2022届高考数学二轮专题微课-椭圆中的蒙日圆课件（20张PPT）

(共20张PPT)
专
题
课
微
椭圆中的“蒙日圆”
【引例1】已知圆C： 过圆外一点M作圆C的两条互相垂直的切线，求点M的轨迹方程.
【解析】
过点O分别作两切线的垂线，垂足分别为N、P
∴ON=OP=r.
易证，四边形OPMN为正方形,
∴点M的轨迹方程为： .
圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆.
【引例2】(2014·广东18题)已知椭圆C： ，一个焦点为
，离心率为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点，且点P到
椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
P(±3，±2).
【解析】当两条切线中有斜率不存在或斜率为0时，
当两条切线的斜率都存在时,设过P点直线方程为y－y0=k(x－x0).
(9k2+4)x2－18k(kx0－y0)x+9(kx－y0)2－36=0.
∵直线与椭圆相切，
∴△=0
(x02-9)k2－2x0y0k+y02－4=0
∴
综上所述，P的轨迹方程为 .
蒙日圆定理
定理1：椭圆C： 的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为 .
蒙日圆
证明：当两条切线的斜率都存在时,设过P点切线方程为y=kx－kx0+y0.
曲直联立，化简得 (a2k2+b2)x2－2ka2(kx0－y0)x+a2(kx－y0)2－a2b2=0.
因为，直线与椭圆相切，
所以，△=0，化简得(x02－a2)k2－2x0y0k+y02－b2=0······①
因此，两条切线的斜率k1,k2是①式的两个根，
则， ，化简得 .
当两条切线中有斜率不存在或斜率为0时，P(±a，±b).
综上所述，P的轨迹方程为 .
设直线方程
曲直联立
相切，△=0
垂直，k1k2=－1
【例题】已知两动点A、B在椭圆 上，动点P在直线3x+4y－10=0上，若∠APB恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为________.
3x+4y－10=0与蒙日圆x2+y2=a2+1相离
∴d>r
问题1：若将点P固定，当A、B位于何处时，∠APB最大？
问题2：当一个锐角在不断增大的过程中，临界情况是什么？
蒙日圆定理
定理1：椭圆C： 的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹是 .
思考：对于双曲线和抛物线，会有类似结论吗
筷子夹汤圆
圆锥曲线蒙日圆，
切线垂直要齐全。
交点轨迹有两种，
椭双成圆抛准线。
蒙日圆定理应用1
蒙日圆定理应用2
蒙日圆定理应用3
蒙日圆定理应用4