2023届高三数学简易教学小专题学案之 立体几何（ 最短路径）（含解析）

《立体几何》专题11-1 最短路径
（5套6页含答案）
知识点：
最短路径： 把几何体各面摊开，两点之间线段最短，所以，直接连接相关两点即可。 点线之间，垂线段最短，所以，要求点线距离最值，作垂线即可。
典型例题：
（多选改编，2022年广东梅州二模J20）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），的最小值（ [endnoteRef:0] ）
[0: ；
【分析】当时，取得最小值，
由B得，此时，则，，
所以，
即的最小值为；
]
如图，长方体中，交于顶点的三条棱长分别为，，，则从点沿表面到的最短距离为（　[endnoteRef:1]　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
[1: 答案：B；]
在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为___[endnoteRef:2]__．
[2: 答案：；]
（多选改编，2022年福建德化一中J37）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，， 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为（ [endnoteRef:3] ）
[3: ；
【解析】
【分析】把棱锥的两个面和摊平，利用平面上的性质求的最小值判断D．
【详解】时，把和摊平，如图，
的最小值是，此时，，，，
．
]
随堂练习：
（多选改编，2022年湖南怀化一模J57）如下图，边长为2的正方体中，M为上的动点，平面，N为中点，当的和最小时，MC长度为（ [endnoteRef:4]）
[4:
【分析】将矩形与矩形延展为一个平面，利用、、三点共线得知最短，利用平行线分线段成比例定理求得，可判断D选项的正误.
将矩形与矩形延展一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，
，所以，点不是棱的中点，D选项错误.]
（2022年广东佛山J11，单选7）长方体中，，E为棱上的动点，平面交棱于F，则四边形的周长的最小值为（ [endnoteRef:5] ）
A. B. C. D. [5: 【答案】B
【解析】
【分析】将几何体展开，利用两点之间直线段最短即可求得截面最短周长．
【详解】解：将长方体展开，如图所示：
当点为与的交点，为与的交点时，截面四边形的周长最小，
最小值为．
故选：B．
]
（多选改编，2022年广东天河J15）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且， 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为（ [endnoteRef:6] ）
[6: ；
【详解】
将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，
由可得，则，，又，则，
即点到的中点所经过的最短路程为.
]
如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[endnoteRef:7]
[7: 答案：2；
解　把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝＝＝2，
即蚂蚁爬行的最短距离为2．
]
直棱柱中，AB⊥AP，AP＝2，AB＝AA1＝4，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为（[endnoteRef:8] ）
A． B． C． D．
[8: 答案：B；
]
《立体几何》专题11-2 最短路径
（多选改编，2022年广东华附三模J16）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面圆直径为，A，B，C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，当AB为直径且C为弧AB的中点时，的最小值为（ [endnoteRef:9] ）
[9: ；
由题意可得△PAC和△PBC全等，在△PAC中，，，所以，进而，记PC边上的高为h（垂足为Q），则，所以，当M与Q重合时取等号。
]
（多选改编，2022年广东肇庆J36）已知正方体的棱长为1，点P是线段上（不含端点）的任意一点，点E是线段的中点，点F是平面ABCD内一点，的最小值是（ [endnoteRef:10] ）
[10: ]
有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．([endnoteRef:11]) [11: 答案：5π cm；
解　把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图所示)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．
AC＝＝5π cm，
故铁丝的最短长度为5π cm.
]
长方体ABCD—A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，求其路程的最小值．（[endnoteRef:12]） [12: 答案：解　把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.
由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为.
]
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ ，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是______[endnoteRef:13]_____．
[13: 答案：5 ；
解析　
将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．
连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，
∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7．
∴A1C＝＝＝5 ．
]
（多选）在棱长为1的正方体中，点M在棱上，则下列结论正确的是（ [endnoteRef:14] ）
A. 直线BM与平面平行 B. 平面截正方体所得的截面为三角形
C. 异面直线与所成的角为 D. 的最小值为 [14: 答案：ACD；]
《立体几何》专题11-3 最短路径
（多选改编，2022年江苏南京J09）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是 上的一个动点， 的最小值为（ [endnoteRef:15] ）
[15: ；
【详解】对于B,以为坐标原点建系，以 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则,设,
,
表示平面上之间的距离，
表示平面上之间的距离，
错；
]
（2022年湖北武汉J01，填空4）三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为___________；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为[endnoteRef:16]___________.
[16: 【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】取中点，连接，通过得出平面可求出到平面的距离，以为原点建立空间直角坐标系设，利用向量关系表示出，求导可求出最小值.
【详解】取中点，连接，
因，，所以，且，
因为是等腰直角三角形，所以，且，
又，满足，所以，
因为，所以平面，
因为点为棱的中点，所以到平面的距离为；
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设,
则，
则，
设，则可得，
则，则，
所以，
所以,
所以,
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
则，
所以，
所以，令，解得，
又，所以在单调递增，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：；.
]
三棱柱ABC－A′B′C′的底面是边长为1cm 的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为 [endnoteRef:17] cm [17: 答案：5；]
如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．（[endnoteRef:18]）
[18: 答案： cm；
[解析]　将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为 cm(如图乙所示)．
]
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．[endnoteRef:19]
[19: 答案：50 cm；
解　作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10 cm.扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80π cm.所以扇形弧的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，
所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.
]
如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 [endnoteRef:20] ．
[20: 答案：10；]
《立体几何》专题11-4 最短路径
（2022年山东历城二中J01，填空4）如图，在长方体中，，，E为线段的中点，F是棱上的动点，若点P为线段上的动点，则的最小值为[endnoteRef:21]______．
[21: 【16题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】连接，得出点、、在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，求出点关于直线的对称点的坐标，则答案可求．
【详解】连接，则，点、、在平面中，
且，，，
如图1所示；在△中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
如图2所示，则，，；
设点关于直线的对称点为，
的方程为，①
，直线的方程为，②
由①②组成方程组，解得，，
直线与的交点，．
对称点，
．
则的最小值为2．
故答案为：2．
]
（2022年湖南师大附中J15，填空4）在侧棱长为2的正三棱锥中，，，两两垂直， 分别为 的中点，则三棱锥的外接球的表面积为___________，若为上的动点，是平面上的动点，则的最小值是[endnoteRef:22]___________.
[22: 【答案】
【分析】由三角形ADC与AEC为直角三角形，可得斜边AC中点M即为三棱锥的外接球球心，从而即可求解；当最小时，平面，则Q在线段DG上，将三角形沿翻折，使之与三角形共面，从而即可计算最短距离.
【详解】解：因为DA ，DB，DC两两垂直，，
所以，因为M，E分别为AC、AB的中点，
所以，
所以，故M为三棱锥的外接球球心，
所以三棱锥的外接球的表面积；
在正三棱锥中，E为AB中点，
，平面，
设CE中点为G，连接，
为AC中点，且M G=A E=，
平面，
∴即为在平面上的射影，
当最小时，平面，故Q在线段DG上.
如图，将三角形沿翻折，使之与三角形共面，
此时，的最小值，即为点到的距离，
过点作于点，
又，
，
，
，
故答案为：.
]
边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（ [endnoteRef:23] ）
A．10cm B．5cm C．5cm D．cm [23: 答案：D；]
如图，在三棱柱中，底面，∠ACB=90°，为上的动点，则的最小值为（ [endnoteRef:24] ） A. B． C．5 D． [24: 答案：C；
由题设知△为等腰直角三角形，又平面，
故∠=90°，将二面角沿展开成平面图形，
得四边形如图示，由此，要取得最小值，
当且仅当三点共线，由题设知∠,
由余弦定理得.]
某圆柱的高为2，底面周长为16，A点在左侧上方，B点在下面中间圆周上，则在此圆柱侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（[endnoteRef:25]　　）
A． B． C．3 D．2
[25: 答案：B；
【解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，
直观图以及侧面展开图如图：
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．
故选：B．]
在三棱锥P－ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，若点D，E分别在棱PB，PC上移动（都不含端点），则AD＋DE＋EA的最小值为[endnoteRef:26]
[26: 答案：；]
《立体几何》专题11-5 最短路径
（多选改编，2022年江苏常州J59）棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，点M，N分别为线段，的中点，的最小值为（ [endnoteRef:27] ）
[27: ；
【分析】结合C可判断D.
选项D，
，当时，的最小值为.]
（多选改编，2022年湖北考协J49）如图，直三棱柱中，平面平面，D F分别是 的中点，点E为上动点，若，，则与长度之和最小值为（ [endnoteRef:28] ）
[28: ；
【详解】若，与长度和最小时，可展开平面（如图），
当平面与平面共面，且三点共线时，长度和最小.
如图，不难知，.
由由余弦定理，，
所以，即长度之和最小值为.
]
（多选改编，2022年福建漳州一中J21）如图，已知圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2．C是圆O上异于A，B的一点，D为弦AC的中点，E为线段PB上异于P，B的点，若，则的最小值为（ [endnoteRef:29] ）
[29: ；
【详解】在三棱锥中，将侧面PBC绕PB旋转至平面，使之与平面PAB共面，如图所示，
则当A，E，共线时，取得最小值，
因为，，所以，
由余弦定理可得，即的最小值为．
]
长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离
是 [endnoteRef:30] [30: 答案：5；]
（多选4，2022年广东茂名J03）已知正方体的棱长为2，M为棱上的动点，平面，若为中点，当最小时，（ [endnoteRef:31]） [31: ；
【解答】解：对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示：
若最短，则、、三点共线，
，，，
所以，选项正确；
]
圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是[endnoteRef:32] ．
[32: 答案：；]