2022-2023学年高一年级北师大版（2019）数学必修一第四章 对数运算和对数函数[单元测试]（Word含答案）

第四章对数运算和对数函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
方程的解是（）
A. B.
C. D.
已知，则x的值为
A. B. 2 C. 3 D. 4
计算log225 log32 log59的结果为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知函数y=ax-2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P在幂函数y=f（x）的图象上，则=（　　）
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
函数f（x）=（a＞0且a≠1）且f（8）=3，则有( )
A. f（2）＞f（-2） B. f（1）＞f（2）
C. f（-3）＞f（-2） D. f（-3）＞f（-4）
若，，则
A. 11 B. 13 C. 30 D. 40
中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2（1+）．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了（　　）（lg2≈0.3010）
A. 10% B. 30% C. 60% D. 90%
已知log32=a，3b=5，则用a，b表示为（　　）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是在上单调递增
C. 是偶函数 D. 是在上单调递减
已知函数f（x）=（log3x）2-log3x2-3，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数y=f（x）的最大值为4
C. 函数y=f（x）的最小值为-4
D. 函数y=f（x）的图象与x轴有两个交点
关于函数y＝log0.4(-x2+3x+4)，下列说法正确的是 （ ）
A. 定义域为(-1，4) B. 最大值为2
C. 最小值为-2 D. 单调递增区间为
已知点在对数函数f（x）的图象上，则（　　）
A. f（0.5）＞0
B.
C. 若，则f（x）∈[-2，1]
D. 函数f（x2-2x-3）的单调递增区间为（3，+∞）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数y=（x2-2x-3）的单调减区间为 ．
函数f（x）=loga（x2-ax+12）在（2，3）单调递减，则实数a的取值范围是 .
化简的结果是
十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即ab=N b=logaN.现已知a=log26，3b=36，则= ，= .
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题12.0分)
已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，设，且，求（用表示）；
(3)在(2)的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.
(本小题12.0分)
（1）已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc；
（2）已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c．
(本小题12.0分)
已知函数f（x）=ln（2-2x）+ln（2-2-x）.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围.
(本小题12.0分)
已知：是偶函数,
（1）求的值；
（2）若方程求实数的范围.
(本小题12.0分)
设函数．
解不等式；
已知对任意的实数恒成立，是否存在实数k，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．
(本小题12.0分)
设D是函数y=f（x）定义域内的一个子集，若存在x0∈D，使得f（x0）=-x0成立，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．设函数f（x）=log（4x+a 2x-1），x∈[0，1]．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的次不动点;
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，1]上不存在次不动点，求实数a的取值范围．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】BD
13.【答案】（3，+∞）
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】1


17.【答案】解：(1)当时，,
故 ，解得,
∴不等式的解集为.
(2)当时，，
，
.
(3)在(2)的条件下，不等式化为
即在区间上有解；
令，
则，
，，
，
又是正整数，故的最大值为3.

18.【答案】解：（1）设===t，t＞0，
x=t，y=t，z=t，
++=++
=a+b+c
=abc=0，
abc==1，即abc=1.
（2） ∵3a＝5b＝c，
∴a=c，b=c，
且＋＝+=，
∴，
易知c>0，则.
19.【答案】解：（1）要使函数f（x）=ln（2-2x）+ln（2-2-x）有意义，
则，解得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1）．
（2）f（-x）=ln（2-2-x）+ln（2-2x）=f（x），所以f（x）为偶函数．
（3）若f（x）≤m恒成立，则m≥f（x）max，
f（x）=ln（2-2x）+ln（2-2-x）=ln（2-2x）（2-2-x）=ln[5-2（+2x）]，
因为-1＜x＜1，所以＜2x＜2，则2≤+2x＜，当且仅当x=0时等号成立，
所以0＜5-2（+2x）≤1，所以ln[5-2（+2x）]≤0，
所以f（x）max=0，即m≥0，
所以实数m的取值范围是[0，+∞）．
20.【答案】解：（1）函数f(x)是偶函数,
f(-x)=f(x)，
(+1)-kx=(+1)+kx，
化简得(2k+1)x=0,此式在xR上恒成立,
所以；
（2）由(1)得f(x)=(+1)-x，
方程f(x)=(-1)可化为:(+1)-x=(-1)，
化简得++1-m=0,
令=t,t>0，则+t+1-m=0，
+t+1-m=0在t>0上有解，
所以+=m在t>0上有解,
+>1,
m>1.
21.【答案】解：（1）当时，
由，得，
解得，即；
当时，
由 ，得，解得，即.
综上可知，.
（2）由于，
且恒成立，可知为增函数.
，
即，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，设
在上单调递增，
则，即.
又由于时，恒成立，
解得:，
综上，.

22.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=，
依题得=-x，∴4x+2x-1=,
∴4x+2x-1=2x，∴4x=1，∴x=0，
∴函数f（x）的次不动点为0；
（Ⅱ）根据已知，得log（4x+a 2x-1）=-x在[0，1]上无解，
∴4x+a 2x-1=2x在[0，1]上无解，
令2x=t，t∈[1，2]，∴t2+（a-1）t-1=0在区间[1，2]上无解，
∴a=1-t+在区间[1，2]上无解，
设g（t）=1-t+，∴g（t）在区间[1，2]上单调递减，
故g（t）∈[-，1]，
∴a＜-或a＞1，
又∵4x+a 2x-1＞0在[0，1]上恒成立，
∴a＞在[0，1]上恒成立，即a＞在[1，2]上恒成立，
设h（t）=-t，∴h（t）在区间[1，2]上单调递减，
故h（t）∈[-，0]，
∴a＞0，
综上实数a的取值范围（1，+∞）．
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