2.2 二次函数的图象与性质
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一、选择题
1、［2021青县·月考］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2、［2021广阳区·六中月考］已知一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、［2022澧县·王家厂中学月考］已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（ ）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
4、［2021汝州市·月考］如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么
抛物线表达式为（ ）
A．y＝2x2+ B．y＝﹣x2+ C．y＝ D．y＝﹣（x﹣2）2
5、［2021南开区·月考］与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
6、［2022峄城区·月考］若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
二、填空题
7、［2022崇川区·启秀中学月考］若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
8、［2022西城区·三帆中学月考］二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴为 ．
9、［2022江都区·月考］若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
10、［2022洪山区·月考］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
11、［2022龙华区·高峰学校月考］已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
12、［2022宜兴市·月考］如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
13、［2022宜兴市·月考］直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
14、［2022江夏区·月考］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
15、［2022西城区·月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
16、［2022江干区·养正中学月考］在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
17、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
18、如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
19、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
20、如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．2.2 二次函数的图象与性质
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一、选择题
1、［2021青县·月考］一次函数y＝x+a与二次函数y＝ax2﹣a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］根据二次函数的图象和一次函数与x轴，与y轴的交点可得相关图象进行判断．
［答案详解］解：由一次函数y＝x+a可知，一次函数的图象与x轴交于（﹣a，0），与y轴交于点（0，a），由二次函数y＝ax2﹣a可知，抛物线与x轴交于（﹣1，0）和（1，0），与y轴交于点（0，﹣a），
∵两个函数的图象与x轴交于不同的两点，与y轴交于不同的两点，
∴A、B、D不可能，
选项C中，由直线经过一、三、四象限可知a＜0，由抛物线可知开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，故C有可能；
故选：C．
［经验总结］本题考查了一次函数的图象，二次函数的图象，函数图象与坐标轴的交点，以及函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
2、［2021广阳区·六中月考］已知一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面选项中，图象可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］对四个选项进行逐个分析，即可得出答案．
［答案详解］解：由一次函数经过一、三、四象限可得a＞0，
由二次函数开口向下可得a＜0，两者相矛盾，
∴选项A不符合题意；
由一次函数经过一、二、三象限可得b＞0与已知b＜0相矛盾，
∴选项B不符合题意；
由一次函数经过二、三、四象限可得a＜0，b＜0，
由抛物线开口向下可知a＜0，
∴选项C符合题意；
由一次函数经过一、二、四象限可得a＜0，b＞0与已知b＜0相矛盾，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质及一次函数的性质，掌握一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
3、［2022澧县·王家厂中学月考］已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，若a+b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c必过点（ ）
A．（2，0） B．（0，0） C．（﹣1，0） D．（1，0）
［思路分析］由于a+b+c＝0，即自变量为1时，函数值为0，根据二次函数图象上点的坐标特征可判断点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
［答案详解］解：∵a+b+c＝0，
∴x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴点（1，0）在抛物线y＝ax2+bx+c．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4、［2021汝州市·月考］如图正方形的边长为1，A、B、C三个顶点都在抛物线上，O点在原点，那么
抛物线表达式为（ ）
A．y＝2x2+ B．y＝﹣x2+ C．y＝ D．y＝﹣（x﹣2）2
［思路分析］作CD⊥x轴，如图所示，由题意可设y＝ax2+，由勾股定理得OD＝OC＝，把C（，），代入y＝ax2+，计算即可．
［答案详解］解：由题意可得，OA＝，
∴A（0，），
设y＝ax2+，
作CD⊥x轴，如图所示：
在正方形ABOC中，OC＝1，∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝45°，△OCD为等腰直角三角形，
∴OD＝CD，
由勾股定理得OD＝OC＝，
∴C（，），
把C（，），代入y＝ax2+，
得a＝，
解得a＝﹣，
∴抛物线表达式为y＝x2+，
故选：B．
［经验总结］此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、正方形的性质，掌握这几个知识点的综合应用，其中求C点坐标是解题关键．
5、［2021南开区·月考］与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
［思路分析］与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
［答案详解］解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
即y＝x2+1，
故选：D．
［经验总结］考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．
6、［2022峄城区·月考］若抛物线y＝2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（ ）
A．m＝5 B．m＝﹣1 C．m＝5或m＝﹣1 D．m＝﹣5
［思路分析］根据二次函数的定义可知m2﹣4m﹣3＝2，解方程得m＝5或﹣1，再由顶点在x轴下方，选择m的取值．
［答案详解］解：∵y＝2+（m﹣5）的图象是抛物线，
∴m2﹣4m﹣3＝2，解得：m＝5或﹣1，
又∵抛物线的顶点坐标是（0，m﹣5），顶点在x轴下方，
∴m﹣5＜0，即m＜5，
∴m＝﹣1．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，以及用顶点式一般形式表示的二次函数，顶点坐标的表示．
二、填空题
7、［2022崇川区·启秀中学月考］若A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，则n＝ ．
［思路分析］利用抛物线的对称性得到h＝m+1，然后把A（m﹣1，n）代入y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022中可求出n的值．
［答案详解］解：∴A（m﹣1，n）、B（m+3，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2022上两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m+1，
∴h＝m+1，
∴y＝﹣（x﹣m﹣1）2+2022，
把A（m﹣1，n）代入得n＝﹣（m﹣1﹣m﹣1）2+2022＝﹣4+2022＝2018．
故答案为：2018．
［经验总结］本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，得到h＝m+1是解题的关键．
8、［2022西城区·三帆中学月考］二次函数y＝x2﹣6x+5的对称轴为 ．
［思路分析］将二次函数解析式化为顶点式求解．
［答案详解］解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
故答案为：x＝3．
［经验总结］此题考查二次函数的对称轴，关键是将二次函数解析式化为顶点式求解．
9、［2022江都区·月考］若定义一种新运算：a b＝，例如：4 1＝4×1＝4；5 4＝10﹣4﹣2＝4．则函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是 ．
［思路分析］根据新运算的定义，对（﹣x+3）和3（x+1）的大小进行比较，列出不同的情况分类讨论，得到不同的函数表达式求出最值即可．
［答案详解］解：由题可得，
①当﹣x+3≥3（x+1）时，
即：x≤0，
y＝（﹣x+3）（x+1）＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4．
由抛物线性质可得，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴只有当x＝0时，y的最大值为y＝3；
②当﹣x+3＜3（x+1）时，
即：x＞0，
y＝2×（﹣x+3）﹣（x+1）﹣2
＝﹣3x+3．
∵﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，当x＝0时，y＝﹣3×0+3＝3．
∵x＞0，
∴y＜3，
综上①②得y≤3．
故函数y＝（﹣x+3） （x+1）的最大值是3．
［经验总结］本题考查了二次函数的最值以及一次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
10、［2022洪山区·月考］如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E是AD边上的动点，连结CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，过点F作FH⊥AD，垂足为H，连结AF．在整个变化过程中，△AEF面积的最大值是 ．
［思路分析］证明Rt△EFH≌Rt△CED，设AE＝a，用含a代数式表示△AEF的面积，进而求解．
［答案详解］解：∠FEH+∠CED＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠CED＝∠EFH，
在Rt△EFH和Rt△CED中，
，
∴Rt△EFH≌Rt△CED（AAS），
∴ED＝FH，
设AE＝a，则ED＝FH＝3﹣a，
∴S△AEF＝AE FH＝a（3﹣a）＝﹣（a﹣）2+，
∴当AE＝时，△AEF面积的最大值为．
故答案为：．
［经验总结］本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握正方形的性质，掌握全等三角形的判定与性质．
11、［2022龙华区·高峰学校月考］已知（﹣2，y1），（3，y2）在y＝x2+2x+c图象上，比较y1 y2．（填＞、＜或＝）
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
［答案详解］解：∵y＝x2+2x+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1﹣（﹣2）＜3﹣（﹣1），
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
12、［2022宜兴市·月考］如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为 ．
［思路分析］由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，代入可得结论．
［答案详解］解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
［经验总结］本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．
13、［2022宜兴市·月考］直线y＝4x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC恰有一个公共点，则a的取值范围是 ．
［思路分析］根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标，根据一次函数与x轴交点特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
［答案详解］解：直线y＝4x+4中，令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
∴a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
∴a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
∴a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
故答案为：a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，有难度，且涉及知识点较多．
14、［2022江夏区·月考］小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由等腰直角三角形的性质及顶点坐标可得抛物线与x轴的交点坐标，从而判断②，由x1+x2＞2m可得＞m，再根据抛物线开口方向及对称轴可判断③，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴二次函数顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴s+t＝m+（﹣m+1）＝1，①正确．
∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1开口向下，顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴顶点到x轴的距离为﹣m+1，
∵抛物线对称轴为直线x＝m，m+（﹣m+1）＝1，
∴抛物线经过（1，0），
∴0＝﹣（1﹣m）2﹣m+1，
解得m＝0或m＝1（舍），
∴②正确．
∵x1+x2＞2m，
∴＞m，
∵抛物线开口向下，
∴点A到对称轴距离小于点B到对称轴距离，
∴y1＞y2.③错误．
∵﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝m，
∴m≥3，④正确．
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、解答题
15、［2022西城区·月考］二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …
y … ﹣ 0 0 ﹣ …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x＜0时，y的取值范围 ．
［思路分析］（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），结合点（﹣2，）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）先求出顶点，再描点、连线，画出函数图象；
（3）根据x的取值范围可得答案．
［答案详解］解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数经过点（﹣2，），
∴﹣3a＝，
∴a＝﹣，
∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；
（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，
顶点为（﹣1，2），
描点、连线，画出图形如图所示：
（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，
故答案为：﹣≤y≤2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合顶点点坐标得出y的取值范围．
16、［2022江干区·养正中学月考］在平面直角坐标系内，设二次函数（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，2），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：．
［思路分析］（1）将点（1，2）代入解析式可求解；
（2）由两图象仅有一个交点，可得（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，即Δ＝0，可求解；
（3）由题意可得x＝0的函数值小于x＝x0的函数值，即可求解．
［答案详解］解：（1）将（1，2）代入，
得到（1﹣a）2+a﹣1＝2，
解得a1＝﹣1，a2＝2，
∴y＝（x+1）2﹣2或；
（2）∵y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
即x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
∴4b+5＝0，
∴；
（3）∵x0＞2a，
∴，
结合函数图象，可得|a﹣0|＜|a﹣x0|，
∴，
∴n＞a2+a﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的应用，灵活运用二次函数的性质是本题的关键．
17、［2021常熟市·月考］已知二次函数y＝﹣2x2+3x﹣1．
（1）利用配方法求顶点坐标A；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）如果将该函数向左平移，当图象第一次经过原点时，求新图象的解析式．
［思路分析］（1）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0）；
（2）抛物线与x轴交点的坐标的纵坐标等于零，与y轴交点的横坐标等于零；
（3）利用顶点坐标求出平移后的解析式．
［答案详解］解：（1）y＝﹣2x2+3x﹣1＝﹣2（x2﹣x）﹣1＝﹣2（x﹣）2+，则顶点A的坐标是（，）；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，即抛物线与y轴的交点是（0，﹣1）．
当y＝0时，﹣2x2+3x﹣1＝0，
解得，x1＝1，x2＝，即抛物线与x轴的交点坐标是（1，0），（，0）；
（3）由（2）知，抛物线与x轴的两个交点是（1，0），（，0）；
∴该二次函数的图象向左平移个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点．
此时，图象顶点为（，）
∴平移后图象对应的二次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣）2+．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点．
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
18、如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［思路分析］（1）根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
（2）将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
［答案详解］解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x ﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x ﹣4x．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
19、如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B左侧），连接BC，直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标；
（2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可；将所求得的抛物线解析式转化为两点式，易得点A、B的坐标；
（2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可．
［答案详解］解：（1）把C（0，2）代入y＝ax2﹣3ax﹣4a得：﹣4a＝2．
解得a＝﹣．
则该抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2．
由于y＝﹣x2+x+2＝﹣（x+1）（x﹣4）．
故A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）存在，理由如下：
由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴，交BC于点G，
∴CD∥EG，
∴＝．
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）．
∴CD＝2﹣1＝1．
∴＝EG．
设BC所在直线的解析式为y＝mx+n（m≠0）．
将B（4，0），C（0，2）代入，得．
解得．
∴直线BC的解析式是y＝﹣x+2．
设E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），其中0＜t＜4．
∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣（t﹣2）2+2．
∴＝﹣（t﹣2）2+2．
∵＜0，
∴当t＝2时，存在最大值，最大值为2，此时点E的坐标是（2，3）．
［经验总结］本题考查了二次函数综合题型，需要综合运用一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法，待定系数法确定函数关系式以及平行线截线段成比例等知识点，综合性较强，难度不是很大．
20、如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
［思路分析］（1）先利用一次函数求出B、C坐标，设点A （m，0），求出点D（+，﹣m+），根据SABD＝4，列出方程（3﹣m）（﹣m+）＝4求出m的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，先证∠OCB＝∠OBC＝45°，利用平行线性质求出∠PEF＝∠OCB＝45°，利用三角函数得出PF＝PExsin45°＝PE，点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3）则点E（x，﹣x+3），求出PE＝﹣（x﹣）2+即可．
［答案详解］解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，
∴C（0，3），B（3，0），
设点A（m，0），
∴抛物线对称轴为x＝（3+m），
∴点D（+，﹣m+），
∵S△ABD＝4，
∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，
解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），
∴点A（﹣1，0），
将A，B，C三点坐标代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，
∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE×sin45°＝PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），
∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当x＝时，PE最大值为，
∴PF最大＝PE最大＝×＝，
∴点P到直线BC的距离的最大值为．
［经验总结］本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质，本题难度一般，是常考题型．
