得p=-4,q=3.
12.8 如图,A表示数学探究小组,B表示物理探究小组,C表示化学探究小组,设同时参加数学和化学小组的有x人,由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36,解得x=8.
2第2课时 全集与补集
A级必备知识基础练
1.已知全集U={1,2,3,4,5}, UA={1,3,5},则A=( )
A.{1,2,3,4,5} B.{1,3,5}
C.{2,4} D.
2.(2022江苏苏州开学考试)如图,阴影部分所表示的集合为( )
A.A∩( UB) B.B∩( UA)
C.A∪( UB) D.B∪( UA)
3.若全集U={1,2,3,4,5},且 UA={x∈N|1≤x≤3},则集合A的真子集共有( )
A.3个 B.4个 C.7个 D.8个
4.(2022江西景德镇高三期末)已知集合A={x|x+3<0},B={x||x|>2},则 R(A∪B)= ( )
A.[-2,2) B.[-2,2]
C.[-2,3] D.(1,2]
5.已知全集U={2,3,a2-a-1},A={2,3},B={1,3}, UA={1},则实数a的值是 , U(A∩B)= .
6.已知全集U=R,集合A={x|-5B级关键能力提升练
7.(多选题)如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.P∩( UM)∩( UN)
B.( UM)∩(N∩P)
C.P∩[ U(M∪N)]
D.P∩[ U(M∩N)]
8.设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},( UA)∩B={4},( UA)∩( UB)={1,5},则下列结论正确的是( )
A.3 A,且3 B B.3 B,但3∈A
C.3 A B.3∈A,且3∈B
9.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合 U(A∪B)中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示为由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M={2,3,6},则 UM表示的6位字符串为 ;
(2)已知A={1,3},B U,若集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是 .
11.已知集合A={x|1≤x≤2},若B∪( RA)=R,B∩( RA)={x|0C级学科素养创新练
12.设全集U=R,集合A={x|-51},C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件:①C (A∩B);②C [( UA)∩( UB)].
第2课时 全集与补集
1.C ∵全集U={1,2,3,4,5}, UA={1,3,5},
∴A={2,4}.
2.B 图中的阴影部分表示的是集合A的补集与B的交集,即为B∩( UA).故选B.
3.A UA={1,2,3},所以A={4,5},其真子集有22-1=3(个).故选A.
4.B A={x|x+3<0}={x|x<-3},B={x||x|>2}={x|x>2,或x<-2}.∴A∪B={x|x<-2,或x>2},
∴ R(A∪B)={x|-2≤x≤2}.故选B.
5.-1或2 {1,2} ∵U={2,3,a2-a-1},A={2,3}, UA={1},∴U={1,2,3},即a2-a-1=1,解得a=-1或a=2.∵A∩B={3},U={1,2,3},∴ U(A∩B)={1,2}.
6.解如图①.
①
(1)A∩B={x|0≤x<5}.
(2)A∪B={x|-5(3)如图②.
②
UB={x|x<0,或x≥7},
∴A∪( UB)={x|x<5,或x≥7}.
(4)如图③.
③
UA={x|x≤-5,或x≥5},
B∩( UA)={x|5≤x<7}.
(5)(方法一)∵ UB={x|x<0,或x≥7},
UA={x|x≤-5,或x≥5},如图④.
④
∴( UA)∩( UB)={x|x≤-5,或x≥7}.
(方法二)( UA)∩( UB)= U(A∪B)={x|x≤-5,或x≥7}.
7.AC 由于题图中阴影部分在P中,且不在M,N中,则题图中阴影部分表示的集合是P的子集,也是 U(M∪N)的子集,即是P∩[ U(M∪N)]或P∩( UM)∩( UN).
8.B 根据题意有A∩B={2},故2∈B,且2∈A,( UA)∩B={4},所以4∈B,但4 A,( UA)∩( UB)= U(A∪B)={1,5},故1 A,1 B,且5 A,5 B,所以3 B,但3∈A.
9.B ∵A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4},
∴A∪B={1,2,4},∴ U(A∪B)={3,5}.故选B.
10.(1)100110 (2)4 (1)由已知得, UM={1,4,5},
则 UM表示的6位字符串为100110.
(2)由题意可知A∪B={1,3,6},而A={1,3},B U,
则B可能为{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},故满足条件的集合B的个数是4.
11.解∵A={x|1≤x≤2},
∴ RA={x|x<1,或x>2}.
又B∪( RA)=R,A∪( RA)=R,可得A B.
而B∩( RA)={x|0∴{x|0借助于数轴
可得B=A∪{x|012.解∵A={x|-51},
∴A∩B={x|1 UA={x|x≤-5,或x≥4}, UB={x|-6≤x≤1},
∴( UA)∩( UB)={x|-6≤x≤-5}.
而C={x|x∴当(A∩B) C时,m≥4,
当( UA)∩( UB) C时,m>-5,
∴m≥4,
即实数m的取值范围为{m|m≥4}.
12.1 必要条件与充分条件 第1课时 必要条件与充分条件
A级必备知识基础练
1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2022江苏南京师大附中高二期末)设a∈R,则“a>”是“a2>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”的后一句中,“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( )
A.p是q的既不充分也不必要条件
B.p是s的充分条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
5.下列不等式:
①x<;②0其中可以作为x2<2的一个充分条件的所有序号为 .
B级关键能力提升练
6.(2022浙江金华高一期末)命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补,记φ(a,b)=-a-b,那么“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.在下列电路图中,分别指出开关A闭合是灯泡B亮的什么条件:
①中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
②中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
③中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件;
④中,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 条件.
C级学科素养创新练
9.求“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件.
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
1.B 由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件.
2.A 当a>时,有a2>2成立.当a2>2时,a>不一定成立,如a=-3时,满足a2>2,但a>不成立.所以“a>”是“a2>2”的充分不必要条件.故选A.
3.B “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
4.BD 因为p r,q r,r s,s q,所以p q r s.故选BD.
5.②③④ 由x2<2,得-6.C 若a>b,则a+c>b+c,所以命题p可以得出命题q成立;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以命题q可以得出命题p成立.所以p是q的充要条件.
故选C.
7.C 由=a+b,可得a2+b2=(a+b)2=a2+b2+2ab,即由a≥0,b≥0,且ab=0,得=a+b,故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件.
8.①充要 ②必要不充分 ③既不充分也不必要 ④充分不必要 ①开关A闭合,灯泡B亮;反之,灯泡B亮,开关A闭合,于是“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;②仅当开关A,C都闭合时,灯泡B才亮;反之,灯泡B亮,开关A必须闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;③开关A不起作用,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件;④开关A闭合,灯泡B亮;但灯泡B亮,只需开关A或C闭合,故“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
9.解设x1,x2为关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0的两个不相等的正实根,
则
解得所以2因此“关于x的一元二次方程x2-mx+m2-4=0有两个不相等的正实根”的充要条件是“22第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
A级必备知识基础练
1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若p:x-1≤1,q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-2,+∞) D.(-∞,-2)
3.已知集合A={x|a-2A.0≤a≤2 B.-2C.04.已知p:-15.求证:“关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
6.设p:x>a,q:x>3.
(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.
B级关键能力提升练
7.(2022广东佛山二模)设x,y∈R,则“xA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知p:|x|0),q:-19.已知p:00),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,求实数m的取值范围.
C级学科素养创新练
10.已知ab≠0,求证:a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.
第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
1.B 由(2x-1)x=0得x=0或x=,故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.故选B.
2.A 由x-1≤1,得x≤2.设A={x|x≤2},B={x|x≤a},因为p是q的充分不必要条件,所以A是B的真子集.则a>2.故选A.
3.A 由A∩B= ,得故0≤a≤2.
4.(2,+∞) 由题意,命题p:-13,解得m>2,即实数m的取值范围是(2,+∞).
5.证明(充分性)
因为ac<0,
所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.
故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,
则x1x2=<0,
所以方程的两根异号.
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
(必要性)
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.
综上可知,“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”的充要条件是“ac<0”.
6.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.
(1)若p是q的必要不充分条件,则有B A,所以a的取值范围为{a|a<3}.
(2)若p是q的充分不必要条件,则有A B,所以a的取值范围为{a|a>3}.
(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.
7.B 当y=0时,由x由(x-y)·y2<0,得x-y<0,则x故“x8.(-∞,2] [3,+∞) p:-a所以故a≤2.
若p是q的必要条件,则(-2,3) (-a,a),
所以则a≥3.
9.解由p解得-m由x(x-4)<0,得解得0若p是q的充分条件,则有解得m无解;
若p是q的必要条件,则有解得m≥2.
因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).
10.证明(1)充分性
因为a-b=0,所以a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0成立.
(2)必要性
因为a3-2a2b+2ab2-b3=(a-b)(a2-ab+b2)=0,
而a2-ab+b2=a-2+,又ab≠0,所以a≠0且b≠0,从而a-2≥0,且>0,
所以a2-ab+b2=a-2+>0,
所以a-b=0成立.
综上,a3-2a2b+2ab2-b3=0成立的充要条件是“a-b=0”.
42.2 全称量词与存在量词
A级必备知识基础练
1.下列命题中,全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p的否定是( )
A.某班至多有一个男生爱踢足球
B.某班至少有一个男生不爱踢足球
C.某班所有的男生都不爱踢足球
D.某班所有的女生都爱踢足球
3.下列四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是( )
A.斜三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x3>0
C.任一无理数的平方必是无理数
D.存在一个负数x,使>2
4.(2022湖北鄂州高一期末)命题“ x≥0,x2-x≥0”的否定是( )
A. x<0,x2-x<0
B. x>0,x2-x<0
C. x≥0,x2-x≥0
D. x≥0,x2-x<0
5.(多选题)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有( )
A. x∈R,x2-x+<0
B.所有的正方形都是矩形
C. x∈R,x2+2x+2≤0
D.至少有一个实数x,使x3+1=0
6.已知命题“ x>3,有x>m成立”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,3]
B.[3,+∞)
C.(-∞,3)
D.(3,+∞)
7.命题“每个函数都有最大值”的否定是 ,且其为 命题(填“真”或“假”).
8.已知命题p“ x≥3,使2x-1B级关键能力提升练
9.“x∈R,关于x的不等式x3+1>0有解”等价于( )
A. x∈R,使x3+1>0
B. x∈R,使x3+1≤0
C. x∈R,有x3+1>0
D. x∈R,有x3+1≤0
10.(2022福建漳州高二期末)命题“ x∈R,x2-2x+3<0”的否定是( )
A. x∈R,x2-2x+3≥0
B. x∈R,x2-2x+3≥0
C. x R,x2-2x+3≥0
D. x R,x2-2x+3≥0
11.(多选题)下列说法正确的有( )
A.“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”
B.“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题
C.“至少存在一个实数x,使|x|≥0”是含有存在量词的真命题
D.“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题
12.若命题p: x∈R,x2-4x+a=0为假命题,则实数a的取值范围是 ;p的否定是 .
13.用符号“ ”或“ ”表示下面的命题,并判断真假:
(1)实数的平方大于或等于0;
(2)存在一对实数(x,y),使2x-y+1<0成立.
C级学科素养创新练
14.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为 .
2.2 全称量词与存在量词
1.C
2.B 命题p是一个全称量词命题,它的否定是一个存在量词命题.
3.B 选项A,C中的命题是全称量词命题,选项D中的命题是存在量词命题,但是假命题.只有B既是存在量词命题又是真命题.
4.D 根据全称量词命题的否定的定义可知,命题“ x≥0,x2-x≥0”的否定是“ x≥0,x2-x<0”.故选D.
5.AC 命题的否定是全称量词命题,即原命题为存在量词命题,故排除B;再根据命题的否定为真命题,即原命题为假命题,又D为真命题,故选AC.
6.A 对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.
7.有些函数没有最大值 真 命题的量词是“每个”,即为全称量词命题,因此其否定是存在量词命题,用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等,再否定结论.即有些函数没有最大值是真命题.
8.5 因为命题p“ x≥3,使2x-1所以“ x≥3,使2x-1≥m”是真命题,故≤3,即m≤5.
9.A 命题对x∈R,“关于x的不等式x3+1>0有解”为存在量词命题,
则根据存在量词命题的定义可知命题等价为“ x∈R,使得x3+1>0”.
10.B 命题“ x∈R,x2-2x+3<0”为存在量词命题,该命题的否定为“ x∈R,x2-2x+3≥0”,故选B.
11.BCD 对于A,“实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.
对于B,“三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;
对于C,“至少存在一个实数x,使|x|≥0”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;
对于D,“能被3整除的整数,其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.
12.{a|a>4} x∈R,x2-4x+a≠0 若命题p为假命题,则p的否定为 x∈R,x2-4x+a≠0为真命题,则Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4.
13.解(1)这是全称量词命题,隐藏了全称量词“所有的”.
改写后命题为: x∈R,有x2≥0,是真命题.
(2)改写后命题为: (x,y),x∈R,y∈R,使2x-y+1<0,是真命题.
如x=0,y=2时,2x-y+1=0-2+1=-1<0成立.
14.(答案不唯一) 由a-b=ab,a>0,b>0,得=1.答案不唯一,如,都符合题意.
33.1 不等式的性质
A级必备知识基础练
1.设实数a=,b=-1,c=,则( )
A.b>a>c B.c>b>a
C.a>b>c D.c>a>b
2.下列四个条件中,不能推出成立的是( )
A.b>0>a B.0>a>b
C.a>0>b D.a>b>0
3.(多选题)若a>b,x>y,则下列不等式错误的是( )
A.a+x>b+y B.a-x>b-y
C.ax>by D.
4.已知2A. B.
C.,1 D.,2
5.用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2 bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b a.
(3)若a>b,c6.已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
B级关键能力提升练
7.(多选题)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
8.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间,设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机的外观,则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化( )
A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小
C.“屏占比”变大 D.变化不确定
9.设a>b>0,则 .(用>,<,≥,≤填空)
10.已知-111.实数a,b满足-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求3a-2b的取值范围.
12.已知三个不等式:①ab>0;②;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,能组成哪几个正确的不等式
C级学科素养创新练
13.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
3.1 不等式的性质
1.A -1=,
∵+1<,∴,即b>a>c.
2.C 若a>b>0,则ab>0,可得,D正确;若0>a>b,则ab>0,可得,B正确;若b>0>a,则>0>,A正确;若a>0>b,则>0>,C错误.
3.BCD 因为a>b,x>y,根据不等式同向相加性质可得a+x>b+y,A正确,BCD错误.
4.B 原式分子和分母同时除以x,得,
由题得2<-2y<6,所以<-,
即<-<3,
所以<1-<4,所以.
故选B.
5.(1)≥ (2)< (3)> (1)∵任何数的平方一定大于或等于0,∴c2≥0.若a>b,则ac2≥bc2.
(2)∵a+b>0,b<0,则a>0,∴b(3)∵c-d.∵a>b,∴a-c>b-d.
6.证明由题意x2+2y2-(2xy+2y-1)=x2-2xy+y2+y2-2y+1=(x-y)2+(y-1)2≥0,∴x2+2y2≥2xy+2y-1成立.
7.BCD ∵c∴ab>0>ac,cb2故选BCD.
8.C 设升级前“屏占比”为,升级后“屏占比”为(a>b>0,m>0),因为>0,所以该手机“屏占比”和升级前比变大.
9.> ∵a>b>0,∴a-b>0,a2>b2,
∴>0,>0,∴<0,
∴0<,
∴.
10.-,12 设x+y=m,x-y=n,则x=,y=,所以3x+2y=3·+2·.因为-111.解(1)由-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
两式相加得,-4≤2a≤6,则-2≤a≤3.
由-1≤a-b≤4,得-4≤-a+b≤1,
又-3≤a+b≤2,
两式相加得-7≤2b≤3,即-≤b≤.
故a的取值范围是[-2,3],b的取值范围是-.
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,
则解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b).
∵-3≤a+b≤2,-1≤a-b≤4,
∴-(a+b)≤1,-(a-b)≤10,
则-4≤3a-2b≤11,故3a-2b的取值范围是[-4,11].
12.解由②可知>0,∴>0,若①成立,即ab>0,则bc-ad>0,故由①② ③正确;
若③式成立,即bc>ad,则bc-ad>0,∴ab>0,故由②③ ①正确;
由①ab>0得>0,若③成立,不等式bc>ad两边同乘,得,∴,故由①③ ②正确.
综上可知,①③ ②,①② ③,②③ ①.
13.B 由x0,
故ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,
故ay+bz+cx因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx故最低费用为az+by+cx.
13.2 基本不等式 第1课时 基本不等式
A级必备知识基础练
1.已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.4
2.已知0A. B. C. D.
3.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是( )
A.0< B.<2
C.≥1 D.
4.已知a>0,b>0,且a+2b=8,则ab的最大值等于 .
5.已知4x+(x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a= .
6.已知a>0,b>0,求证:≥a+b.
B级关键能力提升练
7.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E.设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A.(a>0,b>0)
B.(a>0,b>0,a≠b)
C.(a>0,b>0)
D.(a>0,b>0,a≠b)
8.(多选题)下列四个命题中,是真命题的是( )
A. x∈R,且x≠0,有x+≥2
B. x∈R,使得x2+1≤2x
C.若x>0,y>0,则
D.若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为9
9.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则xy的最大值是 ,的最小值是 .
C级学科素养创新练
10.若a>b,且ab=2,求证:≥4.
3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1.D ∵ab=a+b≥2,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4.
2.B ∵00.
∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.
3.CD =2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误;
∵0≥2≥2×=1,故C正确;
a2+b2≥=8,当且仅当a=b时,等号成立,
∴,故D正确.故选CD.
4.8 a>0,b>0且a+2b=8,则ab=a·2b≤2=×16=8,当且仅当a=2b=4时,等号成立,则ab的最大值为8.
5.36 由基本不等式,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36.
6.证明∵a>0,b>0,∴+b≥2=2a,+a≥2=2b,∴+b++a≥2a+2b,∴≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立.
7.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,易得DC=,DE=,
∵DE∴(a>0,b>0,a≠b).故选D.
8.BCD 对于A,当x<0时,不等式不成立,故A是假命题;对于B,当x=1时,不等式成立,故B是真命题;对于C,若x>0,y>0,则(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化为,当且仅当x=y时等号成立,故C是真命题;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2,
∴≤9,故D是真命题.故选BCD.
9.2 因为x+2y≥2,所以4≥2,即得xy≤2,当且仅当x=2y时取等号,所以xy的最大值是2;因为=5+≥5+2=,当且仅当x=y时取等号,所以的最小值是.
10.证明=(a-b)+≥2=4,当且仅当a=1+,b=-1+或a=1-,b=-1-时,等号成立.
所以≥4.
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