以解析几何中定点、定值为背景的解答题教师版 专题讲义-2023届高三数学二轮复习备考（含答案）

以解析几何中定点、定值为背景的解答题
【名师综述】
解析几何中的定值、定点、定线问题依然是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量"．一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元、点差法等基本思想方法．
【典例解剖】
类型一 定值问题
典例1．（面积定值）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1．
（1）求圆的方程；
（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；
（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
典例2．（线段比为定值）【一模青浦20】已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求△面积的最小值；
（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直
平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标.
典例3．（向量点乘为定值）已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，求证：；
（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，，求的值．
【正确答案】
【举一反三】
1、（面积为定值）（崇明20）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别是，，直线：与椭圆交于，两点.
若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；
若，且是以为直角顶点的直角三角形，求与满足的关系；
若，且，求证：的面积为定值.
2. （向量点乘为定值）已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上的点到两条渐近线的距离分别为，，求的值；
（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，求的值
类型二 定点问题
典例1．（动直线过定点）（上海宝山区一模）已知椭圆的左、右焦点为，．
（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；
（3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
典例2．（动圆过定点）（2021松江二模）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的A、B两点．
（1）若直线的方程为，求线段的长；
（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；
（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【举一反三】
1. （动圆过定点）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为.其左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线、分别与轴交于两点。试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论。
2. （动直线过定点）【2019黄埔二模20】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上一点到两焦点距离之和为8，若点是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且满足的点在轴上，求直线的方程；
（3）若直线与的斜率乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由.
3.（动圆过定点）（2019徐汇一模）已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
4. （动圆过定点）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，△的周长为8，且面积最大时，为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：
① 以为直径的圆与轴的位置关系？
② 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
类型三 定直线问题
典例1．（2019江苏如皋中学10月月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆中，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：点在一条定直线上．
典例2．【松江二模20】如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交于椭圆与两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上.
典例3．（相交弦过定直线）如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
【举一反三】
1．如图，已知是椭圆的长轴顶点，是椭圆上的两点，且满足，其中、分别为直线AP、QB的斜率．
（1）求证：直线和的交点在定直线上；
（2）求证：直线过定点；
（3）求和面积的比值．
2.（徐汇二模20）如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.
(1)求的值；
(2)若直线过点，求证：；
(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
3. （相交弦交点过定直线问题）【长宁20】已知椭圆：的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍，椭圆的上、下顶点分别为、，经过点的直线与椭圆相交于、两点（不同于、两点）.
（1）求椭圆的方程； （2）若直线，求点的坐标；
（3）设直线、相交于点，求证：是定值.
类型三 线段比例和为定值问题
典例1．已知椭圆经过点，其左焦点为，
过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，
若四边形的面积为，求直线的方程；
（3）设，求证：为定值.
典例2．【闵行15】已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交此抛物线于两点，交轴于点，若，，则（ ）
【A】 【B】 【C】 【D】
典例3．【杨浦20】已知双曲线（），经过点的直线与该双曲线交于、两点.
（1）若与轴垂直，且，求的值；
（2）若，且、的横坐标之和为，证明：；
（3）设直线与轴交于点，，，求证：为定值.
【精选名校模拟】
1．（面积比为定值）（上海崇明区一模）已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．
2．（线段平方和为定值）（上海青浦中学月考）已知椭圆：的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1，0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证：为定值．
3．（动圆过定点问题）（上海格致中学高三开学考试）已知抛物线关于轴对称，且经过点．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
4．（面积定值问题）（设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线.双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求直线的方程；
（3）设的三个顶点在曲线上，求证：当是的重心时，的面积是定值．
5.（满足一定条件的定点问题）【闵行二模20】在平面直角坐标系中，、分别为椭圆：的上、下顶点，若动直线过点，且与椭圆相交于、两个不同点（直线与轴不重合，且、两点在轴右侧，在的上方），直线与相交于点．
（1）设的两焦点为、，求的值；
（2）若，且，求点的横坐标；
（3）是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6.（线段乘积为定值）【宝山20】已知直线与椭圆相交于、两点，其中在第一 象限，是椭圆上一点.
（1）记、是椭圆 的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；
（2）若点、关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；
（3）设直线和与轴分别交于、，证明：为定值.
7. （弦长为定值）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值；
8.（相交弦过定直线）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
9.（角度为定值）如图，过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点
（1）用表示两点之间的距离
（2）证明的大小是与无关的定值，并求出这个值
10.（斜率乘积为定值过定点问题）已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
11. （线段比例和为定值）已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证为定值．
12.（线段关系为定值）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．
13. （线段关系为定值）已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为
（1）证明线段被轴平分
（2）计算的值
（3）求证
14. （角度和为定值）已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且．若椭圆,且．
（１）求此椭圆的方程；
（２）设直线和直线的倾斜角分别为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
15.（动圆过定点问题）已知椭圆的离心率为，并且直线是抛物线是抛物线的一条切线。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
16.（线段乘积为定值）如图，已知椭圆长轴长为4，高心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点。
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）探究：是否为常数？
17. （线段比例和为定值）如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设.
　　　①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
18. （、的定值关系式）已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形．
（1）当为正方形时，求该正方形的面积．
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值．
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式．
19. （两点横坐标乘积为定值）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点．
（1）试用的代数式分别表示和；
（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；
20. （两点纵坐标乘积为定值）已知圆．
（1）直线：与圆相交于、两点，求；
（2）设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
21. （横坐标之差为定值）【普陀20】已知双曲线的焦距为4，直线与交于不同的点，且时与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
22. （横坐标乘积为定值）【虹口二模20】设双曲线的左顶点为，且以点为圆心的圆（）与双曲线分别相交于点、，如图所示.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的最小值，并求出此时圆的方程；
（3）设点为双曲线上异于点、的任意一点，且直线、分别与轴相交于点、，求证：为定值（其中为坐标原点）.
23.（满足一定条件的定点问题）【嘉定二模20】已知椭圆过点,且它的一个焦点与抛物线的焦点相同。直线过点，且与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若直线的一个方向向量为，求的面积(其中为坐标原点) ;
试问:在轴上是否存在点，使得为定值 若存在，求出点的坐标和定值;若不存在，请说明理由.
24. （基地向量系数和定值）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.
25. （斜率和为定值）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.
以解析几何中定点、定值为背景的解答题
【名师综述】
解析几何中的定值、定点、定线问题依然是高考考试的重点与难点，都是探求"变中有不变的量"．一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元、点差法等基本思想方法．
【典例解剖】
类型一 定值问题
典例1．（面积定值）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1．
（1）求圆的方程；
（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；
（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，．
【详解】（1）依题意，设圆心，，解得，
所求的方程为．
（2）代入圆方程，得或，，
若过点的直线斜率不存在，此时在轴上，，射线平分，
若过点的直线斜率存在，设其方程为，联立，消去得，
设，，
，
，
，射线平分．
（3）设，
直线方程为，令，得，即，
直线方程为，令，得，即，，
，
，
四边形的面积为定值．
典例2．（线段比为定值）【一模青浦20】已知焦点在轴上的椭圆上的点到两个焦点的距离和为10，椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴垂直的直线，直线上存在、两点满足，求△面积的最小值；
（3）若与轴不垂直的直线交椭圆于、两点，交轴于定点，线段的垂直
平分线交轴于点，且为定值，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）9；（3）.
【解析】(1),点，，所以可得方程为：
设，
设直线方程为：
，中点的坐标，则直线的方程为：
，
则，当且仅当时，比值为定值，此时
典例3．（向量点乘为定值）已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过圆上任意一点做切线交双曲线于，两个不同的点，中点为，求证：；
（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是，，求的值．
【正确答案】
解：（1）设，的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在△中，，，所以
由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为：
（2）①当切线的斜率存在，设，，切线的方程为：
代入双曲线中，化简得：
所以 因为直线与圆相切，所以，代入上式，得 设点的坐标为，则，所以 即成立
②当切线的斜率不存在时，，或，
此时，，即成立
（3）由条件可知：两条渐近线分别为：； 设双曲线上的点，
则点到两条渐近线的距离分别为，
所以
因为在双曲线：上，所以
故 ；设和的夹角为，则
所以
【举一反三】
1、（面积为定值）（崇明20）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别是，，直线：与椭圆交于，两点.
若为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求的值；
若，且是以为直角顶点的直角三角形，求与满足的关系；
若，且，求证：的面积为定值.
【参考答案】（1）或；（2）且；（3）略.
【解析】由题意，为直角当椭圆焦点在轴上时，；当椭圆焦点在轴上时，；
（2）由，得：由，得：设，，则，
由题意，得
所以与满足的关系是：且
（3）由，得：设，，则由，得所以原点到直线的距离所以为定值。
2. （向量点乘为定值）已知点，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上的点到两条渐近线的距离分别为，，求的值；
（3）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，求的值
【正确答案】
解：（1）设，的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，即，所以
在△中，，，所以
由双曲线的定义可知： 故双曲线的方程为：
（2）由条件可知：两条渐近线分别为：；
设双曲线上的点，则点到两条渐近线的距离分别为，
所以 因为在双曲线：上，所以 故
（3）解一：因为为圆:上任意一点，设，
所以切线的方程为： 代入双曲线：
两边除以得
设，则是方程的两个根，由韦达定理知：，即；所以 。
类型二 定点问题
典例1．（动直线过定点）（上海宝山区一模）已知椭圆的左、右焦点为，．
（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；
（3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点．
【详解】(1)在椭圆中，，，所以，
所以，所以，
所以在抛物线中，所以，
所以以为焦点，原点为顶点的抛物线方程为：，即．
(2)设，，，
在三角形中，，
由余弦定理得：，
所以得，
得，又，
所以，
所以，
即，解得：，所以；
(3)直线的斜率显然存在，设直线的方程为：，
联立，消去并整理得：，
设，，
则，即，
，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
化简得：，
因为，所以，
所以直线 ：过定点．
典例2．（动圆过定点）（2021松江二模）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于不同的A、B两点．
（1）若直线的方程为，求线段的长；
（2）若直线经过点，点关于轴的对称点为，求证：、、三点共线；
（3）若直线经过点，抛物线上是否存在定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】设，，，．
（1）联立得． ……………………2分
由韦达定理．
易知直线经过抛物线的焦点，由准线得
． …………………4分
（2）设直线的方程为， ……………………5分
由得，……………………6分
设，，，，则，，
，， ……………………7分
所以，
所以
……9分
所以，即，，三点共线． ……………………10分
（3）假设存在定点，设，， ，………11分
设直线的方程为：
由得，△，
， ……………………13分
由以弦为直径的圆恒过点，知
得 ……………………14分
整理得
所以，
即对恒成立。
所以，即
所以存在定点，使以弦为直径的圆恒过点. ………………16分
【举一反三】
1. （动圆过定点）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为.其左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线、分别与轴交于两点。试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论。
【解析】法1：以动直线的斜率作为参量，设直线的方程为，
由可求得交点的坐标分别为
设，由三点共线得，解得；
设，同理由三点共线，得，解得;
所以以为直径的圆为，即
，令，解得，
所以为直径的圆过定点和。
方法2：以动点的坐标为参量，设，则；
由，得直线的直线方程为，
从而解得直线与轴的交点为；
同理，直线的方程为，解得。
故以为直径的圆为；
即，结合，化简得圆的方程为，令，解得；
所以为直径的圆过定点和。
2. （动直线过定点）【2019黄埔二模20】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上一点到两焦点距离之和为8，若点是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，且满足的点在轴上，求直线的方程；
（3）若直线与的斜率乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）设椭圆的方程为，
由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为． …………………4分
（2）设的斜率分别为，则由，可得， ……………5分
由可得，所以，
同理可得， …………………7分
由，可知，即，
又，可得，所以的方程为．　　 …………………10分
（3）设直线的方程为，代入椭圆的方程，
可得，
设的坐标分别为，故 　 ……………12分
由
可得， 　…………………14分
所以，又，
故，
可得为定值，故直线过定点． …………………16分
3.（动圆过定点）（2019徐汇一模）已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
【解析】（1）设，则，，
，
，仅在是，，椭圆是“圆椭圆”。
（2）设，则，
，
，关于的二次函数的对称轴为，
椭圆是“圆椭圆”，故，即
（3）法一：，椭圆，设直线方程为，联立椭圆方程得：
，解得，
不妨设，
则直线的方程为，令，得，
则，同理
于是圆方程为，
即，
令，解得，
所以圆过定点
法二：，椭圆方程：1，由题意：设，且，则，则直线
则直线，
为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且，
,
所以得定点．
4. （动圆过定点）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，△的周长为8，且面积最大时，为正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：
① 以为直径的圆与轴的位置关系？
② 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以，
，椭圆E的方程为
（2）①由，得方程
由直线与椭圆相切得
求得，，中点到轴距离
。所以圆与轴相交。
（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。由得所以，即所以定点为
类型三 定直线问题
典例1．（2019江苏如皋中学10月月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆中，两个顶点分别为，．过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：点在一条定直线上．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】(1)由椭圆两个顶点分别为，题设可知
因为，即，所以．
又因为，所以．
所以，所求的椭圆的标准方程为．
(2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为．
联立方程组，消去y得，
解得点．同理，解得点．
由M，D，N三点共线，有，化简得．
由题设可知与同号，所以．
联立方程组，解得交点．将代入点G的横坐标，
得．所以，点G恒在定直线上．
典例2．【松江二模20】如图，已知椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，求线段长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交于椭圆与两点，交圆于两点，且满足，求证：线段的中点在定直线上.
【解析】（1）在方程中，令，解得.令，解得..
椭圆方程为：.…………4分
（2）…………6分
设，，则
…8分时，；
…………10分
解法一：设
…………12分
设，代入得：
即：
代入得：
即…………14分
，
所以点在直线上 …………16分
解法二：设
…………12分
也是弦的中点，
…………14分
代入化简，得：
所以点在直线上．…………16分
典例3．（相交弦过定直线）如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影依次为点D、E。
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）（理）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
解：（1）易知
（2） 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N ,且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点
证明：设，当m变化时首先AE过定点N
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 ；同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点
【举一反三】
1．如图，已知是椭圆的长轴顶点，是椭圆上的两点，且满足，其中、分别为直线AP、QB的斜率．
（1）求证：直线和的交点在定直线上；
（2）求证：直线过定点；
（3）求和面积的比值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2．
【解析】（1）根据题意，可设直线的方程为，
直线的方程为，
则直线和的交点的横坐标满足：，即．
因此直线和的交点在定直线上．
（2）由（1），可设点的坐标为，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立方程，得消去得，
设，
则根据根与系数的关系，得，即，
代入直线的方程得，，故．
联立方程，得消去得，
设，则，即，代入直线的方程得，，故，
当，即时，直线与轴的交点为，
当，即时，
下证直线过点．
，故直线过定点．
（3）由题意知，，再结合（2）中相关结论知，
，故．
2.（2018徐汇二模20）如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.
(1)求的值；
(2)若直线过点，求证：；
(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【参考答案】(1)设，由于，
所以，
因为在椭圆上，于是，即，
所以.------------------------------------------------------------------4分
(2)设直线，，由
得，
于是，------------------------------------6分
．10分
(3)由于直线与轴的交点为，于是，
联立直线与椭圆的方程，可得
，
于是.-------------------------------------------------12分
因为直线，直线，
两式相除，可知
，
于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．16分
3. （相交弦交点过定直线问题）【长宁20】已知椭圆：的右焦点的坐标为，且长轴长为短轴长的倍，椭圆的上、下顶点分别为、，经过点的直线与椭圆相交于、两点（不同于、两点）.
（1）求椭圆的方程； （2）若直线，求点的坐标；
（3）设直线、相交于点，求证：是定值.
【答案】（1） (2) 或 (3)1
【解析】（1）由题意得 ，， ………………………………2分
解得 ，，
所以所求椭圆的方程为 . ………………………………4分
（2）由题意点的坐标为 ，设点.
因为， 所以， …………………………3分
又
解得 或 或 （舍去）
所以所求点的坐标为 或. ……………………………6分
（3）设 ，，直线的方程为.
由方程组 ，得 .
所以， ……………………2分
直线的方程为 ，得
直线的方程为 ，得 ………………4分
所以
因为，得，
所以为定值. ………………………6分
类型三 线段比例和为定值问题
典例1．已知椭圆经过点，其左焦点为，
过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，
若四边形的面积为，求直线的方程；
（3）设，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）；（3）.
典例2．【闵行15】已知抛物线的方程为，过其焦点的直线交此抛物线于两点，交轴于点，若，，则（ ）
【A】 【B】 【C】 【D】
【答案】
【解析】设
典例3．【杨浦20】已知双曲线（），经过点的直线与该双曲线交于、两点.
（1）若与轴垂直，且，求的值；
（2）若，且、的横坐标之和为，证明：；
（3）设直线与轴交于点，，，求证：为定值.
【答案】（1）（2）见解析（3）
【解析】（1）直线的方程为，双曲线关于轴对称，由题意可知两交点中在第一限象的点的坐标为，代入方程，得，即，. （4分）
（2）此时双曲线，
直线，斜率不存在时，，不符合题意； （5分）
所以直线斜率存在时，
设： ，联立，设
即， （7分）
，，
即. （10分）
（3）显然直线斜率存在，设直线：，点、点，
当时，，则，， （12分）
，，，（13分）
又点在双曲线:上，
化简得 ，同理可得， （14分）
故、是方程的两根，则为定值. （16分）
【精选名校模拟】
1．（面积比为定值）（上海崇明区一模）已知椭圆：，，分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点，的点，若的边长为4的等边三角形．
写出椭圆的标准方程；
当直线的一个方向向量是时，求以为直径的圆的标准方程；
设点R满足：，，求证：与的面积之比为定值．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【详解】
解：如图，由的边长为4的等边三角形，得，且．
椭圆的标准方程为；
解：直线的一个方向向量是，
直线所在直线的斜率，则直线的方程为，
联立，得，
解得，．
则的中点坐标为，．
则以为直径的圆的半径．
以为直径的圆的标准方程为；
证明：方法一、设，
直线的斜率为，由，得直线的斜率为．
于是直线的方程为：．
同理，的方程为：．
联立两直线方程，消去y，得．
在椭圆上，
，从而．
，
．
方法二、设直线，的斜率为k，，则直线的方程为．
由，直线的方程为，
将代入，得，
是椭圆上异于点，的点，，从而．
在椭圆上，
，从而．
，得．
，直线的方程为．
联立，解得，即．
．
2．（线段平方和为定值）（上海青浦中学月考）已知椭圆：的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1，0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上的两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证：为定值．
【答案】（1）；（2）或y=-x+1；（3）5
【详解】
(1）椭圆的左右焦点分别为，，
点在椭圆上，且，
，解得，，
椭圆的方程为．
（2）设直线l的方程为，
设，，，，
由，得，
所以，
又，，，
所以，
所以，
所以，均满足题意．
所以直线的方程为或．
（3）设直线，
联立方程组，得，
，
又直线，
同理，得，
，为定值．
3．（动圆过定点问题）（上海格致中学高三开学考试）已知抛物线关于轴对称，且经过点．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程；
（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点、，抛物线的准线分别交直线、于点和点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
【答案】（1）标准方程为，准线方程为；（2）证明见解析
【详解】（1）设抛物线C：x2＝﹣2py，经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，
可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（2）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（﹣，1），B（﹣，1），
可得AB的中点的横坐标为﹣2（）＝﹣2 ﹣2k，
即有AB为直径的圆心为（﹣2k，1），
半径为||＝2 2，
可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），
化为x2+4kx+（y﹣1）2＝4，
由x＝0，可得y＝﹣1或3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，﹣1），（0，3）．
4．（面积定值问题）（设复平面上点对应的复数（为虚数单位）满足，点的轨迹方程为曲线.双曲线:与曲线有共同焦点，倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线的交点是、，，为坐标原点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求直线的方程；
（3）设的三个顶点在曲线上，求证：当是的重心时，的面积是定值．
【解析】（1）【方法一】
由题意得点的轨迹为椭圆 ………………………2分
因为，所以，
所以点的轨迹方程为。 ………………………2分
【方法二】
由题意得……………2分
整理得 ………………………………2分
（2）【方法一】
因为与有共同焦点
所以，即 ……………………………………1分
所以双曲线的方程为
所以双曲线的渐近线方程 …………………………………1分
设直线的方程为 ……………………………………1分
联立方程
得 …………………………1分
所以
…………………………2分
即直线的方程为 ………………………1分
求出的值1分，直线方程1分，渐近线方程1方程，求出两个交点1分，
数量积2分，答案1分，
【方法二】
因为与有共同焦点
所以，即 ……………………………………1分
所以双曲线的方程为
设直线的方程为， ……………………………………………1分
联立方程得到
所以 ………………………………………2分
又因为
所以 ……………………………2分
即直线的方程为 …………………………1分
求出的值1分，直线方程1分，韦达定理2分，数量积2分，答案1分，
（3）【方法一】设,
因为为的重心
所以……………………………………1分
得 …………………………………………1分
只需一个值即可得1分
所以
………………2分
………………1分
也可由
………2分
得出重心关系式1分，夹角三角比1分，面积推导2分，结论1分
补充其他：
不妨设,
则，所以
【方法二】设、、，则
……………………………………………………………1分
，代入椭圆方程得 …………1分
所以 ………………1分
所以 ……………………………………………1分
所以 ……………………………………………1分
得出重心关系式1分，坐标关系得1分，
面积推导2分结论1分
5.（满足一定条件的定点问题）【闵行二模20】在平面直角坐标系中，、分别为椭圆：的上、下顶点，若动直线过点，且与椭圆相交于、两个不同点（直线与轴不重合，且、两点在轴右侧，在的上方），直线与相交于点．
（1）设的两焦点为、，求的值；
（2）若，且，求点的横坐标；
（3）是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】 （1）由方程知，，所以．………2分
所以． …………………………………………………………4分
（2）若，设两点的坐标为、．
因为，所以，即，，
而、均在椭圆上，
代入得解得， ……………………………6分
所以，分别代入解得：．
所以直线方程为：，直线方程为：， …………8分
联立，得．因此点的横坐标为．………………………10分
（3）假设存在这样的点，设直线的方程为，
点的坐标为、．
联立，得，
由，得，
由，可得，…………………12分
直线方程：，直线方程：，
而，，联立，消去，
得
，……………………………………14分
则，因此，存在点，使得点的纵坐标恒为． ………16分
6.（线段乘积为定值）【宝山20】已知直线与椭圆相交于、两点，其中在第一 象限，是椭圆上一点.
（1）记、是椭圆 的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；
（2）若点、关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；
（3）设直线和与轴分别交于、，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）设，易知：、、
由题意，（正值为增根）
（2）设、，
；
；
（3）设、、
，
同理可得；
7. （弦长为定值）以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．
（1）求椭圆及其“准圆”的方程；
（2）若椭圆的“准圆”的一条弦与椭圆交于、两点，试证明：当时，弦的长为定值；
解：（1）设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为
证明：（2）①当弦轴时，交点关于轴对称，又则，
可设，得，此时原点到弦的距离；
②当弦不垂直于轴时，设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组 代入消元得：
由可得由得即 ， 所以此时成立，则原点到弦的距离综上得原点到弦的距离为，则，因此弦的长为定值．
8.（相交弦过定直线）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
【解】 （1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
解得. ∴椭圆的方程
（2），设边上的高为
当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，
所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
得．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
，
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上． （16分）
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上．
9.（角度为定值）如图，过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于两点
（1）用表示两点之间的距离
（2）证明的大小是与无关的定值，并求出这个值
【答案】焦点，过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线方程为，由
（2）
所以的大小是与无关的定值，
10.（斜率乘积为定值过定点问题）已知点是平面上一动点，且满足
（1）求点的轨迹对应的方程；
（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设 （5分）
（6分）
（9分）
（11分）
（13分）
） (15分)
11. （线段比例和为定值）已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．
（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求的面积范围；
（Ⅲ）设，，求证为定值．
解：（Ⅰ）由题知点的坐标分别为，，于是直线的斜率为， 所以直线的方程为，即为．
（Ⅱ）设两点的坐标分别为，由得，
所以，．于是．
点到直线的距离，所以.
因为且，于是，所以的面积范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得
，，
于是，（）.所以．
所以为定值．
12.（线段关系为定值）设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．
解：椭圆的顶点为，即，，所以，椭圆的标准方程为
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意。
②设存在直线为，且，.
由得，
，，
=
所以，故直线的方程为或 7分
（3）设,
由（2）可得： |MN|=
=
由消去y，并整理得： ，
|AB|=， ∴ 为定值
13. （线段关系为定值）已知抛物线的焦点为是抛物线上的两动点，且过两点分别作抛物线的切线，设其交点为
（1）证明线段被轴平分
（2）计算的值
（3）求证
解：（1）设由得
直线的方程为：;直线的方程为：
解方程组得
由已知，三点共线，设直线的方程为：
与抛物线方程联立消可得：
所以点的纵坐标为-2，所以线段中点的纵坐标O 即线段被轴平分。
（2）=0
而 所以在直角中，
由影射定理即得
14. （角度和为定值）已知是椭圆的顶点（如图）,直线与椭圆交于异于顶点的两点,且．若椭圆,且．
（１）求此椭圆的方程；
（２）设直线和直线的倾斜角分别为．试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
解：（１）由已知可得，所以椭圆方程为．
（２）是定值．理由如下：
由（１），A2（2，0），B（0，1），且//A2B，所以直线的斜率．
设直线的方程为,，
即，且 ．
． 又因为，
＝
．
又 是定值．
15.（动圆过定点问题）已知椭圆的离心率为，并且直线是抛物线是抛物线的一条切线。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
（I）由
因直线相切
，故所求椭圆方程为 （II） 当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：,由
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.
16.（线段乘积为定值）如图，已知椭圆长轴长为4，高心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点。
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）探究：是否为常数？
解：（I）由题意得
解得 所以椭圆方程为
（Ⅱ）直线方程为，则的坐标为
设则，
直线方程为令，得的横坐标为
①
又得得，
代入①得，
得， 为常数4
17. （线段比例和为定值）如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有AF1：AF2＝3：1.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设.
　　　①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；
②当A点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由.
解（Ⅰ）设，则.由题设及椭圆定义得
，消去得，所以离心率.
(Ⅱ)解法一： 由(1)知，，所以椭圆方程可化为 .
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.
由得　，解得，
∴　点的坐标为.
又，所以，，所以，.
②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
证明　设，，则.
若为椭圆的长轴端点，则或，
所以.
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以.
又直线的方程为，所以由得
. ，
∴.
由韦达定理得　，所以.　同理.
∴.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
解法二：设，，则
∵，∴；
又①，②，将、代入②得：
即③；
③①得：；
同理：由得，∴，∴.
18. （、的定值关系式）已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形．
（1）当为正方形时，求该正方形的面积．
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值．
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式．
[解]（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和．（1分）
点、的坐标、为方程组的实数解，将代入椭圆方程，
解得．根据对称性，可得正方形的面积．（4分）
（2）由题设，不妨设直线的方程为（），于是直线的方程为．
设，于是有，又，，（6分），将代入上式，
得，（8分）
对于任意，上式为定值，必有，即，（9分）
因此，直线和的斜率分别为和，此时．（10分）
（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为．
点、的坐标、为方程组的实数解．
① 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有．（11分）
② 当且时，将代入，
整理得，于是，（13分）
同理可得．因为为菱形，所以，得，即，
于是，整理得，由，
得，即．（18分）综上，，满足的关系式为．
19. （两点横坐标乘积为定值）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点．
（1）试用的代数式分别表示和；
（2）若C的方程为（如图），求证：是与和点位置无关的定值；
【答案】（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以则
令则， 同理可得：，
（2）由（1）可知： ， 在椭圆C：上，， 则（定值）是与和点位置无关的定值
20. （两点纵坐标乘积为定值）已知圆．
（1）直线：与圆相交于、两点，求；
（2）设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）圆心到直线的距离．
圆的半径，．………………4分
（2），，则，，
，．：，得．
：，得．
…
21. （横坐标之差为定值）【普陀20】已知双曲线的焦距为4，直线与交于不同的点，且时与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
（1）求双曲线的方程；
（2）若坐标原点在线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；
（3）设分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】（1）当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，，又焦距为，则，
解得，，则所求双曲线的方程为
（2）设，，由，得，
则，，且，
又坐标原点在以线段为直径的圆内，则，即，
即，即，
则，
即，则或，
即实数的取值范围
（3）线段在轴上的射影长是. 设，由（1）得点，
又点是线段的中点，则点，
直线的斜率为，直线的斜率为 ，又，
则直线的方程为，即，
又直线的方程为，联立方程，
消去化简整理，得，又，
代入消去，得，
即，则，
即点的横坐标为，
则. 故线段在轴上的射影长为定值
22. （横坐标乘积为定值）【虹口二模20】设双曲线的左顶点为，且以点为圆心的圆（）与双曲线分别相交于点、，如图所示.
（1）求双曲线的方程；
（2）求的最小值，并求出此时圆的方程；
（3）设点为双曲线上异于点、的任意一点，且直线、分别与轴相交于点、，求证：为定值（其中为坐标原点）.
【答案】（1） （2），此时圆的方程为
（3）为定值
【解析】（1）由条件知：双曲线C的左焦点为于是
故双曲线C的方程为： ……4分
（2）易知点A, B关于轴对称，设则由点A在双曲线C上，得
由于 ……6分
所以
因故当 ……8分
此时
所以当取最小值时，圆D的方程为 ……10分
（3）设则直线AP的方程为
……12分
令，得
同理，可得 ……14分
因点A , M在在双曲线C上，故于是
因此 ……16分
23.（满足一定条件的定点问题）【嘉定二模20】已知椭圆过点,且它的一个焦点与抛物线的焦点相同。直线过点，且与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程:
(2)若直线的一个方向向量为，求的面积(其中为坐标原点) ;
试问:在轴上是否存在点，使得为定值 若存在，求出点的坐标和定值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由题意知 ，则得 ， ……………3分
所以椭圆的方程为． ……………………………4分
（2）由题意知直线的点方向式方程为，即 …………2分
设，
由得，解得 或．………………4分
于是 的面积为，即所求的面积为．………6分
（3）假设存在点，使得为定值．
设．
①当直线的斜率存在时，可设直线的方程为．
由得，
由一元二次方程根与系数的关系得 ，
因为，，
所以
． ……………………3分
若为定值，则得 ，解得 ，
此时；……………………………………………………………4分
②当直线的斜率不存在时，不妨设，当点的坐标为时，
． ……………………………………………………5分
综上，在轴上存在点，使得为定值． …………………6分
24. （基地向量系数和定值）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，即，
因为椭圆长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，
所以，所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，，所以直线，
设，，
由消去y得，，
所以，，
所以，，
所以；
（3）由可得椭圆方程为，即，
则点，直线，
由消去y得，，
设，，
则，，
设，由可得，，
由点在椭圆上可得，
整理得，
因为
，
所以，
又，在椭圆上，所以，，
所以，
所以.
25. （斜率和为定值）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）设直线和的斜率分别为和，求证:为定值.
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】（1）由题意得，解得，.∴椭圆的方程为.
（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
由得.
∵直线与椭圆交于不同的两点，，
∴，解得.
设，的坐标分别为，，则，，
又，，
，
∵，∴，
∴的范围为.
（3）由（2）得
所以为定值，