二轮专题复习：专题八 第二讲 数形结合思想（共36张PPT）
文档属性
| 名称 | 二轮专题复习：专题八 第二讲 数形结合思想（共36张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-02 00:50:22 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
专题八 思想方法专题
第二讲 数形结合思想
以数助形与以形助数
数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
代数问题几何化与几何问题代数化
数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
数形结合解决广泛的数学问题
数形结合思想解决的相关问题．
数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：
(1)考查集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．
(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)．
(3)考查运用向量解决有关问题．
(4)考查三角函数的图象及其应用．
(5)解析几何、立体几何中的数形结合．
1．函数y＝log2 的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(－2，2)关于原点对称，又f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A.
答案：A
2．方程 的实数解的个数是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．以上均不对
解析：在同一坐标系内作出 的图象如下图所示．
答案：B
3．设集合A，B是全集U的两个子集，则A? B是( UA)∪B＝U的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图，
A ?B时，有( UA)∪B＝U；
A＝B时，有( UA)∪B＝U成立．
综合以上情形，可得A ?B ( UA)∪B＝U，但( UA)∪B＝UD A B.
答案：A
/
4．(2012年天津卷)已知函数y＝ 的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：解法一：
解法二：
作出函数的图象，要使函数y与y＝kx－2有两个不同的交点，则直线y＝kx－2必须在四边形区域ABCD内(和直线y＝x＋1平行的直线除外)，如图，则此时直线经过B(1,2)，k＝ ＝4.
综上所述，k的取值范围是0答案：(0,1)∪(1,4)
突破点1 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题
(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝ f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
解析：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点．
误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误．
规律方法：(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答. (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.
跟踪训练
1．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
答案：－8
突破点2 用数形结合解决参数、代数式的最值、取值范围问题
思路点拨：(1)此题令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．
(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组 表示区域的点的连线的斜率的范围．
得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，
令Δ＝0，解得b＝±13.
故y－3x的最大值为13，最小值为－13.
(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)，
误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝ 得到点 (－1，－3)的坐标时，很容易写成(1,3)，所以做题时要看清顺序．
规律方法：如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
跟踪训练
2．若例题2(1)中条件不变，求5x＋4y的最大值与最小值．
突破点3 数形结合思想在几何中的应用
规律方法：(1)本题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系和综合运算的能力，属于中档难度题.
(2)先由图象特点，将面积之比转化为线段长度之比，再利用抛物线的定义和三点共线(即斜率)解决，体现了数形结合思想.
跟踪训练
3．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于点A，B.
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值．
(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)如图所示，依题意，点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线AB的方程为y＝kx＋p与x2＝2py联立，消去y，得x2－2pkx－2p2＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.
(2)如图所示，假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a.
设AC的中点为点O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为点H.
1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．
2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立几、解几、向量、不等式等．
3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．
专题八 思想方法专题
第二讲 数形结合思想
以数助形与以形助数
数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
代数问题几何化与几何问题代数化
数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．
数形结合解决广泛的数学问题
数形结合思想解决的相关问题．
数形结合思想应用广泛，高考试题对数形结合的考查主要涉及：
(1)考查集合及其运算问题(韦恩图与数轴)．
(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质等)．
(3)考查运用向量解决有关问题．
(4)考查三角函数的图象及其应用．
(5)解析几何、立体几何中的数形结合．
1．函数y＝log2 的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(－2，2)关于原点对称，又f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A.
答案：A
2．方程 的实数解的个数是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．以上均不对
解析：在同一坐标系内作出 的图象如下图所示．
答案：B
3．设集合A，B是全集U的两个子集，则A? B是( UA)∪B＝U的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：如图，
A ?B时，有( UA)∪B＝U；
A＝B时，有( UA)∪B＝U成立．
综合以上情形，可得A ?B ( UA)∪B＝U，但( UA)∪B＝UD A B.
答案：A
/
4．(2012年天津卷)已知函数y＝ 的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
解析：解法一：
解法二：
作出函数的图象，要使函数y与y＝kx－2有两个不同的交点，则直线y＝kx－2必须在四边形区域ABCD内(和直线y＝x＋1平行的直线除外)，如图，则此时直线经过B(1,2)，k＝ ＝4.
综上所述，k的取值范围是0
突破点1 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题
(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝ f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
解析：(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点．
误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误．
规律方法：(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答. (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.
跟踪训练
1．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
答案：－8
突破点2 用数形结合解决参数、代数式的最值、取值范围问题
思路点拨：(1)此题令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．
(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组 表示区域的点的连线的斜率的范围．
得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，
令Δ＝0，解得b＝±13.
故y－3x的最大值为13，最小值为－13.
(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)，
误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝ 得到点 (－1，－3)的坐标时，很容易写成(1,3)，所以做题时要看清顺序．
规律方法：如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
跟踪训练
2．若例题2(1)中条件不变，求5x＋4y的最大值与最小值．
突破点3 数形结合思想在几何中的应用
规律方法：(1)本题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系和综合运算的能力，属于中档难度题.
(2)先由图象特点，将面积之比转化为线段长度之比，再利用抛物线的定义和三点共线(即斜率)解决，体现了数形结合思想.
跟踪训练
3．在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p＞0)相交于点A，B.
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值．
(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
解析：(1)如图所示，依题意，点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线AB的方程为y＝kx＋p与x2＝2py联立，消去y，得x2－2pkx－2p2＝0.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.
(2)如图所示，假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a.
设AC的中点为点O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为点H.
1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．
2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立几、解几、向量、不等式等．
3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．
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