高中数学北师大版(2019)必修第一册单元测试卷——第四章A卷(含答案解析)

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名称 高中数学北师大版(2019)必修第一册单元测试卷——第四章A卷(含答案解析)
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-05 21:11:07

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文档简介

一、单选题
1.在同一直角坐标系中,函数且的图象可能是
A. B.
C. D.
2.设则( )
A. B.
C. D.
3.设,则( )
A. B. C. D.
4.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( )
A.等于1 B.等于lg2 C.等于0 D.不是常数
5.已知,,,则的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对是函数的一个“友好点对”(注:点对与看作同一个“友好点对”).已知函数,则此函数的“友好点对”有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7.如果某种放射性元素每年的衰减率是,那么的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)等于( )
A. B. C. D.
8.若,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.已知函数,若,则实数a的值是_______.
10.__________.
11.______.
12.的值等于_____.
三、解答题
13.已知函数的图像恒过定点,且点又在函数的图像上.
(1)求实数的值;
(2)解不等式;
(3)有两个不等实根时,求的取值范围.
14.已知幂函数在上单调递增.
(1)求的值;
(2)当时,记的值域为集合,若集合,且,求实数的取值范围.
15.(1)已知,由证明;
(2)由对数的定义证明换底公式.
16.已知定义在R上的函数f(x)=kx+log9(9x+1)(k∈R)
(1)若k=0,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)是偶函数,求实数k的值.
17.计算下列各式的值:
(1);
(2);
(3);
(4).
18.计算或化简:
(1);
(2).
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况,分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和,结合选项,判断得出正确结论.题目不难,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时,函数过定点且单调递减,则函数过定点且单调递增,函数过定点且单调递减,D选项符合;当时,函数过定点且单调递增,则函数过定点且单调递减,函数过定点且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.
【点睛】易出现的错误有,一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟,导致判断失误;二是不能通过讨论的不同取值范围,认识函数的单调性.
2.A
【解析】根据对数函数的单调性先比较与的大小,与的大小,再将分别与比大小,即可得出结论.
【详解】解:

.
故选:A.
【点睛】本题考查比较对数式的大小,利用对数函数的单调性是解题的关键,要注意与第三数比大小,属于基础题.
3.B
【分析】根据已知等式,利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得,所以,
所以有,
故选:B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题,涉及到的知识点有对数的运算法则,指数的运算法则,属于基础题目.
4.C
【分析】由已知等式,求出关系,代入所求式子,即可求解.
【详解】,

.
故选:C
【点睛】本题考查对数的运算法则,解题时要认真审题,属于基础题.
5.D
【解析】根据对数、指数的性质比较大小即可.
【详解】,,,
∴,
故选:D
【点睛】本题考查了指数、对数比较大小,根据对应函数的性质结合边界值0、1比较大小,属于简单题.
6.C
【分析】根据题意“友好点对”的定义,欲求的“友好点对”,只须作出函数的图象关于原点对称的图象,以及函数的图象,结合图象交点的个数,即可求解.
【详解】由题意,当时,可得,则,
则函数的图象关于原点对称的函数是,
根据题意,作出函数的图象及函数的图象,
如图所示,根据图象可得两个函数的图象共有两个公共点,
即函数的“友好点对”有2对.
故选:C.
7.C
【分析】设物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间),可以得出一个方程,两边取对数,即可求出.
【详解】千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为,
,两边取对数,
,即,
.
故选C.
【点睛】本题以实际问题为问题载体,考查指数函数模型的构建及解指数方程,属于基础题.
8.A
【分析】根据题意,以及指数和对数的函数的单调性,来确定a,b,c的大小关系.
【详解】解:是增函数

是增函数.



.
【点睛】本题考查三个数的大小的求法,考查指数函数和对数函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.根据题意,构造合适的对数函数和指数函数,利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.
9.7
【解析】根据解析式把求出,代入可得实数a的值.
【详解】因为,
所以,
即,解得.
故答案为:7.
【点睛】本题主要考查函数求值,根据解析式代入解方程是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
10.6
【分析】先计算,再计算第一部分,利用对数的概念计算第二部分,然后得到答案.
【详解】,
故答案为:6.
【点睛】本题考查指数幂,和对数的求值,注意正确使用指数幂的运算法则.
11.3
【解析】利用对数性质、对数的运算法则以及换底公式可求得其值.
【详解】
,
故答案为:3.
【点睛】本题考查对数的运算法则,在运用时,需熟记其运算公式和法则,常常把底数和真数化成幂的形式,较好地运用法则,属于基础题.
12.2
【分析】利用对数的运算性质进行计算即可.
【详解】=2×=2×=2.
故答案为:2
【点睛】本题考查对数的运算性质的应用,属于简单题.
13.(1);(2);(3).
【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2),代入即可求得的值;
(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集;
(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点,结合函数图形确定范围即可求参数范围
【详解】解:(1)函数的图像恒过定点A,A点的坐标为(2, 2)
又因为A点在上,则:
(2)由题意知:
而在定义域上单调递增,知
,即
∴不等式的解集为
(3)由知:,方程有两个不等实根
若令,有它们的函数图像有两个交点,如下图示
由图像可知:,故b的取值范围为
【点睛】本题考查了函数过定点求参数,根据对数函数的单调性求解集,方程的根转化为函数图象的交点问题,结合函数图象求参数范围
14.(1);(2)或.
【解析】(1)由幂函数的定义可得;
(2)求出的值域,再由集合交为空集的含义可得.
【详解】(1)∵为幂函数,∴,∴或2.
当时,在上单调递增,满足题意.
当时,在上单调递减,不满足题意,舍去.
∴.
(2)由(1)知,.∵在上单调递增,∴
由于此题中,要满足,只需,.
【点睛】此题考查幂函数概念、空集概念、集合交运算,属于基础题.
15.(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)将指数式化为对数式,然后利用对数运算,证得等式成立.
(2)由两边取以为底的对数,然后利用对数运算,证得等式成立.
【详解】证明:(1)设,则且,两边取以a为底的对数,得,故,得证.
(2)设,则,两边取以c为底的对数,得,,,即,得证.
【点睛】本小题主要考查对数运算,考查推理论证能力,属于基础题.
16.(1)(0,+∞);
(2)k.
【解析】(1)利用指数函数、对数函数的单调性进行求解即可;
(2)利用偶函数的性质进行求解即可.
【详解】(1)k=0时,,
∵9x>0,
∴9x+1>1,
∴,
∴f(x)的值域为(0,+∞);
(2)∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
∴,
∴﹣(k+1)x=kx,
∴﹣(k+1)=k,解得k.
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性,考查了偶函数的性质,考查了数学运算能力.
17.(1)2 (2)(3)19(4)1
【解析】(1)利用对数运算公式,化简求得表达式的值.
(2)利用对数运算公式,化简求得表达式的值.
(3)利用对数运算公式,化简求得表达式的值.
(4)利用对数运算公式,化简求得表达式的值.
【详解】(1).
(2).
(3).
(4)
.
【点睛】本小题主要考查对数运算,考查运算求解能力,属于基础题.
18.(1);(2).
【解析】(1)利用指数与对数的运算性质即可求解.
(2)利用对数的运算性质即可求解.
【详解】(1)原式)
.
(2)原式
.
【点睛】本题考查了指数与对数的运算,需熟记指数与对数的运算性质,属于基础题.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页