高中数学北师大版（2019）必修第一册单元测试卷——第四章B卷（含解析）

一、单选题
1．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，，，其中、为正数且，，则（ ）
A．对任意的和，都有
B．存在和，使得
C．，，，中大于1的数有奇数个
D．存在和，使得
7．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
8．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是(a>0且a≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（ ）
A．池塘中原有浮草的面积是0.5平方米
B．第8个月浮草的面积超过60平方米
C．浮草每月增加的面积都相等
D．若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2>t1+t3
11．给出下列结论，其中不正确的结论是（ ）
A．函数的最大值为
B．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
D．已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
12．设函数，若实数，，满足，且则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知2x＝7y＝196，则_____．
14．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.
15．已知函数，，则________．
16．已知且，，若有最大值，则的取值范围是________
四、解答题
17．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
18．已知幂函数在上为增函数.
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）若（且），是否存在实数使在区间上的最大值为2，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19．已知设函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明；
（3）求使的取值范围.
20．已知函数(，)，且.
（1）求a的值，并判定在定义域内的单调性，请说明理由；
（2）对于，恒成立，求实数m的取值范围.
21．已知函数，其中．
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求使成立的的集合．
22．已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】根据已知条件，由对数函数的单调性可得，然后利用反比例函数的单调性可以否定A；利用幂函数和指数函数的单调性，将不等式两边的数与中间量比较大小，可以证明B；根据对数函数的性质，当时可以否定C；由指数函数的性质可以否定D.
【详解】为定义在上的单调减函数，故由已知可得，
∵反比例函数在上的单调减函数，∴,故A错误；
,∴幂函数在上的单调递增，又∵,∴；
∵，∴指数函数在上的单调递减，又∴.
∴，故B正确；
由已知只能得到,
当时,故C错误；
由可得,故D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查幂指对函数的性质，属基础题.综合利用幂指对函数的单调性比较大小，应当熟练掌握幂指对函数的单调性，对于幂函数，在指数大于0时，在第一象限内单调递增，当指数小于0时，在第一象限内单调递减；对于指数函数和对数函数，当底数大于1时在定义域内单调递增，当底数大于0小于1时在定义域内单调递减.
2．A
【分析】利用对数函数的单调性比较、的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出、的大小关系，从而可得出、、的大小关系.
【详解】对数函数在上为增函数，
因为，
所以，
，，，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，还考查逻辑推理能力，属于中档题.
3．A
【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.
【详解】，，
即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，
由于函数为偶函数，则，即，
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.
4．C
【分析】由指数函数的性质，求得函数是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得函数为单调递增函数，
可得函数是定义域上的单调递减函数，
又因为，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
5．A
【解析】利用导数分析函数的单调性以及函数值符号，由此可得出函数的图象.
【详解】对于函数，该函数的定义域为，求导得.
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为，即对任意的，.
所以，函数的定义域为，且，
函数的单调递增区间为，递减区间为.
所以，函数的图象如A选项中函数的图象.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．BD
【分析】应用特殊值法：有、且，，，中大于1的数有偶数个；有，由此即可判断选项正误
【详解】由、为正数且，，若令，则，
∴根据选项中描述，知：A、C错误，B正确
当时，分类讨论如下
若：，有，而，即
若：取，，，，满足，故D正确
故选：BD
【点睛】本题考查了对数、指数比较大小，利用特殊值法排除错误选项即可
7．A
【分析】对于AC:直接求出定义域，即可判断；
对于B:取特殊情况，a=0时，值域为R，否定结论；
对于D:取特殊情况，a=-4时否定结论.
【详解】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
8．C
【分析】由可得到,然后利用指数函数、对数函数的单调性逐一判定.
【详解】,
∴函数为单调减函数，为单调增函数，为单调减函数，为单调增函数，
∴，，，
，故ABD错误，C正确.
故选：C.
【点睛】本题考查利用指数对数函数的单调性判定大小问题，关键是根据所要研究的式子寻找合适的函数，利用函数的单调性进行比较判定.
9．BC
【分析】根据指对幂函数的性质，即可比较各选项中函数值的大小.
【详解】A选项：为单调减函数，所以；
B选项：与，当时，当时，所以；
C选项：在时，而在时，所以；
D选项：在上单调递增，所以；
故选：BC.
【点睛】本题考查了利用指对幂函数的性质比较数、式的大小，应用了函数思想，属于基础题.
10．ABD
【分析】由函数的图像可知，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2，从而可得函数的解析式为，然后利用函数的解析式逐个分析计算即可得答案
【详解】浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是 (a>0且a≠1)，函数的图象经过(2，2)，所以，解得a=2.
当t=0时，y=，故选项A正确;
当第8个月时，，故B正确;
当t=1时，y=1，增加0.5，当t=2时，y=2，增加1，故每月增加的面积不相等，故C错误.
根据函数的解析式，解得t1=log210+1，
同理t2=log220+1，t3=log230+1，
所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2，所以2t2>t1+t3.故D正确.
故选：ABD
【点睛】此题考查指数型函数模型的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
11．AB
【分析】由复合函数的单调性可求的最大值、在上减函数时a的范围，结合指对数函数图象的关系、奇函数的性质可判断C、D的正误；
【详解】1、函数中，若令，即有，故A错误；
2、函数（且）在上是减函数，知：，即有，故B错误；
3、函数与互为反函数，图象关于直线对称，故C正确；
4、定义在R上的奇函数在内有1010个零点，由函数的对称性可知在内有1010个零点，即函数的零点个数为2021，故D正确；
故选：AB
【点睛】本题考查了指对数函数的性质，利用函数的单调性、奇偶性、对称性以及反函数知识判断正误；
12．ABC
【分析】由函数零点与方程的根的关系，作出函数的图象，然后利用作差法比较大小，即可求解.
【详解】解：由题意，实数，，满足，且，
结合图象，可得，即，且，
可得和恒成立，即A、B恒成立；
又由，所以，所以C恒成立；
又由，当时，的符号不能确定，
所以D不恒成立，
故选：ABC.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及对数函数图象的应用，其中解答中正确作出函数的图象，得到的关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档题.
13．．
【分析】把已知的等式指数幂形式转化对数形式，求出，再用换底公式，即可求出结论.
【详解】，
.
故答案为:
【点睛】本题考查指数幂和对数之间的关系，考查换底公式，属于基础题.
14．
【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
因为方程有四个根且，
由图象可知，，可得，
则，
设，所以，
因为，所以，所以，
所以，即，
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
15．
【分析】发现，计算可得结果.
【详解】因为，
，且，则.
故答案为-2
【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题.
16．
【分析】先对分和讨论，时，无最大值，不合题意，再分析时，当时，有，当时，有，故要使有最大值，则，求出的取值范围即可.
【详解】若，由在单调递增，无最大值；
若， 当时，；
当时，在单调递减，则，
若有最大值，则，得，则，
即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了已知分段函函数的有最大值，求参数的范围，考查了对数函数的性质，还考查了学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论的思想，属于中档题.
17．（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
18．（1）或，；（2）存在，.
【分析】（1）根据幂函数在的单调性即可计算出实数的值.
（2）利用复合函数法单调性即可计算出实数的值.
【详解】解：（1） 已知幂函数在上为增函数，
故，解得.
∵，∴或.
当或时，满足题意.
∴.
（2），令，由得：，
∵在上有定义，∴且.
在上为增函数.
当时，.
，
∵，∴.
当时，.
，
∵，∴此种情况不存在，
综上，存在实数，使在区间上的最大值为2.
19．（1）；
（2）奇函数；
（3）当时为，当时为.
【解析】(1) 根据对数函数成立的条件即可求出函数的定义域.
(2) 利用函数奇偶性的定义进行判断和证明即可.
(3) 根据对数函数的单调性进行分类讨论解不等式即可得出结果.
【详解】(1) ，解得
的定义域为.
(2)根据（1）知，的定义域为，关于原点对称，
又
为奇函数.
(3)若使，即，
可得.
当时，上式可转化为 ，解得 ；
当时，上式可转化为 ，解得 ；
再结合的定义域为，
因此满足的取值范围为：
当时为，当 时为.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解、奇偶性的判定与证明以及利用函数的单调性解不等式，综合考查函数的性质，考查了分类讨论思想的应用，分类讨论思想的常见类型：
(1) 问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的；
(2) 问题中的条件是分类给出的；
(3) 解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的；
(4) 涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论.
20．（1），单调递减，理由见解析；（2）.
【解析】（1）代入解得，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；
（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值.
【详解】解：（1）由，所以.
函数的定义域为，
.
因为在上是单调递减，
所以函数在定义域上为单调递减函数.
（2）由(1)可知，，
所以. 所以在恒成立.
当时，函数的最小值.
所以.
【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化.由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值.
21．（1） （2）奇函数 （3）
【详解】(本小题满分14分)
(1)由，得
∴函数的定义域为． …………………4分
（2）函数的定义域为关于原点对称，
∵
∴是奇函数．……………………………………………………………8分
(3)由，得. …10分
∴，
由得，
∴…………………12分
得，解得.
∴使成立的的集合是．……………………………………14分
22．（1） （2）
【解析】（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；
（2）由必要不充分条件的定义得出 ，讨论的取值结合包含关系得出的范围.
【详解】解：（1）因为为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.
当时，不符合题意；
当时，则有，则.
综上，k的取值范围为.
（2）由，得.
由（1）知，当为真命题时，则
令令
因为p是q的必要不充分条件，所以
当时，，，解得
当时， ，符合题意；
当时， ，符合题意；
所以的取值范围是
【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页