北师大版（2019）必修第一册全书综合测评试卷（Word版含解析）

全书综合测评
(全卷满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.已知集合A={x|0A.(3,16) B.(3,8) C.(1,3] D.(1,+∞)
2.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组 [10,30) [30,50) [50,70]
频率 0.1 0.6 0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数(以中点值代替),中位数分别为(　　)
A.30,43 B.40,43 C.40,43 D.30,43
3.下列命题是真命题的是(　　)
A.若x>y>z,则|xy|>|yz|
B.若<<0,则ab>b2
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a2x>a2y,则x>y
4.已知正数x,y满足+=3,则x+y的最小值为(　　)
A. B.2 C. D.6
5.函数g(x)=|loga(x+1)|(a>0且a≠1)的图象大致为(　　)
6.北京时间2021年10月16日0时23分,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射,长征系列火箭的频频发射成功,显示出我国强大的科技实力.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下,可以用公式v=v0·ln计算火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比,当总质比较大时,公式真数中的1可忽略不计.若将M型火箭的总质比从500提升到1 000,则其最大速度v大约增加了(　　)
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
A.5% B.11% C.20% D.30%
7.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数.若a=f(log47),b=f(lo3),c=f(0.20.6),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.cC.b8.若函数f(x)=且满足对任意的实数x1≠x2,都有 >0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.[4,8) B.(4,8) C.(1,8] D.(1,8)
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.设全集为U,下列选项中是B A的充要条件的为(　　)
A.A∪B=B B.( UA)∩B=
C.( UA) ( UB) D.A∪( UB)=U
10.下列计算正确的是(　　)
A.=
B.()·(-3)÷=-9a(a>0,b>0)
C.2log32-log336+log25×log54=0
D.已知x2+x-2=2,则x+x-1=2
11.算盘是我国古代一项伟大的发明,是一类重要的计算工具.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别表示个位、十位、百位、千位……,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如,个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的四位数能被3整除”,B=“表示的四位数能被5整除”,则(　　)
A.P(A)= B.P(B)=
C.P(A∪B)= D.P(AB)=
12.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题是真命题的是(　　)
A.f(-3.9)=f(4.1)
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)的最小值为0
D.方程f(x)-=0有无数个根
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填
在题中横线上)
13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(4)=　　　　.
14.为了解中学生对“双减”政策落实的满意度,某部门欲从A,B两校共4 000名中学生中,用分层随机抽样的方法抽取240名中学生进行问卷调查,已知A校有1 800名中学生,则应在B校抽取的中学生人数是　　　　.
15.若函数f(x)=为奇函数,则实数a的值为　　　　,当x≥4时,f(x)的最大值为　　　　.(第一空2分,第二空3分)
16.在实数集R中定义一种运算“*”,具有下列性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b,c∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c.
则函数f(x)=x*(x>0)的最小值为　　　　.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知全集为R,集合A={x|x2<4},B={x|(x-m-1)·(x-m-7)>0}.
(1)若m=-2,求集合A∪ RB;
(2)请在①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;②若x∈A,则x B;③A RB这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并解答.
若　　　,求实数m的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据如下:
组别 PM2.5的24小时平均浓度 (微克/立方米) 频数(天) 频率
第一组 (0,25] 3 0.15
第二组 (25,50] 12 0.6
第三组 (50,75] 3 0.15
第四组 (75,100] 2 0.1
(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有1天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(2)求样本平均数,并利用样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进,并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
19.(12分)已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+.
(1)求当x≤0时f(x)的解析式;
(2)求证:f(x)在[1,+∞)上为增函数;
(3)解关于x的不等式f(2x+6)>f(4x+3×2x+3).
20.(12分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),并按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图(如图).
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数;
(2)用分层随机抽样的方法从身高在区间[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中共抽取6人,求从这三个区间中分别抽取的学生人数;
(3)在(2)的条件下,要从6名学生中抽取2人,求至少有1人的身高在[175,180)内的概率.
21.(12分)经多次试验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的部分数据关系如下表:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 9.25
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型可供选择:Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.
(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)已知某高速公路共有三条车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车在哪条车道以什么速度行驶时W最小
22.(12分)已知函数f(x)=x2,对任意实数t,gt(x)=-tx+1.
(1)若函数h(x)=-gt(x)在(0,2]上是单调递减的,求实数t的取值范围;
(2)若f(x)答案与解析
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1.A　集合A={x|02.C　根据题中频率分布表可知,频率最高的分组为[30,50),∴众数为40.设中位数为x,则0.1+×0.6=0.5,解得x=43,即中位数为43.故选C.
3.D　A中,不妨取x=1,y=-2,z=-3,此时|1×(-2)|<|(-2)×(-3)|,所以A是假命题;B中,若<<0,则bab,所以B是假命题;C中,不妨取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则-1×(-3)<-2×(-4),所以C是假命题;D中,若a2x>a2y,则a2(x-y)>0,则x-y>0,即x>y,所以D是真命题.故选D.
4.B　由题得x+y=x+(y+1)-1=×[x+(y+1)]×3-1=×[x+(y+1)]×-1=×-1≥×-1=2,
当且仅当x=y=1时取等号,所以x+y的最小值为2.
5.C　函数g(x)的定义域为{x|x>-1},排除D;由g(x)=|loga(x+1)|≥0,排除B;当x=0时,g(x)=0,排除A.故选C.
6.B　当=500时,v≈v0ln 500,当=1 000时,v≈v0ln 1 000,
因为===≈≈1.11,所以将总质比从500提升到1 000,其最大速度v大约增加了11%.故选B.
7.C　∵f(x)在(-∞,+∞)上是偶函数,∴b=f(lo3)=f(-log23)=f(log23).∵log47>log44=1,log23=log49>log47,0<0.20.6<1,∴log23>log47>0.20.6>0.∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(log23)8.A　由题意得函数f(x)是R上的增函数,则解得4≤a<8,
所以实数a的取值范围为[4,8).故选A.
9.BCD　如图,由Venn图可知,B、C、D都是B A的充要条件.故选BCD.
10.BC　选项A,==,故错误;选项B,()·(-3)÷=-9=-9a,故正确;选项C,原式=log34-log336+log24=log3+2=-2+2=0,故正确;选项D,因为x2+x-2=(x+x-1)2-2=2,所以(x+x-1)2=4,则x+x-1=±2,故错误.故选BC.
11.ACD　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,所得四位数共16个,分别为1 111,1 115,1 151,1 155,1 511,1 515,1 551,1 555,5 111,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 551,5 555.
事件A包含的样本点有1 155,1 515,1 551,5 115,5 151,5 511,共6个,因此P(A)==;事件B包含的样本点有1 115,1 155,1 515,1 555,5 115,5 155,5 515,5 555,共8个,因此P(B)==;事件A∪B包含的样本点有1 115,1 155,1 515,1 551,1 555,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 555,共11个,因此P(A∪B)=;事件AB包含的样本点有1 155,1 515,5 115,共3个,因此P(AB)=.故选ACD.
12.ACD　由题意得f(-3.9)=(-3.9)-[-3.9]=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-[4.1]=4.1-4=0.1,A是真命题;由题意可画出f(x)的部分图象,如图:
由图可得,f(x)的最小值为0,无最大值,图象与直线y=有无数个交点,即方程f(x)-=0有无数个根,故B错误,C正确,D正确.故选ACD.
13.答案　2
解析　设幂函数y=f(x)=xα,α∈R,∵其图象过点(2,),
∴2α=,解得α=,∴f(x)=,∴f(4)==2.
14.答案　132
解析　∵A,B两校共4 000名中学生,且A校有1 800名中学生,∴B校有2 200名中学生,从A,B两校中用分层随机抽样的方法抽取240名中学生,每个学生被抽到的概率为=,∴应在B校抽取的中学生人数是2 200×=132.
15.答案　2;
解析　因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即+=0,即=0,故4-2a=0,即a=2,所以f(x)=.当x≥4时,f(x)=,注意到y=x-在[4,+∞)上单调递增,故x-≥4-=3,所以0<≤,故当x≥4时,f(x)的最大值为.
16.答案　3
解析　在(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-5c中,令c=0,得(a*b)*0=0*(ab)+(a*0)+(b*0),由性质(1)a*b=b*a,可得(a*b)*0=(ab)*0+(a*0)+(b*0),由性质(2)a*0=a,可得(a*b)*0=a*b=ab+a+b,所以f(x)=x*=1+x+.因为x>0,所以f(x)=1+x+≥3,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,所以f(x)的最小值为3.
17.解析　(1)A={x|x2<4}=(-2,2),(1分)
当m=-2时,B={x|(x+1)(x-5)>0}=(-∞,-1)∪(5,+∞),(2分)
∴ RB=[-1,5],(3分)
∴A∪ RB=(-2,5].(5分)
(2)易得A=(-2,2),B={x|(x-m-1)(x-m-7)>0}=(-∞,m+1)∪(m+7,+∞).(6分)
若选①,则A B,(7分)
所以m+1≥2或m+7≤-2,(8分)
解得m≥1或m≤-9,
所以实数m的取值范围为(-∞,-9]∪[1,+∞).(10分)
若选②,则A∩B= ,(7分)
所以m+1≤-2且m+7≥2,(8分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(10分)
易得 RB=[m+1,m+7],(7分)
若选③,则m+1≤-2且m+7≥2,(8分)
解得-5≤m≤-3,所以实数m的取值范围为[-5,-3].(10分)
18.解析　(1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天分别记为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100]内的两天分别记为B1,B2,所以从5天中随机抽取2天的情况有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种,(2分)
其中符合条件的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6种,(4分)
所以所求的概率P==.(6分)
(2)随机抽取的该居民区去年20天PM2.5的平均浓度为12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米).(8分)
该居民区的环境需要改进.(10分)
理由:利用样本估计总体的思想,估计该居民区去年PM2.5的年平均浓度为42.5微克/立方米.因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合《环境空气质量标准》的规定,所以该居民区的环境需要改进.(12分)
19.解析　(1)由f(x)是定义域为R的奇函数,知f(0)=0.(1分)
当x<0时,-x>0,则f(-x)=x2-,f(x)=-f(-x)=-x2+.(2分)
综上所述,当x≤0时,f(x)=(3分)
(2)证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=+--=(-)+
=(x2-x1),(6分)
∵1≤x10,x2+x1>2,<2,∴x2+x1->0,
∴(x2-x1)>0,(7分)
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.(8分)
(3)2x+6>6,4x+3×2x+3>3,设2x=t(t>0),根据(2)及f(2x+6)>f(4x+3×2x+3),可得t+6>t2+3t+3,即∴0即0<2x<1,(10分)
解得x<0.(11分)
因此不等式的解集为{x|x<0}.(12分)
20.解析　(1)由频率分布直方图可知,5x=1-5×(0.07+0.04+0.02+0.01),(1分)
所以x=0.06.(2分)
因此身高在170 cm及以上的学生人数为100×(0.06×5+0.04×5+0.02×5)=60.(4分)
(2)身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生人数分别为0.06×5×100=30,0.04×5×100=20,0.02×5×100=10,(6分)
因此应该从身高在[170,175),[175,180),[180,185]内的学生中分别抽取6×=3(人),6×=2(人),6×=1(人).(8分)
(3)在(2)的条件下,设身高在[170,175)内的3名学生分别为A1,A2,A3,身高在[175,180)内的2名学生分别为B1,B2,身高在[180,185]内的1名学生为C0,则从6名学生中抽取2人的样本点共15个,分别为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C0),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C0),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C0),(B1,B2),(B1,C0),(B2,C0),(10分)
至少有1人的身高在[175,180)内包含的样本点有9个,分别为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C0),(B2,C0),所以至少有1人的身高在[175,180)内的概率为=.(12分)
21.解析　(1)填表如下:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
W 13 10 9.25 10 13
(2分)
由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时有意义,且在[40,120]上为增函数.
Q(v)=0.5v+a在[40,120]上是减函数,不符合题意.(3分)
若选择Q(v)=av+b,代入(40,5.2),(60,6),
得解得(4分)
则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,
与实际数据相差较大,所以不符合题意.(5分)
经观察,函数模型Q(v)=av3+bv2+cv最符合实际,(6分)
代入(40,5.2),(60,6),(100,10),
则解得
∴Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v.(8分)
(2)∵W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,(10分)
∴当v=80时,W取得最小值9,
故该型号汽车在外侧车道以80 km/h的速度行驶时W最小.(12分)
22.解析　(1)由已知得h(x)=-gt(x)=+tx-1,(1分)
任取x1,x2∈(0,2],且x1则h(x1)-h(x2)=-=,(3分)
要使h(x)在(0,2]上单调递减,只需h(x1)-h(x2)>0恒成立. (4分)
∵x2-x1>0,0∴只需1-tx1x2>0,即t<,x1,x2∈(0,2]恒成立.(5分)
又∵>,∴t≤,∴实数t的取值范围是.(6分)
(2)解法一:由f(x)∵x∈,∴00,∴<-.(8分)
∵f(x)∴<,x∈.(9分)
∵-=-1,
∴当x=时,函数y=-取得最小值3,∴<3.(11分)
又m>0,∴m>,∴正数m的取值范围是.(12分)
解法二:由f(x)令F(x)=x2+2mx-m,则F(x)<0对任意x∈恒成立,(8分)
∴ 即解得m>.(11分)
∴正数m的取值范围是.(12分)