2022-2023学年北师大版数学九年级下册第二章 二次函数 达标测试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年北师大版数学九年级下册第二章 二次函数 达标测试卷(含答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 93.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-28 13:39:08 | ||
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文档简介
第二章 二次函数 达标测试卷
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列函数属于二次函数的是( )
A．y＝5x＋3 B．y＝
C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝
2．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，则下列正确的是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．一个小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1 m B．5 m
C．6 m D．7 m
4．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m＞2
C．0＜m≤2 D．m＜－2
5．用总长为a米的材料做成如图①的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的总面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②，当窗户透光面积最大时a的值是( )
A．9 B．8
C．6 D．不能确定
(第5题) (第6题)
6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2－1上的任意一点，PA⊥x轴于点A.则OP－PA的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表所示．若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移( )
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A.1个单位 B．2个单位
C．3个单位 D．4个单位
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )
(第8题) (第9题)
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中，其中正确的结论是( )
A．2a－b＝0
B．a＋b＋c＞0
C．c＜－3a
D．当ax2＋bx＋c＋2＝0有实数解时，则a≥0.5
10．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)均在抛物线y＝－x2＋ax＋c上，其中y2＝a＋c.下列说法正确的是( )
A．若|x1－x2|≤|x3－x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1－x2|≥|x3－x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1－x2|＜|x2－x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1－x2|＞|x2－x3|
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．
12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，5)的抛物线表达式________．
13．如图是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝________．
(第13题) (第16题)
14．已知函数y＝x2－2x－2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是____________．
15．抛物线y＝x2－2kx＋4k经过一个定点，这个定点的坐标是____________．
16．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为________cm.
三、解答题(本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．
(1)求m的值；
(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
18．(8分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
19．(8分)要建如图所示两个面积相同的矩形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长a＝20 m，另外的边用篱笆围成，已知篱笆总长为32 m，且在BC边上开一扇宽2 m的门GH，在EF边上开一扇宽2 m的门MN.设鸡场的一边AB长为x m.
(1)若两个鸡场的总面积为S，求S与x之间的表达式，并求出x的取值范围；
(2)若两个鸡场的总面积为96 m2，求x；
(3)直接写出当两个鸡场的总面积不小于105 m2时，x的取值范围是________．
20．(8分)某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，根据市场分析，若按每千克50元的价格销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，当销售单价定为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
21．(10分)如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．
22．(10分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－3，n)、B(2，n)两点．
(1)求b的值；
(2)当－1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
(3)若方程x2＋bx＋c ＝0的两实根x1，x2满足3≤x2－x1＜9，且p＝x－3x，求p的最大值．
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.D
10．D 点拨：∵y＝－x2＋ax＋c＝－(x－3)2＋a＋c，
∴函数的顶点坐标为，即为点B，
∵当a＞0时，－<0，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，
∴当|x1－x2|≤|x3－x2|时，y2≥y1≥y3，
当|x1－x2|≥|x3－x2|时，y2≥y3≥y1.
∵当a＜0时，－>0，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴当|x1－x2|≥|x3－x2|时，y1≥y3≥y2；
当|x1－x2|≤|x3－x2|时，y3≥y1≥y2.故选项A不正确，选项B无法确定，不符合题意；
当y1＞y3≥y2时，y2是最小值，此时a＜0，－>0，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴|x1－x2|＞|x2－x3|，故选项D正确，符合题意．
二、11.－1 12.y＝x2＋5(答案不唯一) 13.1
14．－3≤y≤1 15.(2，4)
16. 点拨：设AP＝x cm，BE＝y cm.如图，
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.∴Rt△ADP∽Rt△BPE.∴＝，
即＝.整理得y＝－(x－5)2＋(0＜x＜10)，
∴当x＝5时，y有最大值.∴BE的最大长度为 cm.
三、17.解：(1)∵二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)，∴9＋6＋m＝0，解得m＝－15.
(2)∵y＝x2＋2x－15＝(x＋1)2－16，
∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1.
∵1＞0，∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．
18．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，
得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.图象的对称轴为直线x＝2.令x＝0，则y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．
∵点C和点B关于直线x＝2对称，
∴点B的坐标为(4，3)．
将A(1，0)，B(4，3)的坐标分别代入y＝kx＋b中得解得
∴一次函数的表达式为y＝x－1.
(2)满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围为1≤x≤4.
19．解：(1)题中设鸡场的一边AB长为x m，则平行于墙的一边BC长为(36－3x)米，
根据题意得：S＝(36－3x)x＝－3x2＋36x，
∵0<36－3x≤20，∴≤x<12.
(2)根据题意得：－3x2＋36x＝96，解得x1＝4，x2＝8，
∵≤x<12，∴x＝8.
(3)≤x≤7 点拨：由题意得：－3x2＋36x≥105，
∴5≤x≤7，∵≤x<12，∴≤x≤7.
20．解：设销售单价定为x元，获得的月利润为w元，
由题意得w＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000，
∴当x＝70时，w最大＝9 000.
答：当销售单价定为70元时，获得的月利润最大，最大月利润是9 000元．
21．解：(1)∵抛物线与y轴交于点B(0，3)，
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋3.
又∵A(－1，0)，E(3，0)在抛物线上，
∴解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点D的坐标为(1，4)．过点D作DF⊥x轴于点F，
易知F(1，0)，所以OF＝1，DF＝4.
∵E(3，0)，∴EF＝2，
∵A(－1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.
∴S四边形AEDB＝S△ABO＋S梯形BOFD＋S△DEF＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9.
∴四边形AEDB的面积为9.
22．解：(1) ∵该抛物线经过A(－3，n)，B(2，n)两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝－.
∴－＝－.∴b ＝1.
(2) 由(1)得，该抛物线的表达式为y＝x2＋x＋c，
∵该抛物线对称轴为直线x＝－，且当－1＜x＜1时，
抛物线与x轴有且只有一个公共点，
①当公共点是顶点时，Δ＝1－4c＝0，解得c＝.
②当公共点不是顶点时，即x＝－1时，1－1＋c≤0；
x＝1时，1＋1＋c＞0.解得－2＜c≤0.
综上所述，c的取值范围是c＝或－2＜c≤0.
(3)由(1)知b＝1.∵方程x2 ＋ x＋c＝0的两实根为x1，x2，
∴抛物线y＝x2＋x＋c与x轴交点的横坐标为x1，x2，
∴＝－，∴x1＋x2＝－1.即x2＝－1－x1.
∵3≤x2－x1＜9，∴3≤(－1－x1) －x1＜9.
∴－5＜x1≤－2.
∴p＝ x－3x＝x－3(－1－x1)2＝－2(x1＋)2＋.
∵当－5＜x1≤－2时，p随x1的增大而增大，
∴当x1＝－2时，p取最大值，p的最大值为1.
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列函数属于二次函数的是( )
A．y＝5x＋3 B．y＝
C．y＝2x2＋x＋1 D．y＝
2．将二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，则下列正确的是( )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
3．一个小球被抛出后，距离地面的高度h (m)和飞行时间t (s)满足的函数表达式为h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1 m B．5 m
C．6 m D．7 m
4．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )
A．m＜2 B．m＞2
C．0＜m≤2 D．m＜－2
5．用总长为a米的材料做成如图①的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的总面积为y平方米，y关于x的函数图象如图②，当窗户透光面积最大时a的值是( )
A．9 B．8
C．6 D．不能确定
(第5题) (第6题)
6．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2－1上的任意一点，PA⊥x轴于点A.则OP－PA的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表所示．若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移( )
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A.1个单位 B．2个单位
C．3个单位 D．4个单位
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是( )
(第8题) (第9题)
9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为点D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中，其中正确的结论是( )
A．2a－b＝0
B．a＋b＋c＞0
C．c＜－3a
D．当ax2＋bx＋c＋2＝0有实数解时，则a≥0.5
10．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)均在抛物线y＝－x2＋ax＋c上，其中y2＝a＋c.下列说法正确的是( )
A．若|x1－x2|≤|x3－x2|，则y2≥y3≥y1
B．若|x1－x2|≥|x3－x2|，则y2≥y3≥y1
C．若y1＞y3≥y2，则|x1－x2|＜|x2－x3|
D．若y1＞y3≥y2，则|x1－x2|＞|x2－x3|
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．
12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，5)的抛物线表达式________．
13．如图是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝________．
(第13题) (第16题)
14．已知函数y＝x2－2x－2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是____________．
15．抛物线y＝x2－2kx＋4k经过一个定点，这个定点的坐标是____________．
16．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为________cm.
三、解答题(本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．
(1)求m的值；
(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？
18．(8分)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．
19．(8分)要建如图所示两个面积相同的矩形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长a＝20 m，另外的边用篱笆围成，已知篱笆总长为32 m，且在BC边上开一扇宽2 m的门GH，在EF边上开一扇宽2 m的门MN.设鸡场的一边AB长为x m.
(1)若两个鸡场的总面积为S，求S与x之间的表达式，并求出x的取值范围；
(2)若两个鸡场的总面积为96 m2，求x；
(3)直接写出当两个鸡场的总面积不小于105 m2时，x的取值范围是________．
20．(8分)某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，根据市场分析，若按每千克50元的价格销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，当销售单价定为多少元时，获得的月利润最大？最大月利润是多少？
21．(10分)如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为D，求四边形AEDB的面积．
22．(10分)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－3，n)、B(2，n)两点．
(1)求b的值；
(2)当－1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
(3)若方程x2＋bx＋c ＝0的两实根x1，x2满足3≤x2－x1＜9，且p＝x－3x，求p的最大值．
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.C 9.D
10．D 点拨：∵y＝－x2＋ax＋c＝－(x－3)2＋a＋c，
∴函数的顶点坐标为，即为点B，
∵当a＞0时，－<0，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，
∴当|x1－x2|≤|x3－x2|时，y2≥y1≥y3，
当|x1－x2|≥|x3－x2|时，y2≥y3≥y1.
∵当a＜0时，－>0，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴当|x1－x2|≥|x3－x2|时，y1≥y3≥y2；
当|x1－x2|≤|x3－x2|时，y3≥y1≥y2.故选项A不正确，选项B无法确定，不符合题意；
当y1＞y3≥y2时，y2是最小值，此时a＜0，－>0，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，
∴|x1－x2|＞|x2－x3|，故选项D正确，符合题意．
二、11.－1 12.y＝x2＋5(答案不唯一) 13.1
14．－3≤y≤1 15.(2，4)
16. 点拨：设AP＝x cm，BE＝y cm.如图，
在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.∵PE⊥DP，∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠1＝∠3.∴Rt△ADP∽Rt△BPE.∴＝，
即＝.整理得y＝－(x－5)2＋(0＜x＜10)，
∴当x＝5时，y有最大值.∴BE的最大长度为 cm.
三、17.解：(1)∵二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)，∴9＋6＋m＝0，解得m＝－15.
(2)∵y＝x2＋2x－15＝(x＋1)2－16，
∴二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1.
∵1＞0，∴当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大．
18．解：(1)将点A(1，0)的坐标代入y＝(x－2)2＋m，
得(1－2)2＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2－1.图象的对称轴为直线x＝2.令x＝0，则y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．
∵点C和点B关于直线x＝2对称，
∴点B的坐标为(4，3)．
将A(1，0)，B(4，3)的坐标分别代入y＝kx＋b中得解得
∴一次函数的表达式为y＝x－1.
(2)满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围为1≤x≤4.
19．解：(1)题中设鸡场的一边AB长为x m，则平行于墙的一边BC长为(36－3x)米，
根据题意得：S＝(36－3x)x＝－3x2＋36x，
∵0<36－3x≤20，∴≤x<12.
(2)根据题意得：－3x2＋36x＝96，解得x1＝4，x2＝8，
∵≤x<12，∴x＝8.
(3)≤x≤7 点拨：由题意得：－3x2＋36x≥105，
∴5≤x≤7，∵≤x<12，∴≤x≤7.
20．解：设销售单价定为x元，获得的月利润为w元，
由题意得w＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000，
∴当x＝70时，w最大＝9 000.
答：当销售单价定为70元时，获得的月利润最大，最大月利润是9 000元．
21．解：(1)∵抛物线与y轴交于点B(0，3)，
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋3.
又∵A(－1，0)，E(3，0)在抛物线上，
∴解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点D的坐标为(1，4)．过点D作DF⊥x轴于点F，
易知F(1，0)，所以OF＝1，DF＝4.
∵E(3，0)，∴EF＝2，
∵A(－1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.
∴S四边形AEDB＝S△ABO＋S梯形BOFD＋S△DEF＝AO·BO＋(BO＋DF)·OF＋EF·DF＝×1×3＋×(3＋4)×1＋×2×4＝9.
∴四边形AEDB的面积为9.
22．解：(1) ∵该抛物线经过A(－3，n)，B(2，n)两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝－.
∴－＝－.∴b ＝1.
(2) 由(1)得，该抛物线的表达式为y＝x2＋x＋c，
∵该抛物线对称轴为直线x＝－，且当－1＜x＜1时，
抛物线与x轴有且只有一个公共点，
①当公共点是顶点时，Δ＝1－4c＝0，解得c＝.
②当公共点不是顶点时，即x＝－1时，1－1＋c≤0；
x＝1时，1＋1＋c＞0.解得－2＜c≤0.
综上所述，c的取值范围是c＝或－2＜c≤0.
(3)由(1)知b＝1.∵方程x2 ＋ x＋c＝0的两实根为x1，x2，
∴抛物线y＝x2＋x＋c与x轴交点的横坐标为x1，x2，
∴＝－，∴x1＋x2＝－1.即x2＝－1－x1.
∵3≤x2－x1＜9，∴3≤(－1－x1) －x1＜9.
∴－5＜x1≤－2.
∴p＝ x－3x＝x－3(－1－x1)2＝－2(x1＋)2＋.
∵当－5＜x1≤－2时，p随x1的增大而增大，
∴当x1＝－2时，p取最大值，p的最大值为1.