第四章 对数运算与对数函数 测评试卷（Word版含解析）

第四章　对数运算与对数函数
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列等式正确的是(　　)
A.lg(xy)=lg x+lg y B.2m+2n=2m+n
C.2m·2n=2m+n D.ln x2=2ln x
2.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　)
A.-e B.- C.e D.
3.已知函数y=f(3x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log3x)的定义域为(　　)
A.[-1,1] B.
C.[1,2] D.[,27]
4.已知函数f(x)=(2m-1)xm(m∈R)是幂函数,则函数g(x)=loga(x+m)+2(a>0,且a≠1)的图象所过定点P的坐标是(　　)
A.(0,2) B.(1,2)
C.(2,2) D.(-1,2)
5.已知函数f(x)=x2+e|x|,若a=f(20),b=f ,c=f ,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>a>b
6.已知函数f(x)=若f(a)≥1,则a的取值范围是(　　)
A.[1,2) B.[1,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,-1)∪[1,+∞)
7.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(　　)
8.已知函数f(x)=m(x-)+2,g(x)=ln, x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=则(　　)
A.f(e+2)=1 B.f(f(e+2))=1
C.f(3)=e D.f(f(3))=
10.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的值可能是(　　)
A.2 B. C. D.3
11.若10a=4,10b=25,5c=4,则下列结论正确的有(　　)
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab<1 D.-=
12.定义“正对数”:ln+x=若a>0,b>0,则下列结论中正确的是(　　)
A.ln+(ab)=bln+a
B.ln+(ab)=ln+a+ln+b
C.ln+(a+b)≥ln+a+ln+b
D.ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知y=f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=ex+1,则f(-ln 2)的值为　　　　.
14.若定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x1>x2>0时,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.则f(x)的解析式可以是f(x)=　　　　.(写出一个即可)
15.某新能源汽车公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2020年(记为第1年)全年投入研发资金5 300万元,在此基础上,以后每年投入的研发资金比上一年增长8%,则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是　　　年.(参考数据:lg 1.08≈0.033,lg 7≈0.845,lg 5.3≈0.724)
16.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各式的值:
(1)+log3618+(log93)×(log62)-;
(2)(lg 5)2+0.2×0.5-4+(lg 5)×(lg 2)+lg 20.
18.(12分)在①f(x+1)=f(x)+2x-1;②f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3;③f(x)≥2恒成立,且f(0)=3这三个条件中选择一个,补充在下面的问题中,并作答.
已知一元二次函数的图象经过点(1,2),　　　　　　　.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=log2(6-x)+log2(6+x),求g(f(x))在x∈[0,2]上的值域.
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(12分)已知函数f(x)=lg(a·4x-3·2x+2),a∈R.
(1)若a=1,求函数y=f(x)的定义域;
(2)当x∈(-∞,1]时,函数y=f(x)有意义,求实数a的取值范围.
20.(12分)目前,我国一些高耗低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩严重影响了生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始,每年的年产能比上一年减少的百分比为x(0(1)设第n年(2018年记为第1年)的年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x;
(2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25% (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
21.(12分)已知函数f(x)=log2x,g(x)=ax2-4x+1.
(1)若函数y=f(g(x))的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)函数h(x)=[f(x)]2-f(x2),若对于任意的x∈,都存在t∈[-1,1],使得不等式h(x)>k·2t-2成立,求实数k的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=log2(x+a).
(1)当a=1时, f(x)+f(x-1)>0成立,求x的取值范围;
(2)若定义在R上的奇函数g(x)满足g(x+2)=-g(x),且当0≤x≤1时,g(x)=f(x),求g(x)在区间[-3,-1]上的解析式,并写出g(x)在区间[-3,3]上的单调性(不必证明);
(3)对于(2)中的g(x),若关于x的不等式g≥g在R上恒成立,求实数t的取值范围.
答案与解析
第四章　对数运算与对数函数
1.C　对于A,D,若x,y为非正数,则不正确;对于B,C,根据指数幂的运算性质知C正确,B错误.故选C.
2.D　由题意得f(x)=ln x,∵f(m)=-1,∴ln m=-1,解得m=.
3.D　由x∈[-1,1],得3x∈,所以log3x∈,所以x∈[,27].
4.A　因为函数f(x)=(2m-1)xm(m∈R)是幂函数,所以2m-1=1,解得m=1,所以g(x)=loga(x+m)+2=loga(x+1)+2,由loga(x+1)=0可得x=0,则g(0)=2,所以定点P的坐标是(0,2).
5.C　易知x∈R,由f(-x)=(-x)2+e|-x|=x2+e|x|=f(x)知函数f(x)为偶函数,易知f(x)在(0,+∞)上为增函数,且a=f(20)=f(1),b=f =f(2),c=f =f =f ,所以f(2)>f(1)>f ,即b>a>c.
6.B　∵f(x)=f(a)≥1,
∴或即或
解得1≤a<2或a≥2.∴a的取值范围是[1,+∞).故选B.
7.C　由指数函数和对数函数的单调性知,函数f(x)=ax与g(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上的单调性相同,可排除B,D,再由关系式f(3)·g(3)<0可排除A,故选C.
8.C　由 x1∈[0,1], x2∈[0,4],都有g(x1)易知g(x)=ln=ln在[0,1]上递增,∴g(x)min=g(0)=0.
当m=0时,f(x)=2>0恒成立;
当m>0时,f(x)在[0,4]上递增,∴f(x)min=f(0)=-2m+2,由-2m+2>0,解得m<1,∴0当m<0时,f(x)在[0,4]上递减,∴f(x)min=f(4)=4m+2,由4m+2>0,解得m>-,∴-9.ABD　因为f(x)=所以f(e+2)=ln(e+2-2)=1,故A正确;f(f(e+2))=f(1)=e0=1,故B正确;f(3)=ln(3-2)=0,故C不正确;f(f(3))=f(0)=e-1=,故D正确.故选ABD.
10.BC　令f(a)=f(b)=f(c)=t,根据已知作出函数f(x)的图象和直线y=t.
不妨设a解得ab=1,由图可知211.ACD　若10a=4,10b=25,5c=4,则a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg ≠1,B错误;易知ab≤=1,当且仅当a=b时取等号,又a=lg 4,b=lg 25,所以等号不成立,即ab<1,C正确;-=-=log410-log45=log42=,D正确.
12.AD　对于A,当00时,有00时,有ab≥1,从而ln +(ab)=ln ab=bln a,bln+a=bln a,所以ln +(ab)=bln+a.所以当a>0,b>0时,ln +(ab)=bln+a,所以A正确.
对于B,当a=,b=2时满足a>0,b>0,而ln +(ab)=ln +=0,ln +a+ln +b=ln ++ln +2=ln 2,所以ln +(ab)≠ln +a+ln +b,所以B错误.
对于C,令a=2,b=4,则ln +(2+4)=ln 6,ln +2+ln +4=ln 2+ln 4=ln 8,显然ln 6对于D,由“正对数”的定义知,当0当0从而ln +(a+b)所以ln +(a+b)当a≥1,01,
从而ln +(a+b)=ln(a+b)当01,
从而ln+(a+b)=ln(a+b)当a≥1,b≥1时,ln +(a+b)=ln(a+b),ln+a+ln +b+ln 2=ln a+ln b+ln 2=ln(2ab),
因为2ab-(a+b)=ab-a+ab-b=a(b-1)+b(a-1)≥0,所以2ab≥a+b,所以ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.
综上所述,当a>0,b>0时,ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2,所以D正确.
故选AD.
13.答案　-3
解析　因为f(x)为奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-(eln 2+1)=-(2+1)=-3.
14.答案　x(答案不唯一)
解析　由②知f(x)为(0,+∞)上的减函数,由①知f(x)可以为对数函数,故f(x)=x符合题意.
15.答案　2024
信息提取　①2020年投入研发资金5 300万元;②以后每年投入的研发资金比上一年增长8%;③求该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份.
数学建模　以新能源汽车公司研发资金投入问题为背景,将问题转化为指数运算与对数运算问题.
解析　设第n年投入的研发资金超过7 000万元,
则5 300×(1+8%)n-1>7 000,即(n-1)lg 1.08>lg 7-lg 5.3,
所以n-1>≈3.7,取n-1=4,此时2 020+n-1=2 024,
所以该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是2024年.
16.答案　
解析　作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,由图象知,017.解析　(1) +log3618+(log93)×(log62)-
=+18+(3)×(log62)-1(2分)
=-3+log618+log62-1(3分)
=-3+log6(18×2)-1(4分)
=-3+1-1=-3.(5分)
(2)(lg 5)2+0.2×0.5-4+(lg 5)×(lg 2)+lg 20
=(lg 5)2+(0.52×0.5-4+(lg 5)×(lg 2)+lg 20(6分)
=(lg 5)×(lg 5+lg 2)+lg 20+0.55-4(8分)
=lg 5+lg 20+
=lg(5×20)+
=2+=.(10分)
18.解析　(1)选①:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+(a+b+c),(1分)
由f(x+1)=f(x)+2x-1=ax2+(b+2)x+c-1,可得
解得(2分)
则f(x)=x2-2x+c,由f(1)=c-1=2可得c=3,(3分)
∴f(x)=x2-2x+3.(4分)
选②:因为f(x+1)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,(1分)
因为f(1)=2,所以可设f(x)=a(x-1)2+2(a≠0),(2分)
则f(0)=a+2=3,解得a=1,(3分)
所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(4分)
选③:因为f(x)≥2恒成立且f(1)=2,
所以可设f(x)=a(x-1)2+2,其中a>0,(2分)
则f(0)=a+2=3,解得a=1,(3分)
所以f(x)=(x-1)2+2=x2-2x+3.(4分)
(2)当x∈[0,2]时,f(x)=(x-1)2+2∈[2,3],(5分)
令u=f(x),则u∈[2,3],(6分)
g(x)=log2(6-x)+log2(6+x)=log2(36-x2),
g(f(x))=g(u)=log2(36-u2).(8分)
令t=36-u2,u∈[2,3],则t∈[27,32],(9分)
又函数y=log2t在t∈[27,32]上单调递增,(10分)
因此函数y=log2t(t∈[27,32])的值域为[3log23,5].(11分)
所以g(f(x))在x∈[0,2]上的值域为[3log23,5].(12分)
19.解析　(1)当a=1时, f(x)=lg(4x-3·2x+2),(1分)
令4x-3·2x+2>0,则2x<1或2x>2,所以x<0或x>1.(3分)
所以函数y=f(x)的定义域为{x|x<0,或x>1}.(4分)
(2)令t=2x,当x∈(-∞,1]时,t∈(0,2].(5分)
由y=lg(at2-3t+2)有意义,得at2-3t+2>0在(0,2]上恒成立,
即a>-2·+3·在(0,2]上恒成立.(7分)
因为-2·+3·=-2+,当t∈(0,2]时,∈,所以-2+≤,(10分)
所以a>.故实数a的取值范围是.(12分)
20.解析　(1)依题意得(1-x)n=a,(2分)
∵0(2)设第m(m∈N+)年的年产能不超过2017年的25%,
则(1-10%)m≤25%,(6分)
即≤,解得m≥≈,(8分)
∵13<<14,且m∈N+,∴m的最小值为14,(10分)
又2 017+14=2 031,(11分)
∴至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.(12分)
21.解析　(1)当a<0时,g(x)有最大值,故g(x)的函数值不可能取到全体正数,不符合题意;(2分)
当a=0时,g(x)是一元一次函数,故g(x)的函数值可以取遍全体正数,则y=f(g(x))的值域是R,符合题意;(4分)
当a>0时,要使g(x)的函数值可以取遍全体正数,只需要函数的最小值小于或等于0,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4,∴0综上,实数a的取值范围为[0,4].(6分)
(2)h(x)=(log2x)2-2log2x=(log2x-1)2-1,
∵x∈,∴log2x∈[-1,1],∴h(x)∈[-1,3].(8分)
由题意可得存在t∈[-1,1],使得k·2t即k<在t∈[-1,1]上有解,(10分)
∴k<=2.综上,实数k的取值范围为(-∞,2).(12分)
22.解析　(1)当a=1时,f(x)=log2(x+1),∴f(x-1)=log2x,
∴f(x)+f(x-1)=log2(x+1)+log2x=log2[x(x+1)],(1分)
∵f(x)+f(x-1)>0,∴解得x>,
即x的取值范围为.(2分)
(2)∵函数g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(0)=0,
又∵当0≤x≤1时,g(x)=f(x)=log2(x+a),
∴a=1,∴g(x)=log2(x+1).(3分)
当x∈[-2,-1]时,x+2∈[0,1],∴g(x)=-g(x+2)=-log2(x+3).(4分)
当x∈[-3,-2)时,x+2∈[-1,0),即-(x+2)∈(0,1],
∴g(x)=-g(x+2)=g[-(x+2)]=log2[-(x+2)+1]=log2(-x-1).(5分)
故g(x)=
g(x)在[-3,-1]和[1,3]上递减,在[-1,1]上递增.(6分)
(3)g=-g=-f =-log2,
由(2)知,若g(x)=-log2,则x=-或x=-或x=.
记u==-+.(7分)
当t+1=0,即t=-1时,u=-,符合题意.
当t+1>0,即t>-1时,u∈-,-+=,
由g≥g在R上恒成立可得 ,
所以-1当t+1<0,即t<-1时,u∈=,
由g≥g在R上恒成立可得 ,
所以-4≤t<-1.(11分)
综上,实数t的取值范围为[-4,20].(12分)