2023届高考数学三角函数微专题——Asin(ωx φ)图形及性质 讲义（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023届高考数学三角函数微专题——Asin(ωx φ)图形及性质 讲义（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 862.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-29 05:59:07 | ||
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文档简介
图像及性质
涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，常用整体代换转为正弦函数处理。
注：处理方法类似，故以正弦为主进行分析。
一、方法梳理
1.的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
2.确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。
二、典型例题
例1.（多选）已知，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期是 B．最大值为
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
例2.已知函数，求函数的最小正周期，及对称轴方程.
自主练习
1.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
2.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数
B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数
D．周期为,图象关于点对称
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
例3.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
自主练习
1.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解析式为
B. 的对称轴方程为，
C. 的一个单调递增区间为
D. 的一个单调递减区间为
2.已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例4.已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________
自主练习
1.已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________
三、综合练习
1.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
2.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3.设函数在[ π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
7.（多选）已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
图像及性质解析
涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，常用整体代换转为正弦函数处理。
注：处理方法类似，故以正弦为主进行分析。
一、方法梳理
1.的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
2.确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。
二、典型例题
例1.（多选）已知，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期是 B．最大值为
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
【答案】BD
【解析】，明显可得，
A错，B对；
对于C，因为，所以，的图象不关于对称，C错；
对于D，因为，所以，的图象关于对称，D对；故选:BD。
例2.已知函数，求函数的最小正周期，及对称轴方程.
【答案】
所以函数的最小正周期.
令得对称轴方程为.
自主练习
1.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确. 故选：B.
2.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数
B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数
D．周期为,图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
则，单调递增，为偶函数， 正确错误；
最大值为，当时，为对称轴，正确；
，取，当时满足，图像关于点对称，正确；
故选：
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
例3.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）、.
【详解】
（1）由图可得函数的最小正周期为，
所以，，
，则，
，则，，则，所以，，
因为，所以，，所以，；
（2）由题意可得，
令，，得，，
记，则.
因此，函数在上的增区间是、.
自主练习
1.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解析式为
B. 的对称轴方程为，
C. 的一个单调递增区间为
D. 的一个单调递减区间为
【答案】D
【详解】由图易得最大值为2，即，
得，所以，即，
因为图象过点，所以，所以，，所以，由于，所以，所以的解析式为，故A错误；令，解得，
即的对称轴方程为，，故B错误；
当时，，所以在内单调减，故不能为增区间，故C错误；当时，，所以的一个单调递减区间为，故D正确，
故选：D.
2.已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，，
所以，，或，
因为，所以，所以，因为，所以，
所以，，或
因为，所以，所以，
由，解得，
所以的单调递减区间为， 故选：D
例4.已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________
【解析】可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离可得，从而，由最小值点可得到两个信息：一个是，另一个是点即为求所要代入的特殊点。此时，则，即，解得：，所以
答案：
自主练习
1.已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________
【解析】先求出的值，由题目所给最值可得：，再由对称轴距离为可求得，从而。此时函数解析式为，因为一条对称轴为，所以，由得：
，当取到最大值时，即，所以，进而，解析式为
答案：
三、综合练习
1.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】因为直线是的对称轴,
所以,则,
当时,,则,对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误
故选：AC
2.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
3.设函数在[ π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.所以函数最小正周期为, 故选:C．
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由函数图象可知在上单调，且，得的一个对称中心为，即，结合为的最大值点可知，所以，由解得，所以，因为经过点 所以，即，
所以，，解得，当时，
所以，所以
故选：D
5.函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
过，，,
或，又， 向右平移个单位，得，即，令，，,时，为的一条对称轴的方程，故选D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【解析】，A正确；
可得.由图可知时函数取最大值，
所以因为，所以，B错误；
因为为图象的一条对称轴，
若，则，所以，C正确、D错误. 故选:AC。
7.（多选）已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
【答案】BC
【解析】由题意得，即，
又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以，所以只有时满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.
故选:BC。
涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，常用整体代换转为正弦函数处理。
注：处理方法类似，故以正弦为主进行分析。
一、方法梳理
1.的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
2.确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。
二、典型例题
例1.（多选）已知，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期是 B．最大值为
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
例2.已知函数，求函数的最小正周期，及对称轴方程.
自主练习
1.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
2.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数
B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数
D．周期为,图象关于点对称
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
例3.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
自主练习
1.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解析式为
B. 的对称轴方程为，
C. 的一个单调递增区间为
D. 的一个单调递减区间为
2.已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
例4.已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________
自主练习
1.已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________
三、综合练习
1.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
2.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3.设函数在[ π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
7.（多选）已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
图像及性质解析
涉及到的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得得到，常用整体代换转为正弦函数处理。
注：处理方法类似，故以正弦为主进行分析。
一、方法梳理
1.的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价。
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围
2.确定解析式要注意的几个问题：
（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定。
（2）求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。
二、典型例题
例1.（多选）已知，下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期是 B．最大值为
C．的图象关于对称 D．的图象关于对称
【答案】BD
【解析】，明显可得，
A错，B对；
对于C，因为，所以，的图象不关于对称，C错；
对于D，因为，所以，的图象关于对称，D对；故选:BD。
例2.已知函数，求函数的最小正周期，及对称轴方程.
【答案】
所以函数的最小正周期.
令得对称轴方程为.
自主练习
1.已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确. 故选：B.
2.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )
A．在上单调递增,为偶函数
B．最大值为1,图象关于直线对称
C．在上单调递增,为奇函数
D．周期为,图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】
则，单调递增，为偶函数， 正确错误；
最大值为，当时，为对称轴，正确；
，取，当时满足，图像关于点对称，正确；
故选：
根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
例3.已知函数在一个周期内的图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.
【答案】（1）；（2）、.
【详解】
（1）由图可得函数的最小正周期为，
所以，，
，则，
，则，，则，所以，，
因为，所以，，所以，；
（2）由题意可得，
令，，得，，
记，则.
因此，函数在上的增区间是、.
自主练习
1.已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 的解析式为
B. 的对称轴方程为，
C. 的一个单调递增区间为
D. 的一个单调递减区间为
【答案】D
【详解】由图易得最大值为2，即，
得，所以，即，
因为图象过点，所以，所以，，所以，由于，所以，所以的解析式为，故A错误；令，解得，
即的对称轴方程为，，故B错误；
当时，，所以在内单调减，故不能为增区间，故C错误；当时，，所以的一个单调递减区间为，故D正确，
故选：D.
2.已知函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图可知，，
所以，，或，
因为，所以，所以，因为，所以，
所以，，或
因为，所以，所以，
由，解得，
所以的单调递减区间为， 故选：D
例4.已知函数的图像与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为，则的解析式为____________
【解析】可从文字叙述中得到图像的特点，从而求出参数的值：相邻交点距离可得，从而，由最小值点可得到两个信息：一个是，另一个是点即为求所要代入的特殊点。此时，则，即，解得：，所以
答案：
自主练习
1.已知函数的最大值为4，最小值为0，两条对称轴之间最短距离为，直线是其图像的一条对称轴，则函数解析式为________
【解析】先求出的值，由题目所给最值可得：，再由对称轴距离为可求得，从而。此时函数解析式为，因为一条对称轴为，所以，由得：
，当取到最大值时，即，所以，进而，解析式为
答案：
三、综合练习
1.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．若，则的最小值为
D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】因为直线是的对称轴,
所以,则,
当时,,则,对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误
故选：AC
2.函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
3.设函数在[ π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得.所以函数最小正周期为, 故选:C．
4.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由函数图象可知在上单调，且，得的一个对称中心为，即，结合为的最大值点可知，所以，由解得，所以，因为经过点 所以，即，
所以，，解得，当时，
所以，所以
故选：D
5.函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
过，，,
或，又， 向右平移个单位，得，即，令，，,时，为的一条对称轴的方程，故选D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】AC
【解析】，A正确；
可得.由图可知时函数取最大值，
所以因为，所以，B错误；
因为为图象的一条对称轴，
若，则，所以，C正确、D错误. 故选:AC。
7.（多选）已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
【答案】BC
【解析】由题意得，即，
又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以，所以只有时满足，此时，即，因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，即，故D错误.
故选:BC。
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