2018年清华大学自主招生数学真题选集（PDF版无答案）

清华大学
本试卷数学部分共有40道选择题.
1.【真题】已知定义在R上的函数()
2*+a,X≤0
f x=
|In x+a x>0
若方程f()有两个不相等的
实数根，则a的取值范围是()
A.
B.0≤a<2
1
C.0≤a<1
D.a≤0
4.【真题】已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为1，P是I上一点，Q是直线PF与
C的一个交点，若FP=3FQ,则QF=()
A.5
B.
C.3
D.2
7.【真题】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已
知F、F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠FPF2=30°时，这
一对相关曲线中椭圆的离心率是()
A.7-43
B.2-V3
C.3-1
D.4-23
11.【真题】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得
树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m,则树的高度为()
30°
45
A
60m
6
A.(15+33)m
B.(30+15V3)m
C.(30+30W3)m
D.(15+303m
【真题】在复平面内，复数2=（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于(
A.第一象限
B.第二象限C.第三象限D.第四象限
15.【真题】设X-N(4,σ)，Y-N(h,o),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列
结论中正确的是()
X的正态分布
密度曲线
Y的正态分布
密度曲线
10
A.P(Y≥)≥P(Y≥H)
B.P(X≤o2)≤P(X≤o)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
20.【真题】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在
容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚
度，则球的体积为()
A.500x cm
3
66x.cm
B.
3
c.1372cm
D.
2048rcm3
3
3
xy+yz
21.【真题】已知X,y,2为正实数，则x十y+2的最大值为（）
A.1
B.2
C.2
D.√2
2
29.【真题】已知e,e2为平面上的单位向量，e与e2的起点均为坐标原点0，e与e2夹角
2+4≤1
为行，平面区域D由所有满足O币=鸡+e的点P组成，其中0≤A,那么平面区
0≤4
域D的面积为()
A·2
B.√3
C.V3
D.
2
4
31.【真题】已知a是第二象限角，且sin+a
5
cos a+sina=
5，
则
A.-11v2
B.9V2
C.92
D.11V2
15
5
15
3.【真题】为了得到函数y=sm2x-的图象，只需把函数y=sn2x的图象上所有的点