北师大版（2019）必修第一册第四章对数运算与对数函数 综合拔高练 同步练习（Word版含解析）

第四章　对数运算与对数函数
综合拔高练
五年高考练
考点1　对数的运算
1.(2021全国甲文,6)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
2.(2021天津,7)若2a=5b=10,则+=(　　)
A.-1 B.lg 7
C.1 D.log710
考点2　对数型函数的性质
3.(2017山东,1)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　)
A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
4.(2017课标全国Ⅰ,9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则(　　)
A. f(x)在(0,2)单调递增
B. f(x)在(0,2)单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
5.(2017课标全国Ⅱ,8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是　(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
6.(2018江苏,5)函数f(x)=的定义域为　　　　.
7.(2018课标全国Ⅲ,16)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　.
考点3　函数值(对数值)的大小比较
8.(2021全国新高考Ⅱ,7)已知a=log52,b=log83,c=,则(　　)
A.cC.a9.(2020天津理,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b10.(2019课标全国Ⅲ,11)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(　　)
A. f >f()>f()
B. f >f()>f()
C. f()>f()>f
D. f()>f()>f
11.(2020全国Ⅲ理,12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则(　　)
A.aC.b12.(2018课标全国Ⅲ,12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)
A.a+bC.a+b<0三年模拟练
应用实践
1.(2020河北保定期末)-=(　　)
　　　　 　　　　 　　　　
A.2lg 5 B.0
C.-1 D.-2lg 5
2.(2022安徽十校联盟联考)已知a=log52,b=,c=0.70.3,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.b3.(多选)(2021浙江温州期末)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=loga(x-b),g(x)=bx-a的图象可能是(　　)
A
B
C
D
4.(2022陕西宝鸡中学期中)若函数y=log2(x2-ax+3a)在(2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-4,4] B.(-4,4)
C.(-∞,4] D.(-∞,4)
5.(2020河南平顶山期中)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是(　　)
A. B.(0,1)∪(10,+∞)
C. D.∪(1,+∞)
6.(2021四川顶级名校期中)已知函数f(x)=若函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,其横坐标依次为x1,x2,x3,且x1A.(-3,-1) B.(0,2)
C.(-1,3) D.(3,0)
7.(2020河南郑州期末)已知函数f(x)=log3(x+)+在[-k,k](k>0)上的最大值和最小值分别为M和m,则M+m=(　　)
A.4 B.2
C.1 D.0
8.(2021江西南昌外国语学校期中)函数f(x)=log4·log(2x)的值域为　　　　.
9.(2020浙江台州椒江期中)定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1.若函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,3],则区间[a,b]长度的最大值为　　　　.
10.(2020江苏南通期末)已知函数f(x)=若f(x)在R上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.
11.(2022北京东城期末)设函数f(x)=loga(|x|+1)(a>1),则f(x)是　　　　(填“奇函数”或“偶函数”);若fT(x)=(T>0),则当T=时,函数fT(x)的值域为　　　　.
12.已知函数f(x)=loga(x+a)(a>0且a≠1),g(x)=f(x)-f(-x).
(1)判断并证明函数g(x)的奇偶性;
(2)若x∈[m,n]时,函数g(x)的值域是[logam,logan],求整数a的最小值.
13.(2020陕西咸阳实验中学期末)如图,过函数f(x)=logcx(c>1)的图象上的两点A,B作x轴的垂线,垂足分别为M(a,0),N(b,0)(b>a>1),线段BN与函数g(x)=logmx(m>c>1)的图象交于点C,且AC与x轴平行.
(1)当a=2,b=4,c=3时,求实数m的值;
(2)当b=a2时,求-的最小值;
(3)已知h(x)=ax,φ(x)=bx,x1,x2为区间(a,b)内任意两个变量,且x1迁移创新
14.(2021河南安阳一中月考)已知函数y=f(x),若对于给定的正整数k,f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),则称此函数f(x)为“保k值函数”.
(1)若函数f(x)=2x为“保1值函数”,求x0的值;
(2)①试判断函数f(x)=x+是不是“保k值函数”,若是,求出k的值;若不是,请说明理由;
②试判断函数f(x)=ln是不是“保2值函数”,若是,求出实数a的取值范围;若不是,请说明理由.
本章达标检测见增分测评卷 P7
答案与分层梯度式解析
第四章　对数运算与对数函数
综合拔高练
五年高考练
1.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1=≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
2.C　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510,
∴+=+=lg 2+lg 5=lg 10=1.
3.D　由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D.
4.C　函数f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)],其中05.D　由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,
所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),
令u=x2-2x-8,
则u=x2-2x-8在x∈(-∞,-2)上单调递减,在x∈(4,+∞)上单调递增.
又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增,
所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
6.答案　[2,+∞)
解析　由题意得解得x≥2,
即函数f(x)的定义域为[2,+∞).
7.答案　-2
解析　易知f(x)的定义域为R,设g(x)=ln(-x),则g(-x)=ln(+x)=-g(x),又g(x)的定义域为R,关于原点对称,∴g(x)为奇函数,
∴g(a)+g(-a)=0,又f(a)=g(a)+1,f(-a)=g(-a)+1,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=2-4=-2.
8.C　∵log529.D　由函数y=3x单调递增,函数y=log0.7x(x>0)单调递减,可知a=30.7>30=1,b==30.8>30.7=a,c=log0.70.810.C　∵f(x)是定义域为R的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
∴f =f(-log34)=f(log34).
∵log34>log33=1,且1>>>0,
∴log34>>>0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
∴f()>f()>f(log34)=f .故选C.
11.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则==log53·log58<=<1,∴a又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135,∴c>.
又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述,c>b>a,故选A.
12.B　a+b=log0.20.3+log20.3=+=(lg 3-1)·,
因为lg 2-1<0,lg 2>0,lg 3-1<0,lg 4-1<0,
所以(lg 3-1)·<0,即a+b<0.
ab=log0.20.3·log20.3=·
=<0.
ab-(a+b)=-
=(lg 3-1)·<0,
所以ab三年模拟练
1.B　原式=lg 50-1-(1-lg 2)=lg 50-2+lg 2=0,故选B.
2.A　∵log51∵b==log0.70.1>log0.70.7,∴b>1.
∵0.71<0.70.3<0.70,∴0.73.AC　选项A中,根据题中图象知f(x)在定义域上单调递增,所以a>1,又f(x)的图象过点(2,0),所以b=1,所以g(x)=1,故A符合;
选项B中,由g(x)的图象可知a>1,0选项C中,由f(x)的图象知0选项D中,由f(x)的图象知04.A　根据题意得解得-4≤a≤4.
5.C　∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,
∴f(x)在(-∞,0)上是增函数.
若f(lg x)>f(1),则|lg x|<1,即-1解得故选C.
6.A　作出函数f(x)=的图象及直线y=m,如图所示,
因为函数y=f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,所以0由-log3x1=log3x2=-x3+4=m得x1x2=1,x3=4-m,
所以(x1x2+1)m-x3=2m-4+m.
设h(m)=2m-4+m,m∈(0,1),
因为h(m)在(0,1)上单调递增,
所以-3即(x1x2+1)m-x3的取值范围为(-3,-1),故选A.
7.B　∵f(x)=log3(x+)+,
∴f(-x)=log3(-x+)+,
∴f(x)+f(-x)=2,∴函数f(x)在定义域内既不是奇函数,又不是偶函数.令g(x)=f(x)-1,则g(x)+g(-x)=f(x)-1+f(-x)-1=0,∴g(x)在定义域[-k,k](k>0)内为奇函数.设g(x)的最大值为t,则最小值为-t,∴f(x)的最大值为M=t+1,最小值为m=-t+1,∴M+m=2.
8.答案　
解析　因为f(x)=log4·log (2x)=·=[(log2x)2+log2x]=-,所以f(x)≥-,故函数f(x)的值域为.
9.答案　
解析　由题知函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,3],要使区间[a,b]的长度最大,则-3≤log2x≤3,解得≤x≤8,
故区间[a,b]长度的最大值为8-=.
10.答案　
解析　因为函数f(x)在R上是增函数,
所以y=(3-a)x+a-1在区间(-∞,1)上是增函数且y=loga在区间[1,+∞)上也是增函数.
由函数y=(3-a)x+a-1在(-∞,1)上是增函数,
得3-a>0 a<3.①
对于函数y=loga,x∈[1,+∞),
令u=x2-ax+=+.
当0又y=logau为定义域内的减函数,
所以根据复合函数“同增异减”可得0当a>1时,要使函数y=loga为定义域内的增函数,只需函数u=x2-ax+=+在[1,+∞)上也是增函数,又对数函数的真数大于0,
所以解得a≤2.
又a>1,所以1由①②得1因为f(x)在R上是增函数,所以f(x)的图象在衔接点处的函数值应满足3-a+a-1≤loga,
即a2+a-≤0,解得-≤a≤.
所以实数a的取值范围是.
11.答案　偶函数;∪
解析　因为|x|+1≥1>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=loga(|-x|+1)=loga(|x|+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
因为|x|+1≥1,a>1,所以f(x)=loga(|x|+1)≥0,
若T=,则由题意可得当f(x)<时, fT(x)=f(x)<,故0≤fT(x)<,
当f(x)≥时, fT(x)=-f(x)≤-.
综上,函数fT(x)的值域为∪.
12.解析　(1)函数g(x)为奇函数.证明如下:
函数g(x)=f(x)-f(-x)=loga(x+a)-loga(a-x),
∴∴-a∴函数g(x)的定义域为(-a,a).
又g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),
∴函数g(x)为奇函数.
(2)由logamm>0,a>1,
由(1)知,g(x)=loga(x+a)-loga(a-x)=loga,
令u==-1-,则u在区间[m,n]内单调递增,
又y=logau(a>1)为增函数,∴函数g(x)在区间[m,n]内单调递增,且值域是[logam,logan],
∴ 即
∴在区间(0,a)上有解,
即方程=x在区间(0,a)上有两个不同的实数根,
即方程x2+(1-a)x+a=0在区间(0,a)上有两个不同的实数根,
令h(x)=x2+(1-a)x+a,
则∴
∴a>3+2,
又a是整数,∴amin=6.
13.解析　(1)由题意得A(2,log32),B(4,log34),C(4,logm4).
∵AC与x轴平行,∴logm4=log32,∴m=9.
(2)由题意得A(a,logca),B(b,logcb),C(b,logmb),
∵AC与x轴平行,∴logmb=logca,
∵b=a2,∴m=c2,∴-=-=-1,
∴当=1时,-有最小值,且最小值为-1.
(3)证明:∵a1,
∴logca又∵a>1,b>1,
∴<,<.
又∵logcb·logca=logca·logcb,
∴logc=logc,
∴=,
∴<,
即h(f(x2))<φ(f(x1)).
14.解析　(1)因为函数f(x)=2x为“保1值函数”,所以存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),即=+2,故=2,解得x0=1.
(2)①函数f(x)=x+不是“保k值函数”.理由如下:
若函数f(x)=x+是“保k值函数”,则存在实数x0≠0,使得f(x0+k)=f(x0)+f(k),即x0+k+=x0++k+,化简得+kx0+k2=0.当k≠0时,Δ=-3k2<0,方程无解;当k=0时,x0=0,与x0≠0矛盾.
综上,函数f(x)=x+不是“保k值函数”.
②函数f(x)=ln是“保2值函数”.
若函数f(x)=ln是“保2值函数”,则f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0+2)=f(x0)+f(2),即ln=ln+ln,
即=·,亦即=a,
化简可得=,由>0,解得故当