2022-2023学年 北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷(含答案)

第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，那么sin B等于(　　)
A. B. C. D.
2．如果α是锐角，sin α＝，那么tan α的值是(　　)
A. B. C. D.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为(　　)
A. B. C. D.
4．如图，在边长为1的4×4的正方形网格中，D为AB与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是(　　)
A．tan A＝ B．∠ACB＝90°
C．CD≠AB D．cos B＝
(第4题)　　　 (第5题)
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB的垂直平分线MN交 AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝0.6，则BC的长为(　　)
A．4 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为(　　)
A. B.
C. D.
(第6题)　　　 (第7题)
7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 km到B港，然后沿北偏西40°方向航行到C港，C港在A港的北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为(　　)
A．(30＋30) km B．30 km
C．(10＋30) km D．(30＋10) km
8．如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BD于点F，交CD于点E，∠EAC＝15°，AB＝2，则EF的长为(　　)
(第8题)
A．2－2 B.－
C．2－2 D.－1
二、填空题(每小题3分，共15分)
9．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，则BC的长是________．
(第10题)　　　 (第11题)
11．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20 m，则BC＝________m.
12．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12?5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(参考数据：tan 50°≈1.2)
(第12题)　 　 (第13题)
13．如图，Rt△AOB的顶点在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，则k的值为________．
三、解答题(共13小题，共81分)
14．(5分)计算：
2sin 60°tan 60°－sin 45°cos 60°.
15．(5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值及正切值．
16．(5分)如图，在△ABC中，已知sin A＝，AC＝12，AB＝8.
(1)求△ABC的面积；
(2)用没有刻度的直尺和圆规在边AC上确定点D，使得AD＋DB＝AC.(保留作图痕迹，不写作法)
(第16题)
17．(5分)如图，在正方形ABCD中，G是BC上一点，AB＝4，BG＝3，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求：
(第17题)
(1)∠DAG的正弦值；
(2)EF的长．
18．(5分)某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，AD＝5 m，求这棵大树AB的高．(结果保留根号)
(第18题)
19．(5分)在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架．如图所示，卡槽的宽度EF与内三角形ABC的AB边长相等．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，一部手机的最长边为17 cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽内？请说明你的理由．(参考数据：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)
(第19题)
20．(5分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠CDA＝120°，BC＝5，CD＝4，DA＝6，求四边形ABCD的面积．
(第20题)
21．(6分)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15 m，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)
(第21题)
22．(7分)一个一次函数的图象与y轴的交点为(0，1)，且经过点A(2，3)．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)点A，B在某个反比例函数的图象上，点B的横坐标为6，将点B向上平移2个单位长度得到点C，求cos∠ABC的值．
23．(7分)宝鸡电视塔是陕西省第二座水泥电视塔，是宝鸡地标建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测量宝鸡电视塔的高度BD.小辉先在地面上A处放置了一块平面镜，从A点向后退了2.4 m至F处，他的眼睛E恰好看到了平面镜中电视塔顶端B的像；然后从点F处沿水平方向前进52.4 m到达C点，此时测得电视塔顶端B的仰角∠BCD是45°，已知D、C、A、F在同一水平线上，BD⊥FD，EF⊥FD，EF＝1.8 m，求电视塔的高度BD.(平面镜的大小忽略不计)
(第23题)
24．(8分)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75 m到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼MN的高度．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，点N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6)
(第24题)
25．(8分)如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200 m．当小宇沿滨海大道向东步行200 m到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的路程．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48)
(第25题)
26．(10分)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图①所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a m的点D处，测角仪高为b m，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度；(用含a，b，α的代数式表示)
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图②所示，现将一高度为2 m的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1 m，再将木杆沿着BC方向移动1.8 m至DE的位置，此时测得其影长DF为3 m，求灯杆AB的高度．
(第26题)
答案
一、1.B　2.B　3.B　4.C　5.A　6.D　7.D　8.B
二、9.60°　10.2　11.(20－20)　12.10　13.6
三、14.解：原式＝2××－××＝3－＝.
15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝＝13，
∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝.
16．解：(1)如图，过点B作BH⊥AC于点H.
(第16题)
∵sin A＝＝，AB＝8，∴BH＝6，
∴S△ABC＝·AC·BH＝×12×6＝36.
(2)如图．
17．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°.
∴∠BAG＋∠AGB＝∠BAF＋∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠AGB.
∵AB＝4，BG＝3，∴AG＝＝5，
∴sin∠DAG＝sin∠AGB＝＝.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.
由(1)知∠ABC＝∠BAD＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°.
∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE.
∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°.
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AE＝BF.
∵∠AFB＝90°，∴∠BFG＝90°.
∵sin∠BGF＝＝，BG＝3，∴BF＝，
∴AF＝＝＝，
∴EF＝AF－AE＝AF－BF＝－＝.
18．解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°.
在Rt△AED中，∠ADC＝45°，
∴AE＝DE＝AD·cos 45°＝5×＝5(m)，
在Rt△AEC中，∠ACD＝60°，
∴CE＝＝＝(m)，
AC＝＝＝(m)，
∴AB＝AC＋CE＋ED＝＋＋5＝5＋5(m)．
故这棵大树AB的高为(5＋5)m.
19．解：王浩同学能将此手机立放入卡槽内．
理由如下：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20 cm，
∴AD＝AC·sin 50°≈20×0.8＝16(cm)，
CD＝AC·cos 50°≈20×0.6＝12(cm)，
∴DB＝BC－CD≈18－12＝6(cm)，
∴AB＝≈＝(cm)，
∴EF＝AB＝ cm.
∵17＝<，
∴王浩同学能将此手机立放入卡槽内．
20．解：如图，延长AD，BC相交于点E.
(第20题)
∵∠BCD＝∠CDA＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，∴∠E＝60°，
∴△EDC为等边三角形，
∴ED＝DC＝CE＝4，∴易得S△DEC＝＝4.
在△ABE中，AE＝AD＋DE＝6＋4＝10，
BE＝BC＋EC＝5＋4＝9，∠E＝60°，
∴易得S△ABE＝AE·BE·sin 60°＝×10×9×sin 60°＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△EDC＝－4＝.
21．解：在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan 42.0°＝≈0.9，∴AD≈0.9BD.
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan 36.9°＝≈0.75，∴CD≈0.75BD.
∵AC＝AD－CD，∴15≈0.15BD，
∴BD≈100 m，∴CD≈0.75BD≈75 m.
答：山高CD约为75 m.
22．解：(1)设这个一次函数的表达式为y＝kx＋1，
把点A(2，3)的坐标代入，得3＝2k＋1，解得k＝1，
∴这个一次函数的表达式为y＝x＋1；
(2)设反比例函数的表达式为y＝，
把点A(2，3)的坐标代入，得3＝，解得m＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
当x＝6时，y＝＝1，
∴B(6，1)，∴AB＝＝2.
∵将点B向上平移2个单位长度得到点C，
∴C(6，3)，BC＝2，
∵A(2，3)，C(6，3)，∴AC∥x轴，
∵B(6，1)，C(6，3)，∴BC⊥x轴，∴AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形，
∴cos∠ABC＝＝＝.
23．解：由题意可得，AF＝2.4 m，AC＝FC－AF＝52.4－2.4＝50(m)，
设BD＝x m，∵∠BCD＝45°，
∴CD＝x m，AD＝(50＋x)m，
根据入射角等于反射角可得∠EAF＝∠BAD，
又∵∠EFA＝∠BDA＝90°，
∴△EFA∽△BDA，∴＝，
即＝，解得x＝150.
答：电视塔的高度BD是150 m.
24．解：过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E，F，
∴∠BEA＝∠BFN＝∠BFM＝∠MNA＝90°，
∴四边形BENF为矩形，∴BE＝FN，BF＝NE.
设MN＝x m，在Rt△ABE中，
∵斜坡AB的坡度i＝3∶4，即＝，
∴sin∠BAE＝＝.
∵AB＝75 m，∴BE＝45 m，AE＝60 m，
∴FN＝45 m，∴MF＝(x－45)m.
在Rt△AMN中，∵tan∠MAN＝，∠MAN＝58°，
∴tan 58°＝≈1.6，∴AN≈x m，
∴NE＝AN＋AE≈m.
在Rt△BMF中，∵tan∠MBF＝，∠MBF＝22°，
∴tan 22°＝≈0.4，∴BF≈(x－45)m，
∴x＋60≈(x－45)，解得x≈92，
∴大楼MN的高度约为92 m.
25．解：如图，过点C作CF⊥DE于点F.
(第25题)
由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，
在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝CB×tan 68°≈200×2.48＝496(m)，
∴BE＝AB－AE≈496－200＝296(m)．
∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，
∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE≈296 m.
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，
∵sin D＝，∴CD＝≈＝462.5(m)．
答：观光船从C处航行到D处的路程约为462.5 m.
26．解：(1)如图．
(第26题)
由题意得BD＝a m，CD＝b m，∠ACE＝α，
∠B＝∠D＝∠CEB＝90°，
∴四边形CDBE为矩形，
则BE＝CD＝b m，BD＝CE＝a m，
在Rt△ACE中，tan α＝ ，
即AE＝CE×tan α＝atan α m，
而AB＝AE＋BE，故AB＝(atan α＋b)m，
答：灯杆AB的高度为(atan α＋b)m.
(2)由题意可得，AB∥GC∥ED，GC＝ED＝2 m，CH＝1 m，DF＝3 m，CD＝1.8 m.
易知△ABF∽△EDF，此时＝，
即＝.①
易知△ABH∽△GCH，此时＝，
＝2，②
联立①②，得解得
答：灯杆AB的高度为3.8 m.