2022-2023学年北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 同步练习（word版 含解析）

北师大版八上 1.1 探索勾股定理
一、选择题（共15小题）
1. 若一直角三角形的两边长分别是 ，，则第三边长为
A. B. C. 或 D.
2. 在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的 个红球和 个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是
A. B. C. D.
3. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 和 ．按照输油中心 到三条支路的距离相等来连接管道，则 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 为视点）是
A. B. C. D.
4. 如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为 ，点 ，， 都在格点上，若 是 的高，则 的长为
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是
A. 若 ，， 是 的三边，则 ；
B. 若 ，， 是 的三边，则 ；
C. 若 ，， 是 的三边，，则 ；
D. 若 ，， 是 的三边，，则
6. 若正方形的外接圆半径为 ，则其边长为
A. B. C. D.
7. 直角三角形的三边长分别为 ，，，则 的值有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8. 设 ， 是某直角三角形的两条直角边的长，若该三角形的周长为 ，斜边长为 ，则 的值是
A. B. C. D.
9. 下图是由四个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中 ，，连接 ，则 的长是
A. B. C. D.
10. 若直角三角形的两边长分别为 ，，且满足 ，则该直角三角形的第三边长的平方为
A. B. C. 或 D. 或
11. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 ，，连接 ，则 的值是
A. B. C. D.
12. 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边的长为 ，较短直角边的长为 ，大正方形的面积为 ，小正方形的面积为 ，则 可以表示为
A. B. C. D.
13. 有一个面积为 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
A. B. C. D.
14. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（ 和 ），门边缘 ， 两点到门槛 的距离为 尺（ 尺 寸），双门间的缝隙 为 寸，那么门的宽度（两扇门的和） 为（ 寸 厘米）
A. 寸 B. 存 C. 寸 D. 寸
15. 大于 的正整数 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，．若 “分裂”后，其中有一个奇数是 ，则 的值是
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题）
16. 在 中， 于 ，，，，则 ．
17. 如图，已知 ，且 ，，，则 的长是 ．
18. 如图，在 中，，分别以 ，， 为边向外作正方形，面积分别记为 ，，，若 ，，则 ．
19. 如图，在 中，已知 ，，垂足为 ，．若 是 的中点，则 ．
20. 如图所示， 中，，，， 为斜边 上一点，连接 ，若 ，则线段 的长为 ．
21. 如图，在 中，，点 是 上一点，，若 ，，则 ．
22. 如图，在 中，，点 在 上，且 ，若 ，则 ．
三、解答题（共5小题）
23. 如图，在 中，．
（1）如图①，若 ，，垂足分别为 ，，请你说明 ；
（2）如图②，若 是 上一点（， 除外），，，垂足分别为 ，，请问： 成立吗 并说明理由；
（3）如图③，若（）中 ， 不垂直于 ，，要使 ，需添加什么条件 并在你添加的条件下说明 ．
24. 如图，在 中，，， 与 的和为 ，求 的长．
25. 如图，在 中，，，，，垂足为点 ．
（1）求 ， 的长．
（2）求 的面积．
26. 已知：如图，在平行四边形 中，，点 在 的延长线上，且 ．若 ，，求平行四边形 的周长．
27. 如图，将边长为 与 、对角线长为 的长方形纸片 ，绕点 顺时针旋转 得到长方形 ，连接 ．通过用不同方法计算梯形 的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．
答案
1. C
2. D
3. C
4. D
5. D
6. B
7. B
【解析】当 为斜边长时，；当 为斜边长时，，故 的值有 个．
8. D
【解析】 直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，
，
，
又由勾股定理得 ，
，
，
故选D．
9. C
【解析】由题意知 ，
，
，同理，，
，
，
，故选C．
10. C
【解析】因为 ，
所以 ，，
所以 ，，
所以直角三角形的第三边长的平方为 或 ，
所以直角三角形的第三边长的平方为 或 ．
11. C
【解析】因为 ，，
所以小正方形的边长 ，
所以 ．
12. C
【解析】设直角三角形的斜边长为 ，
则大正方形的面积 ，
小正方形的面积 ，
，
即 ，
．
故选C．
13. D 【解析】设正方形 ，， 围成的直角三角形的三条边长分别是 ，，．
如图，
根据勾股定理，得 ，
一次“生长”后，．
第二次“生长”后，，
推而广之，“生长”了 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
14. B
【解析】设 寸，
如图，过 作 于点 ，
则 寸， 寸， 寸，
在 中，，即 ，解得 ．
故门的宽度（两扇门的和） 为 寸．
15. C
【解析】 ，，，
分裂后的第一个数是 ，共有 个奇数，
，，
奇数 是底数为 的数的立方分裂后的一个奇数，
．
16.
17.
18.
【解析】 中，，
，
．
，，，
．
19.
【解析】设 ，，
，
，
，
在 中，，
，
在 中，，
．
20. 或
【解析】因为 ，，，
所以 ，即 ．
如图所示，过 作 于 ，
则 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
即 ．
所以 或 ．
故答案为 或 ．
21.
【解析】设 ，则 ．
因为 ，
所以 ．
在 中，，
在 中，，
所以 ，
解得 ，即 ．
22.
【解析】设 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）．
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
23. （1） ，，
，
在 和 中，
，
．
（2） 成立．
理由如下：
，，
，
在 和 中，
，
．
（3） （答案不唯一）添加 ，
理由如下：在 和 中，
，
．
24. 设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，
解得 ，
所以 的长为 ．
25. （1） 设 ，则 ．
，
．
在 中，由勾股定理，得 ，
，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
，
解得 ，即 ，
．
（2） 在 中，由勾股定理，得 ，
．
26. 因为 ，，，
所以 ．
因为四边形 是平行四边形，
所以 ，．
所以平行四边形 的周长是 ．
27. ．
，
．
，
．即 ．
，
．
．
．
．