2.1 二次函数
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一、选择题
1、［2022石鼓区·月考］下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
［思路分析］一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．根据定义进行判断即可．
［答案详解］解：A．不含有x的二次项，所以A不符合题意；
B．化简后y＝2x+1，不含有x的二次项，所以B不符合题意；
C．符合题意；
D．y＝﹣2x﹣2，不含有x的二次项，所以D选项不符合题意．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键．
2、［2022峄城区·月考］若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
［思路分析］根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3＝2，解方程得m＝5或﹣1，再由顶点在x轴下方，选择m的取值．
［答案详解］解：∵y＝2+（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，以及用顶点式一般形式表示的二次函数，顶点坐标的表示．
3、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
［思路分析］根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．
［答案详解］解：A、y＝mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；
B、t＝，当s≠0时，是反比例函数，错误；
C、C＝3a，是正比例函数，错误；
D、S＝πR2，是二次函数，正确．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
4、若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
［思路分析］根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
［答案详解］解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
［经验总结］解题关键是掌握二次函数的定义．
5、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
［思路分析］根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式，从而判断即可．
［答案详解］解：A．y＝，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
6、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
［思路分析］根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析．
［答案详解］解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；
C、是二次函数，故此选项正确；
D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：C．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
7、二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
［思路分析］根据二次函数的定义，即可解答．
［答案详解］解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
二、填空题
8、［2021利辛县·月考］二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 ．
［思路分析］根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，可得二次项系数是2，常数项是﹣1，再求和即可．
［答案详解］解：二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数是2，常数项是﹣1，
﹣1+2＝1，
故答案为：1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
9、［2021原州区·月考］关于x的函数 y＝（m+1）x 是二次函数，则m的值 ．
［思路分析］根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．
［答案详解］解：∵y＝（m+1）x 是关于x的二次函数，
∴m2﹣m＝2，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
［经验总结］该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
10、［2020郁南县·月考］二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
［思路分析］根据自变量与函数值的关系，可得答案．
［答案详解］解：当x＝﹣1时，y＝1﹣4﹣3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
［经验总结］本题考查了二次函数，利用自变量与函数值对应关系是解题关键．
11、［2021浉河区·月考］若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义条件列出方程与不等式求解即可．
［答案详解］解：根据二次函数的定义，得：
m2﹣2＝2，
解得m＝2或m＝﹣2，
又∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义．
12、［2021泗水县·月考］若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
［思路分析］根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m＝2，求出m即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m＝2，
解得：m≠﹣2且m＝﹣2，m＝1，
∴m＝1，
故答案为：1．
［经验总结］本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y＝axm+bx+c（abc都是常数）是二次函数，那么a≠0且m＝2．
13、已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
［思路分析］函数通常情况下是用x表示y．注意分母不为0，二次项的系数不为0．
［答案详解］解：整理得函数表达式为y＝﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．
故答案为：y＝﹣x2﹣x；a≠0，c≠0；二次．
［经验总结］本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的取值．
14、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
［思路分析］直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
［答案详解］解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．
故答案为：y＝x2﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
15、若函数y＝xm﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，则m＝ ．
［思路分析］根据二次函数的定义可得m﹣1＝2，然后进行计算即可解答．
［答案详解］解：由题意得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
三、解答题
16、［2021赛罕区·月考］已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零．
17、［2021江油市·月考］当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
［思路分析］根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
［经验总结］此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
18、［2021港闸区·月考］若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
［思路分析］（1）形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义即可判断；
（2）形如y＝kx+b（k≠0）的函数叫做二次函数，根据一次函数的定义即可判断．
［答案详解］解：（1）当y＝（m﹣1）x+3是二次函数时，
有，
解得m＝﹣3，
∴当m＝﹣3时，此函数是二次函数；
（2）当y＝（m﹣1）x+3是一次函数时，
有，
解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，
∴当m＝﹣1+或m＝﹣1﹣时，此函数是一次函数．
［经验总结］本题主要考查二次函数和一次函数的定义，关键是要牢记二次函数和一次函数的定义．
19、［2020静海区·月考］函数是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］利用二次函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：由题意可知
解得：m＝2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
20、［2021金安区·月考］若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数定义可得m2+1＝2且m+1≠0，求解即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+1＝2，m+1≠0，
解得m＝1，
∴m的值为1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
21、［2021奈曼旗·月考］已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）利用正比例函数的定义进而得出m的值；
（2）利用二次函数的定义进而得出m的值．
［答案详解］解：（1）因为函数y＝（m+3）是正比例函数，
所以m2﹣7＝1且m+3≠0，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2，
所以当m＝2时，此函数是正比例函数；
（2）因为函数y＝（m+3）是二次函数，
所以m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得：m＝3，
所以当m＝3时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了正比例函数和二次函数的定义，正确把握正比例函数和二次函数的定义是解题关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
22、［2020龙凤区·月考］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
［答案详解］解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．2.1 二次函数
— 月考热身 —
一、选择题
1、［2022石鼓区·月考］下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x（x+1） D．y＝﹣
2、［2022峄城区·月考］若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
3、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
4、若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
5、下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
6、下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+
7、二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．﹣2 D．3
二、填空题
8、［2021利辛县·月考］二次函数y＝2x2﹣3x﹣1的二次项系数与常数项的和是 ．
9、［2021原州区·月考］关于x的函数 y＝（m+1）x 是二次函数，则m的值 ．
10、［2020郁南县·月考］二次函数y＝x2+4x﹣3中，当x＝﹣1时，y的值是 ．
11、［2021浉河区·月考］若y＝（m﹣2）+mx+1是关于x的二次函数，则m＝ ．
12、［2021泗水县·月考］若函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
13、已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
14、已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式 ．
15、若函数y＝xm﹣1+x﹣3是关于x的二次函数，则m＝ ．
三、解答题
16、［2021赛罕区·月考］已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
17、［2021江油市·月考］当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
18、［2021港闸区·月考］若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
19、［2020静海区·月考］函数是关于x的二次函数，求m的值．
20、［2021金安区·月考］若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
21、［2021奈曼旗·月考］已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
22、［2020龙凤区·月考］已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
