2023届高三数学简易教学小专题学案之导数（求某点处切线）（含解析）

《导数》专题6-1 求某点处切线
（6套，6页，含答案）
知识点：
求某点处切线: 求某点的切线步骤： （1）求出该点处的导数，即为切线斜率； （2）求出该点坐标 （3）代入点斜式方程； （4）整理式子即可。 注意：在某点处的切线方程与过某点的切线方程是两个不同的概念。在某点处的切线方程只有一条，过某点的切线方程有可能多条。如图所示： 如上图：点P处的切线（只有一条） 如上图：过P处的切线（2条或更多）
典型例题：
（2022年广州一模J02）曲线点处的切线方程为（ [endnoteRef:0] ）
A、 B、 C、 D、
[0: 答案：A；]
如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．[endnoteRef:1] [1: 答案：解：切线与直线平行， 斜率为4
又切线在点的斜率为 ， ∵ ∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或，即或]
曲线在点(1, ln2)处的切线方程为[endnoteRef:2] ． [2: 答案：；
【解析】由所求切线斜率，得曲线在点(1, ln2)
处的切线方程为，即.
]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:3] ． [3: 答案：；]
随堂练习：
曲线在点处的切线方程为 [endnoteRef:4]. [4: 答案：；]
曲线在点（1，2）处的切线方程为[endnoteRef:5]_________________. [5: 答案：；]
若曲线的一条切线m与直线 x+ 4y－8=0 垂直，则m的方程为（ [endnoteRef:6] ）
A. 4x－y－3=0 B. x+ 4y－5=0 C. 4x－y + 3=0 D. x + 4y + 3=0 [6: 答案：A；]
函数在点处的切线方程是[endnoteRef:7]___________． [7: 答案：；]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:8] ． [8: 答案：；]
《导数》专题6-2 求某点处切线
（2022年广东执信月考J27）已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（[endnoteRef:9]　　） A． B．或 C． D． [9: 【答案】C
【分析】求出曲线在点处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去，利用判别式为零可求的值.
【详解】，当时，切线的斜率，
切线方程为，因为它与抛物线相切，
有唯一解即
故 ，解得，故选C.
【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线在处的切线方程为.
]
已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为____[endnoteRef:10]____． [10: 答案：4x－y－1＝0
[解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2
∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2
∴＝4＋Δx.∴li ＝4.即f′(2)＝4.
又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－7＝4(x－2)
即4x－y－1＝0.
]
曲线在处的切线方程为[endnoteRef:11] ．
[11: 答案：；]
若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为_____[endnoteRef:12]___． [12: 答案：y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)
[解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．
∵f′(x)＝li ＝li ＝1＋.
∴切线的斜率k＝1＋＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．
]
曲线在处的切线方程为[endnoteRef:13]_______． [13: 答案：；
【解析】由，得， ，切线的斜率
为，故切线方程为.]
设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则[endnoteRef:14]（ ）
A．1 B． C． D． [14: 答案：A]
直线l与曲线y＝x2＋ln x在点(1，1)的切线垂直，则l的方程为(　[endnoteRef:15]　)
A．3x－y－2＝0 B．x－3y＋2＝0 C．3x＋y－4＝0 D．x＋3y－4＝0 [15: 答案：D；
　由y＝x2＋ln x，得y′＝2x＋，
∴y＝x2＋ln x在点(1，1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝2＋1＝3，
∴直线l的斜率为k′＝－，∴l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋3y－4＝0.]
函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( [endnoteRef:16] ) A. B. C. D.1 [16: 答案：B]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:17] ． [17: 答案：；]
（2022年福建漳州一中J21）曲线在点处的切线方程为_[endnoteRef:18]__________.
[18: 【答案】
【分析】结合导数，利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】，又，
所以在处的切线方程为，化简得.
故答案为：
]
《导数》专题6-3 求某点处切线
（2022年广东开平J33，单选7）若函数的图象在点处的切线方程为，则=( [endnoteRef:19] ) A．1 B．-1 C．0 D．2
[19: 答案：A；]
（2022年广东潮州三模J08）设曲线 在点处的切线方程[endnoteRef:20]____________.
[20: 【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，得到函数在处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．
【详解】由题意，函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为，即切线的斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，即为，即．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
]
曲线在处的切线方程为（ [endnoteRef:21] ）
A. B. C. D. [21: 答案：B]
曲线上的点P(0,0)的切线方程为(　[endnoteRef:22]　)
A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在 [22: 答案：B
[解析]　∵y＝
∴Δy＝－＝＝
∴＝
∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.
]
函数 f (x) ＝ln x在点(1，f (1))处的切线方程是____[endnoteRef:23]_______.
[23: 答案：； ]
曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ [endnoteRef:24] ）
A． B． C．和 D．
[24: 答案：C；
]
若曲线y=a（x－1）－lnx在x=2处的切线垂直于直线y=－2x+2，则a=（　[endnoteRef:25]　）
A．4 B．3 C．2 D．1
[25: 答案：D；
【解答】解：由y=a（x－1）－lnx，求导得f′（x）=a－，
依题意曲线y=a（x－1）－lnx在x=2处的切线垂直于直线y=－2x+2，
得，a－，即a=1．
故选：D．
]
已知为自然对数的底数），若在处的切线过点，求实数的值；（[endnoteRef:26]）
[26: 答案：（1）;（2）；
【解析】（1）∵，∴．，
∴在处的切线方程为，
∵切线过点，∴，∴．
（2）由，可得，（*）
令，，
∴，且，，
∴存在,使得，
当时，；当时，．
①当时，，，
此时，对于任意（*）式恒成立；
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值．
∵与同号，
对成立，
∴函数在上为增函数，而，
∴时，，∴，
∴函数在上为减函数，∴，∴．
③当时，，
由，得，
由②可知函数在上为减函数，
当时，，∴，
综上，．
]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:27] ． [27: 答案：；]
《导数》专题6-4 求某点处切线
（2022年广东六校联考J34）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为________[endnoteRef:28]_______. [28: 【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，求出函数在 时的解析式，
求导，用点斜式直线方程即可.
【详解】由题意时， ，是奇函数，
时， ，
， ，
由点斜式直线方程得 ，整理得 ；
故答案为： .
]
（2022年广东茂名J03）曲线在点处的切线方程为 [endnoteRef:29] ．
[29: 【答案】
【解答】解：由得，
则曲线在处的切线斜率为，，
因此所求切线方程为，即．
故答案为．
]
曲线在点（1,0）处的切线方程为：[endnoteRef:30] [30: 答案：]
求曲线y＝－上一点P处的切线方程．[endnoteRef:31] [31: 答案：[解析]　∴y′＝ ＝
＝ ＝－－ .
∴y′|x＝4＝－－＝－，∴曲线在点P处的切线方程为：y＋＝－(x－4)．
即5x＋16y＋8＝0.
]
函数的图象在点处的切线方程是　[endnoteRef:32]　　
[32: 答案：；]
与直线的平行的抛物线的切线方程是 （ [endnoteRef:33] ）
A． B． C． D． [33: 答案：D]
已知函数f(x)=2x-aln x,且f(x)在x=1处的切线与直线x+y+1=0垂直，则.a的值为[endnoteRef:34]　　。
[34: 答案：1；]
已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为([endnoteRef:35] )
A.1 B.2 C.-1 D.-2 [35: 答案：B
解:设切点，则,又
.故答案 选B
]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:36] ． [36: 答案：；]
《导数》专题6-5 求某点处切线
（2022年广东佛山一中J29）曲线在点处的切线方程为[endnoteRef:37]__________．
[37: 答案：]
（2022年山东淄博J19）函数在点处的切线方程是[endnoteRef:38]______．
[38: 【答案】
【解析】
【分析】求出切点，利用导函数求得切线斜率，即可得到答案.
【详解】由题，，则，
因为，
所以切线方程为，
故答案为：
]
曲线在点处的切线方程是[endnoteRef:39] ． [39: 答案： ]
设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ [endnoteRef:40] ） A． B． C． D．
[40: 答案：D
解答：
∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.
]
曲线在点处的切线方程为[endnoteRef:41] .
[41: 答案：； ]
过曲线上一点处的切线平行于直线，则点的一个坐标是（ [endnoteRef:42] ）
A．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) [42: 答案：C；]
若曲线的一条切线与直线垂直，则切线L的方程为（ [endnoteRef:43] ）．
A、　 B、 C、 D、 [43: 答案：A]
已知函数在点处的切线过点．求实数的值，并求出函数单调区间；（[endnoteRef:44]） [44: 答案：(1)的定义域为，，∴处的切线斜率为
因此切线方程为，即....2分
又∵切线过，代入上式解得，∴
可得在单调递减，在单调递增． …………....4分
（2）∵时，，∴等价于
记，∴ ....6分
记，有，∴在单调递增....7分
∴，由于，，可得
因此，故
又
由零点存在定理可知，存在，使得，即① ……....9分
且时，，时，
故时，单调递减，时，单调递增
∴
由①可得 ………....11分
故的最大值为7． ….…………....12分
]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:45] ． [45: 答案：；]
《导数》专题6-6 求某点处切线
（2022年广东顺德三模J12）曲线在点处的切线方程为_[endnoteRef:46]________
[46: 【答案】
【解析】
【详解】试题分析： ,则切线的斜率为 ，则切线方程为 即 .
考点：导数求切线的斜率.
]
（2022年山东菏泽一模J37）曲线在点处的切线方程为[endnoteRef:47]______．
[47: 【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解
【详解】由，得，
所以切线的斜率为，
所以所求的切线方程为，即，
故答案为:
]
曲线在点（－1，－3）处的切线方程是（[endnoteRef:48] ）
（A）　（B）　（C）　（D） [48: 答案：D]
曲线在点处的切线方程为________[endnoteRef:49]_________ [49: 答案：x+y-6=0；]
曲线在点处的切线方程为 ([endnoteRef:50] )
A. B. C. D. [50: 答案： B解 ,
故切线方程为,即 故选B. ]
若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是[endnoteRef:51]________． [51: 答案：(2,4)
[解析]　设切点坐标为(x0，x)，
因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．
]
设曲线在点处的切线与直线垂直，则（[endnoteRef:52] ）
A．2 B． C． D． [52: 答案：D]
已知函数.若函数在处的切线L过原点，求的值及切线L的方程；（[endnoteRef:53]） [53: 答案：解：(Ⅰ) 因为，所以
所以，，
所以切线的斜率，即，所以
所以切线的斜率，由切线过原点得其方程为.
(Ⅱ)当时，，，
令，则是单调递减函数，
因为，，
所以在上存在，使得，即
所以当时，，时，，
即当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值是.
因为，所以
因为，所以，所以，
所以若存在，使得，则，故整数的最大值为2.
]
曲线在处的切线方程是[endnoteRef:54] ． [54: 答案：；]