高中数学：分段函数有关问题的解法探究（含解析）

分段函数有关问题的解法探究
一、选择题
1.设f(x)=则f= (　　)
A. B. C. D.
2.函数g(x)=x·|x-1|+1的单调减区间为 (　　)
A. B.
C.[1,+∞) D.∪1,+∞
3.函数f(x)=x+的图像是 (　　)
4.设函数f(x)=若f(f(a))≤3,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-] B.[-,+∞)
C.[-3,] D.(-∞,]
5.定义在实数集上的函数D(x)=称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出,在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数D(x)的说法中不正确的是 (　　)
A.D(x)的值域为{0,1}
B.D(x)是偶函数
C.存在无理数t0,使D(x+t0)=D(x)
D.对任意有理数t,有D(x+t)=D(x)
6.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款 (　　)
A.413.7元 B.513.7元
C.546.6元 D.548.7元
二、填空题
7.函数f(x)=则f(-1)=　　　　.
8.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为　　　　　　　　.
9.已知函数f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a取值的集合为　　　　　　　　.
三、解答题
10.已知函数f(x)=
(1)在如图所示给定的平面直角坐标系内画出函数f(x)的图像;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)由图像写出函数f(x)的值域.
11.已知函数
f(x)=
(1)解不等式f(x)>1;
(2)若f(x)+t<0对任意实数x都成立,求实数t的取值范围.
参考答案：
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C
6.C
一、选择题
1.B　由<1得f=-2=-,又>1,所以f=f==,故选B.
2.B　g(x)=画出函数图像,如图所示:
由图像知,函数的单调减区间为.故选B.
3.C　依题意得f(x)=当x>0时,作出y=x+1的图像,并取y轴右侧的部分;当x<0时,作出y=x-1的图像,并取y轴左侧的部分.故选C.
4.D　令f(a)=t,则f(t)≤3等价于或解得t≥-3,则f(a)≥-3等价于或解得a≤,则实数a的取值范围是(-∞,],故选D.
5.C　由题意,函数D(x)=可得函数f(x)的值域为{0,1},所以A中说法正确.若x为有理数,则-x也为有理数,可得D(-x)=D(x)=1;若x为无理数,则-x也为无理数,可得D(-x)=D(x)=0,所以函数f(x)为定义域上的偶函数,所以B中说法正确.当t0为无理数时,若x为有理数,则x+t0为无理数,若x为无理数,则x+t0可能为有理数,也可能是无理数,不满足D(x+t0)=D(x),故C中说法不正确.对于任意有理数t,若x为有理数,则x+t为有理数,若x为无理数,则x+t为无理数,所以D(x+t)=D(x),所以D中说法正确.
故选C.
6.C　因为168÷90%=<200,所以付款168元的商品原价为168元;因为423÷90%=470<500,所以付款423元的商品原价为470元.若此人一次性购买上述两次同样的商品,则购买的商品原价为168+470=638元,应付款500×90%+(638-500)×70%=450+96.6=546.6元,故选C.
二、填空题
7.答案　1
解析　依题意得f(-1)=f(-1+3)=f(2)=f(2+3)=f(5)=5-4=1.
8.答案　f(x)=
解析　当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).∵图像过点(-1,0)和(0,1),
∴得∴y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1(a≠0).
∵图像过点(4,0),
∴0=a(4-2)2-1,得a=,
∴y=(x-2)2-1.
因此f(x)=
9.答案　
解析　当x≥1时,f(x)=(a+1)x-1,由f(x)在(-∞,+∞)上单调递增得a+1>0,即a>-1,①
当x<1时,f(x)=ax2-ax-1=a(x-1)2-1-a,由f(x)是增函数得a<0,②
又由分段函数递增知(a+1)×1-1≥a×12-a×1-1,即3a+2≥0,解得a≥-,③
由①②③得,-≤a<0.
因此实数a取值的集合为a-≤a<0.
三、解答题
10.解析　(1)函数f(x)的图像如图所示.
(2)由图像可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].
(3)由图像知,函数f(x)的值域为[-1,3].
11.解析　(1)∵f(x)=
∴①当x≤-1时,f(x)=x-5>1,不等式无解;
②当-11,∴③当x>2时,-x+5>1,∴2综上所述,不等式的解集为,4.
(2)①当x≤-1时,f(x)=x-5≤-6;
②当-1∴-6③当x>2时,f(x)=-x+5<3.
综上所述,f(x)≤3.
则-f(x)≥-3,因为f(x)+t<0对任意实数x都成立,所以t<-3.