2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第四章章末检测A（含答案）

一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（ ）
参考数据：
A． B． C． D．
4．函数是（，且）的反函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
7．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有以下四个结论，其中正确的有（ ）
A．lg（lg 10）=0 B．lg（ln e）=0
C．若e=ln x，则x=e2 D．ln（lg 1）=0
10．（多选）有以下四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
11．已知函数的两个零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的图象关于轴对称
C．函数在定义域上有最小值0
D．函数在区间上是减函数
三、填空题
13．函数的定义域是____________．
14．已知函数，若的四个根为，且,则________．
15．已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是_____________．
16．若函数在上为减函数，则a取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数f(x)＝，g(x)＝(a>0，且a≠1).
(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.
18．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数，若关于的方程在有解，求的取值范围.
19．（1）计算：；
（2）设，求的值．
20．求下列各式的值
（1）；
（2）.
21．已知函数=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
22．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用对数的运算法则求解.
【详解】.
故选：C.
2．D
【分析】利用分段的方法，得到，由此确定正确选项.
【详解】因为，所以.
故选:D
3．C
【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.
【详解】，令，两边同时取常用对数得，
∴，∴，结合选项知与最接近的数为.
故选:C
4．B
【分析】先求出反函数，再验证每一个选项即可.
【详解】∵函数是（，且）的反函数，
∴（，且），∴，故A不正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：B.
5．C
【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较a，b，c的大小．
【详解】，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
7．C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
8．D
【分析】设，确定的定义域、单调性和奇偶性，利用奇偶性将不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可.
【详解】设，
因为对任意的恒成立，故的定义域为R，
又
是定义在R上的奇函数，
又均在R上单调递增，
又对于函数，
当时，明显为单调递增函数，
当时，，由于在上单调递减，故为单调递增函数，
又函数为连续函数，故函数在R上单调递增，
在R上单调递增.
由，
可得，
即，
从而，
解得.
故选：D.
9．AB
【分析】利用对数的概念逐个分析判断即可
【详解】解：lg(lg 10)=lg 1=0，lg(ln e)=lg 1=0，所以A，B均正确；
C中若e=ln x，则x=ee，故C错误；
D中lg 1=0，而ln 0没有意义，故D错误.
故选：AB
【点睛】此题考查对数的概念的运用，属于基础题.
10．AB
【分析】利用对数的恒等式与对数式与指数式的互化可判断出各等式的正误.
【详解】因为 ，，，所以①②均正确；③中若，则 ，故③错误；④中，而没有意义，故④错误.
故选AB.
【点睛】本题考查对数式正误的判断，解题时要熟悉对数恒等式的应用，同时也要掌握对数式与指数式的互化，考查计算能力，属于基础题.
11．ABD
【分析】函数即为函数函数，，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A；
根据，化简整理即可判断B；
结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C；
利用整体代换结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：令，则，
令，，
则函数的两个零点为，即为函数，交点的横坐标，作图如下图所示：
故，故A正确；
根据题意得，即，
因为，所以，
故，即，
所以，即，
所以，故B正确；
因为，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，
又因，所以，故C错误；
，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：ABD.
12．AB
【解析】求出函数和的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
由且得，故A对；
由得函数是偶函数，其图象关于轴对称，B对；
∵，∴，
∵在上单调递减，由复合函数的单调性可知，当时，函数在上单调递增，有最小值；当时，函数在上单调递减，无最小值；故 C错；
∵，
当时，在上单调递减，在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增；故D错；
故选：AB．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13．
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
【详解】由题意得，
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．2
【分析】由，根据指对互换原则，可解得的值，代入即可求解.
【详解】因为，所以，所以或，所以或.解得，，，，所以，所以，故答案为2.
【点睛】本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题
15．6
【分析】设，根据已知条件求得的值，求得表达式，构造函数，判断的奇偶性，由此求得的最大值与最小值之和.
【详解】设，依题意，所以，
.
，
构造函数，
，
所以为奇函数，图象关于原点对称，在区间上的最大值和最小值的和为.
所以在区间上的最大值和最小值的和为.
故答案为：
16．
【分析】令，且 ，，由是增函数且恒成立，列出关于的不等式组并解之即可.
【详解】令，且 ，，
因为函数在上是减函数且在上是减函数，
所以是增函数且恒成立，
即，解之得的取值范围是.
故答案为：.
17．（1）.（2）见解析.
【分析】(1) 函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为f(x)＝和 g(x)＝定义域的交集，列出方程组求解即可. (2) f(x)≤g(x)，即为，对，两种情况分类讨论，即可求出x的取值范围.
【详解】解：(1)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为：，解得：，所以定义域为.
(2) f(x)≤g(x)，即为，定义域为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
当时，，解得：，所以x的取值范围为.
综上可得：当时，x的取值范围为.
当时，x的取值范围为.
【点睛】本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，考查分类讨论的思想，属于基础题.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）由可得，从而可求出不等式的解集，
（2）由，得，再由可得的范围，从而可求出的取值范围
【详解】（1）原不等式可化为，即，
所以原不等式的解集为
（2）由，
∴，
当时，，，
19．（1）4；（2）2．
【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；
（2）通过换底公式可得，，进而可得解.
【详解】（1）原式．
（2）∵，
∴．同理可得，，
则，，
∴．
∴．
20．（1）2；（2）10.
【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）按照对数的运算法则进行对数的运算即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
【点睛】本题主要考查了分数指数幂和对数的运算，考查了对数的换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.
（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】（1），，则，.
当时，，所以；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（2）要使在上有意义，则，解得.
由，即，又，
∴，即，得.
令，，记，对称轴，
∴，故.
综上，.
22．（1），；（2）.
【分析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
（2）由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
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