2.5 二次函数与一元二次方程
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一、选择题
1、［2022东宝区·德艺学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
∴①正确．
∵抛物线过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∵抛物线与y轴交于C（0，c），2≤c≤3，
∴a＜0，
∴当x≥3时，y≤0，
∴②错误．
∵抛物线过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴a＝﹣c．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣c+c+c＝c．
∵2≤c≤3，
∴≤≤4．
∴这个二次函数的最大值的最小值为，
∴③正确．
∵a＝﹣c，2≤c≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，
∴④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
2、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可．
［答案详解］解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．
故选：B．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积．
3、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
［思路分析］利用二次函数和一元二次方程的性质．
［答案详解］解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
［思路分析］①由开口向上得到a＞0，由对称轴在y轴左侧得到b＞0，由函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，进而得到abc的正负情况；
②由函数图象与x轴的交点个数得到b2﹣4ac的正负；
③由对称轴为x＝﹣1得到b＝2a，然后由当x＝﹣1时，y＜0得到c﹣a的正负；
④由对称轴为x＝﹣1和x＝0时，y＝c，得到x＝﹣2时，y＝c，再由﹣n2﹣2≤﹣2，得到当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；
⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），进而由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根为m，n即为函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1的交点横坐标，得到x1与m、x2与n之间的关系．
［答案详解］解：①∵开口向上，对称轴在y轴左侧，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误，不符合题意；
②∵函数图象与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故②正确，符合题意；
③∵对称轴为x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝c﹣a＜0，
∴c＜a，故③错误，不符合题意；
④∵对称轴为x＝﹣1，且当x＝0时，y＝c，
∴x＝﹣2时，y＝c，当x＜﹣1时，y随x的增大为减小，
∵﹣n2﹣2≤﹣2，得到当x＝﹣n2﹣2时，y≥c，故④正确，符合题意；
⑤∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），
∵方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根为m，n，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1的交点横坐标位m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1＞m，x2＜n，故⑤正确，符合题意，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系．
5、如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
［思路分析］设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），由∠OAC＝∠OCB可得△OAC∽△OCB，从而可得|x1 x2|＝c2＝﹣x1 x2，由一元二次方程根与系数的关系可得x1 x2＝，进而求解．
［答案详解］解：设A（x1，0），B（x2，0），C（0，c），
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点C（0，c），
∴OC＝c，
∵∠OAC＝∠OCB，OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴，
∴OC2＝OA OB，
即|x1 x2|＝c2＝﹣x1 x2，
令ax2+bx+c＝0，
根据根与系数的关系知x1 x2＝，
∴，
故ac＝﹣1，
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
6、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
［思路分析］根据二次函数图像和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0．
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0．
∴abc＞0．
∴A不合题意．
∵抛物线过点A（1，0）．
∴a+b+c＝0．
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴B符合题意．
由图知：当x＝2时，y＜0．
∴4a+2b+c＜0．
∴C不合题意．
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0．
∴D不合题意．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是求解本题的关键．
7、已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
［思路分析］由已知条件可判定三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，通过求解二次函数的顶点的坐标及与x轴的交点坐标利用三角形的面积公式可求解m值．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴m＝＝2．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征，判定P1，P2，P3点的位置是解题的关键．
8、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），且当x＝﹣2时，y＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，b2﹣ac≥0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0 D．b＜0，b2﹣4ac≥0
［思路分析］根据二次函数的定义通过经过的定点进行计算，得到一个关系式，再将另一个点的横坐标代入，得到另一个方程，最后求解．
［答案详解］解：因为y＝ax2+bx+c经过点（2，0），则0＝4a+2b+c，
∴4a+c＝﹣2b．
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
把4a+c＝﹣2b代入，
得到y＝﹣4b．
∵y＞0，
∴﹣4b＞0．
即b＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），
∴抛物线与x轴至少有一个交点．
∴b2﹣4ac≥0．
故选：D．
［经验总结］本题考查的是二次函数经过定点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
9、［2022汉阳区·外国语学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质判断即可
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
若n＞0，则抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4，故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c＝p的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p的交点的横坐标，
当交点横坐标为整数时，有无数个p值，
故③错误．
当a＜0，a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＞0，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜x2，
∴x1＜1＜x2，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
当a＞0时，
a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＜0，
∴x2﹣1＜1﹣x1，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数对图象和性质的作用是求解本题的关键．
10、［2021日喀则市·月考］二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 ．
［思路分析］由抛物线的解析式可得抛物线的对称轴，由（﹣1，0）及对称轴求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+6x+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
11、［2022江夏区·华一寄宿学校月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2）．下列结论：①若x1＝2，x2＝﹣4，则方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝2，x2＝﹣4．②若二次函数对称轴为直线x＝1，则ab＞0．③若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是2．其中正确的结论是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标x1，x2
是对应方程ax2+bx+c＝0的根，
∴①正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴a，b异号，
∴ab＜0，
∴②错误．
∵x2＝2x1，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣2x1）
＝ax2﹣3ax1 x+2a，
∴b＝﹣3ax1，c＝2a，
∴4b﹣9ac＝﹣12ax1﹣18a2
＝﹣18a2+2，
∵﹣18a2＜0，
∴当x1＝﹣时，该式有最大值2，
∴③正确．
故答案为：①③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，充分掌握二次函数与方程的关系是求解本题的关键．
12、［2022江夏区·月考］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由等腰直角三角形的性质及顶点坐标可得抛物线与x轴的交点坐标，从而判断②，由x1+x2＞2m可得＞m，再根据抛物线开口方向及对称轴可判断③，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴二次函数顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴s+t＝m+（﹣m+1）＝1，①正确．
∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1开口向下，顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴顶点到x轴的距离为﹣m+1，
∵抛物线对称轴为直线x＝m，m+（﹣m+1）＝1，
∴抛物线经过（1，0），
∴0＝﹣（1﹣m）2﹣m+1，
解得m＝0或m＝1（舍），
∴②正确．
∵x1+x2＞2m，
∴＞m，
∵抛物线开口向下，
∴点A到对称轴距离小于点B到对称轴距离，
∴y1＞y2.③错误．
∵﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝m，
∴m≥3，④正确．
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，得b2﹣4ac＞0，列不等式，解出即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，
故答案为：k＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键．
14、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
［思路分析］先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
［答案详解］解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），
∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，
∴2+2＝2（﹣2+2），
∴n＝8，
故答案为：8．
［经验总结］此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
15、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
16、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
［思路分析］由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
［答案详解］解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
［经验总结］本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题
17、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
［思路分析］（1）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）；
（2）抛物线与x轴交点的坐标的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零；
（3）利用顶点坐标求出平移后的解析式．
［答案详解］解：（1）y＝﹣2x2+3x﹣1＝﹣2（x2﹣x）﹣1＝﹣2（x﹣）2+，则顶点A的坐标是（，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，即抛物线与y轴的交点是（0，﹣1）．
当y＝0时，﹣2x2+3x﹣1＝0，
解得，x1＝1，x2＝，即抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（，0）；
（3）由（2）知，抛物线与x轴的两个交点是（1，0），（，0）；
∴该二次函数的图象向左平移个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点．
此时，图象顶点为（，）
∴平移后图象对应的二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣）2+．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点．
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
［思路分析］（1）先根据判别式的值得到Δ＝1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB＝5得出|k|+|k+1|＝5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
［答案详解］（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个根．
19、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
［答案详解］解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
20、某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
［思路分析］（1）把x＝0.5代入函数解析式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）观察函数图象，得到函数y＝|x2﹣2x|的图象当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与直线y＝交点个数即可得到结论；
②画出直线y＝﹣x+1，根据题意和表格即可求得．
［答案详解］解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，
得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，
即m＝1.25，
故答案为：1.25；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝ 4个实数根．
故答案为4；
②如图，
由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4，
故答案为0.4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
21、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
［思路分析］（1）①利用待定系数法求解析式即可，②抛物线开口向上，数形结合直接写出答案；
（2）结合抛物线和线段AB，分情况讨论求a的取值范围．
［答案详解］解：（1）①∵抛物线y＝a（x﹣2）2+c与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴，，
解得，，
∴抛物线和直线的函数解析式分别为y＝（x﹣2）2﹣1，y＝2x﹣2．
②∵a＞0，抛物线开口向上，抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点，
∴当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围为x＜1或x＞5．
（2）若a＝c，则抛物线y＝a（x﹣2）2+a（a＞0），
∴开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，a），
当抛物线顶点在线段AB上时有唯一公共点，此时a＝3，
当抛物线顶点在线段AB下方时，
当经过B（3，3）时，a+a＝3，解得a＝，
当经过A（0，3）时，4a+a＝3，解得a＝，
∴当抛物线与线段AB有唯一公共点时，a的取值范围为≤a＜或a＝3．
［经验总结］本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
22、设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
［思路分析］（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．
［经验总结］本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
23、已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
［思路分析］（1）当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，可得对称轴为直线x＝﹣4，且抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），列出方程组即可得答案；
（2）由r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，两边平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得结果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，可用比差法证明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1＝﹣1＝，再由r2+8r+1＝0，判断r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故＞0，从而m＞1．
［答案详解］（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
［经验总结］本题考查二次函数综合知识，涉及二次函数图象上的点坐标、对称轴、增减性、与x轴交点坐标等知识，解题的关键是用比差法时，判断r和r9+60r5﹣1的符号．2.5 二次函数与一元二次方程
— 月考热身 —
一、选择题
1、［2022东宝区·德艺学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
2、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3、根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c ﹣1 ﹣0.5 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1 C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、如图，若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若∠OAC＝∠OCB．则ac的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C． D．
6、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C，对称轴为x＝﹣1．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．3a+c＝0 C．4a+2b+c＞0 D．2a+b＞0
7、已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
8、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），且当x＝﹣2时，y＞0，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，b2﹣ac≥0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0 D．b＜0，b2﹣4ac≥0
二、填空题
9、［2022汉阳区·外国语学校月考］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
10、［2021日喀则市·月考］二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 ．
11、［2022江夏区·华一寄宿学校月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2）．下列结论：①若x1＝2，x2＝﹣4，则方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝2，x2＝﹣4．②若二次函数对称轴为直线x＝1，则ab＞0．③若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是2．其中正确的结论是 ．
12、［2022江夏区·月考］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
13、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
14、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
15、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
16、小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
三、解答题
17、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
18、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
19、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
20、某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
21、已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n时自变量x的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB有唯一公共点时，直接写出a的取值范围．
22、设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
23、已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
