北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数 复习提升（Word版含解析）

第四章　对数运算与对数函数
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视隐含条件致错
1.设lg a+lg b=2lg(a-2b),则log4=　　　.
2.方程log2(x+1)-log4(x+4)=1的解为　.
易错点2　忽视定义域与值域致错
3.(2022宁夏银川二中期中)已知函数f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.(0,1) B.(1,3)
C.(0,3) D.(1,+∞)
4.(2020安徽合肥一六八中学期中)函数f(x)=若a,b,c,d互不相同,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是(　　)
A.(32,34) B.(32,34]
C.(32,35) D.(32,36)
5.已知函数y=f(x),x,y满足lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),求函数y=f(x)的解析式,定义域及值域.
易错点3　函数单调性的应用不当致错
6.已知函数f(x)=ln(|x|+1)+,则使得f(x)>f(2x-2)的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1,+∞)
C.
D.∪(2,+∞)
7.已知loga>0(a>0,且a≠1),若≥,则x的取值范围为　　　　.
易错点4　忽视对底数的讨论致错
8.若loga<1,则实数a的取值范围是　.
9.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性.
思想方法练
一、函数与方程思想
1.函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D内是单调函数;②如果存在区间[a,b],使f(x)在区间[a,b]上的值域为,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c>0,且c≠1)是“减半函数”,则实数t的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C. D.
2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于任意给定的两个非负数a,b,且a>b,不等式af(a)f(1)的解集为(　　)
A. B.
C.(0,e) D.(e,+∞)
二、数形结合思想
3.(2021四川江油第一中学期中)已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足04.(2020四川成都锦江嘉祥外国语高级学校入学考试)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数, f =0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　　　　　.
5.形如y=(a>0,b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地称之为“囧函数”.若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|图象的交点个数为n,则n=　　　　.
三、转化与化归思想
6.(2020陕西西安中学期中)已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为(　　)
A. B.60 C. D.
7.设a>0且a≠1,函数y=有最大值,求函数f(x)=loga(3-2x)的单调区间.
四、分类讨论思想
8.(2020江苏盐城期末)设函数f(x)=若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围为　　　　.
9.设a>0,且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P、Q的大小.
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
本章复习提升
易混易错练
1.答案　1
解析　依题意,得a>0,b>0,a-2b>0,
原式可化为ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0,
∴-5×+4=0,∴=4或=1.
∵a-2b>0,∴>2,∴=4,∴log4=1.
易错警示
　　解对数方程时,若利用对数的运算性质将其转化为关于真数的方程,则要注意等价转化,同时要满足真数大于0的条件.
2.答案　x=5
解析　原方程可化为log2(x+1)=log4(x+4)+1,
即log2(x+1)=log4[4(x+4)],
所以log4(x+1)2=log4(4x+16),
即(x+1)2=4x+16,解得x=-3或x=5.
又x+1>0且x+4>0,所以x>-1,
故方程的解为x=5.
3.B　设t=3-ax,由于a>0且a≠1,所以t=3-ax为减函数,又因为f(x)=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,所以y=logat为增函数,
所以解得1易错警示
　　在研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)型函数的性质时,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
4.C　作出函数f(x)的图象如图所示,
不妨设a∴f(a)=|log2a|=t log2a=-t,
f(b)=|log2b|=t log2b=t,
∴log2a+log2b=log2(ab)=-t+t=0,即ab=1.
又c,d是方程x2-8x+=t的两个根,
∴cd==(0∴32∴325.解析　因为lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x),
所以即
又lg(lg y)=lg(3x)+lg(3-x)=lg[3x(3-x)],
所以lg y=3x(3-x),所以y=103x(3-x).
又3x(3-x)=-3+,0所以0<3x(3-x)≤,
所以y=103x(3-x)∈(1,1],
所以函数y=f(x)=103x(3-x)的定义域为(0,3),值域为(1,1].
6.A　易得函数f(x)是定义域为R的偶函数,且在x≥0时,函数单调递增,
∴f(x)>f(2x-2)等价于f(|x|)>f(|2x-2|),
即|x|>|2x-2|,两边平方得x2>(2x-2)2,
即3x2-8x+4<0,解得∴使得f(x)>f(2x-2)的x的取值范围是.故选A.
7.答案　
解析　由loga>0得0由≥得≥a-1,
∴log2x≤-1=log2,解得0易错警示
　　在解决与对数函数单调性有关的问题时,要正确判断函数的单调性,若底数含有参数,则需要判断底数和1的关系.
8.答案　∪(1,+∞)
解析　由loga<1得loga当a>1时,有a>,即a>1;
当0综上,实数a的取值范围是∪(1,+∞).
9.解析　(1)要使函数f(x)有意义,需满足ax-1>0,
当a>1时,x>0;当0∴当a>1时, f(x)的定义域为(0,+∞);
当0(2)当a>1时,易知y=logax在(0,+∞)上为增函数.任取x1,x2∈(0,+∞),且x1∴0<-1<-1,
∴loga(-1)∴f(x1)∴当a>1时, f(x)在(0,+∞)上是增函数.
同理,当0易错警示
　　底数的范围不同,函数的单调性也不同,所以当底数含有参数时,一定要对底数进行讨论.
思想方法练
1.D　显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则
即f(x)=有两个不等实根.
根据函数的性质构建关于a,b的方程组.
又logc(2cx+t)=,所以2cx+t=.
令=u,则u>0,2u2-u+t=0.
依题意知方程有两个不等正实根,
构造关于u的一元二次方程,根据方程根的情况,应用“三个二次”之间的关系求解.
所以
解得02.C　设F(x)=x·f(x),则F(x)是R上的奇函数,且在[0,+∞)上是减函数,从而F(x)在R上单调递减,则ln x·f(ln x)>f(1) F(ln x)>F(1) ln x<1=ln e,解得0设出函数F(x),利用F(x)的单调性与奇偶性将抽象不等式转化为具体不等式,利用了函数与方程思想.
思想方法
　　函数与方程思想在本章中主要体现在:(1)将对数型函数中的含参问题转化为方程解的个数问题,再利用方程思想求解;(2)通过构造函数解决相应的不等式或方程问题.
3.答案　4
解析　画出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示:
结合图象可知0通过图象直观得到a,b与1的大小关系.
易知当x=a2时,f(x)在[a2,b]上取得最大值2,
通过图象进一步得出f(x)的单调性,从而确定f(x)在给定区间上的最值.
所以f(a2)=|log2a2|=2.
又0因为f(a)=f(b),所以log2=|log2b|,所以b=2,
所以+b=2+2=4.
4.答案　∪(2,+∞)
解析　∵f(x)是R上的偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称.由f =0,得f =0.
∵f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴f(x)在(-∞,0]上为减函数.
由函数的性质画出函数的大致图象,数形结合求出不等式的解集.
作出函数f(x)的大致图象如图所示.
由图可知,当f(lox)>0时,lox<-或lox>,解得x>2或00的解集为∪(2,+∞).
5.答案　4
解析　由题意知,当a=1,b=1时,
y==
在同一平面直角坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x|的图象如图所示,易知它们有4个交点.
在同一坐标系内画出“囧函数”与y=lg|x|的图象,即可得到两函数图象有4个交点,应用了数形结合思想.
思想方法
　　利用数形结合思想解决函数问题时应注意以下几点:①准确画出函数图象,注意函数的定义域;②科学设置参数,并建立参数之间的关系,将数与形进行合理转换;③掌握数学曲线中的代数特征,正确掌握参数的取值范围.
6.B　利用换底公式把logxm,logym,logxyzm转化为以m为底的对数,再运用对数的性质进行求解.
∵logxm=24,logym=40,logxyzm=12,
∴logmx==,logmy==,
logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,
∴logmz=logm(xyz)-logmx-logmy=,
∴logzm==60.
7.解析　设t=x2-2x+3=(x-1)2+2.
当x∈R时,t有最小值,且最小值为2.
∵y=at有最大值,∴0令t=x2-2x+3,问题转化为y=at有最大值,应用了转化与化归思想.
由f(x)=loga(3-2x),得其定义域为.
设u=3-2x,x∈,则y=logau.
∵u=3-2x在上是减函数,y=logau在上是减函数,
∴f(x)=loga(3-2x)的单调递增区间为,无单调递减区间.
思想方法
　　转化与化归思想在本章主要是通过换元将复合函数转化成基本初等函数,再利用基本初等函数的图象与性质求解.
8.答案　∪(1,+∞)
解析　由题意知a>0,设h(x)=-ax-1,则h(x)为减函数.
由于底数a为参数,故需对a分类讨论.
当0若存在x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),
则g(0)>h(0),即loga2>-1,解得0当a>1时,恒有x1,x2∈R且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2).
综上,01,即实数a的取值范围为∪(1,+∞).
9.解析　对底数a按照01分类讨论,应用了分类讨论思想.
当0又y=logax在区间(0,+∞)上单调递减,
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.
当a>1时,有a3>a2,即a3+1>a2+1.
又y=logax在区间(0,+∞)上单调递增,
∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.
综上,P>Q.
思想方法
　　在对数(型)函数问题中,底数对函数的图象和性质有影响,解题时要注意对底数进行分类讨论,这是分类讨论思想在本章中的重要体现.