北师大版（2019）必修第一册高中数学：变换作图及其应用（含解析）

变换作图及其应用
一、选择题
1.函数y=3x与y=3-x的图像关于下列哪条直线对称 (　　)
A.x轴 B.y轴
C.直线y=x D.直线y=-x
2.函数f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.03.函数f(x)=ax-(a>0,且a≠1)的图像可能是 (　　)
4.已知关于x的方程|2x-m|=2m-1有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1] B.
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
二、填空题
5.无论a(a>0,且a≠1)为何值,函数f(x)=ax-2+1的图像一定经过点P,则点P的坐标为　　　　.
6.若f(x)=,则函数f(x)在区间[1,4)上的取值范围是　　　　.(请用区间表示)
7.函数f(x)=x2-3|x|+2的单调递减区间是　　　　　　　.
8.若关于x的方程|x2-4|x|+3|=k有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是　　　　.
三、解答题
9.已知函数y=3x的图像,怎样变换得到y=+2的图像 并画出相应图像.
10.作出下列函数的大致图像:
(1)y=21-x;(2)y=;
(3)y=-2-|x|;(4)y=·2x.
11.已知函数y=.
(1)画出函数的图像(简图);
(2)由图像指出函数的单调区间;
(3)由图像指出当x取何值时函数有最值,并求出最值.
12.已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间(-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求f(x)在区间[2,5]上的最值.
参考答案：
1.B 2.D 3.D 4.B
一、选择题
1.B　若点(x0,y0)为y=3x的图像上任意一点,即y0=,则y0=,∴(-x0,y0)为y=3-x的图像上任意一点,反之亦然,∴y=3x与y=3-x的图像关于y轴对称.
2.D　从曲线的变化趋势,可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.
3.D　函数f(x)=ax-的图像是由函数y=ax的图像向下平移个单位长度得到的,因此A错误;当a>1时,0<<1,因此B错误;当01,因此C错误,D正确.故选D.
4.B　f(x)=|2x-m|的图像如图所示:
因为方程|2x-m|=2m-1有两个不相等的实数根,所以0<2m-1解得方法技巧
对于方程根的个数问题,常构造函数,转化为函数图像的交点问题来解决.
二、填空题
5.答案　(2,2)
解析　解法一:函数f(x)=ax-2+1的图像可以由函数y=ax的图像先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度而得到.
又函数y=ax的图像过定点(0,1),因此将点(0,1)先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点(2,2),这就是函数f(x)=ax-2+1的图像经过的定点,因此点P的坐标为(2,2).
解法二:因为a0=1,所以令x-2=0,即x=2,此时f(x)=a0+1=2,为定值.
因此函数f(x)=ax-2+1的图像一定经过点P(2,2).
6.答案　
解析　依题得f(x)==+2,
因此f(x)的图像可由y=的图像向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度而得到,如图所示.
由图像知,f(x)在[1,4)上递增,
且f(1)=-,f(4)=,
因此,f(x)在区间[1,4)上的取值范围是.
7.答案　,
解析　当x≥0时,f(x)=x2-3x+2=-,且f(x)是偶函数,其图像如图所示.
由图像可知,f(x)的递减区间是和.
8.答案　k=0或1解析　设f(x)=|x2-4|x|+3|,当x≥0时,f(x)=|x2-4x+3|,其图像是由y=x2-4x+3(x≥0)的图像在x轴上及其上方的部分不变,在x轴下方的部分对称到x轴上方而得到的,又f(x)是偶函数,因此f(x)的图像如图所示,
由图像知,当k=0或1三、解答题
9.解析　依题意得y=+2=3-(x+1)+2.为得到y=+2的图像,可由函数y=3x的图像进行如下变换:
作函数y=3x的图像关于y轴对称的图像,得函数y=3-x的图像;
再向左平移1个单位长度就得到函数y=3-(x+1)的图像;
最后再向上平移2个单位长度就得到函数y=3-(x+1)+2=+2的图像,如图中实线部分所示.
10.解析　(1)函数y=21-x=2·的图像是指数函数y=的图像的纵坐标伸长为原来的2倍,如图①所示:
图①
(2)函数y=的图像向下平移两个单位得到函数y=-2的图像.函数y=-2在x轴上方的图像不变、x轴下方的图像沿x轴翻折即可得到函数y=的图像,如图②中实线部分所示:
图②
(3)作出y=-2-|x|=的图像,如图③中实线部分所示:
图③
(4)作出y=·2x=的图像如图④中实线部分所示.
图④
11.解析　(1)①可知函数y=是偶函数,其图像关于y轴对称,故先作出y=(x≥0)的图像,当x<0时,其图像与y=(x>0)的图像关于y轴对称,从而得出y=的图像.
②将y=的图像向左平移1个单位长度,即可得出y=的图像,如图中实线部分所示.
(2)由图像知,函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是[-1,+∞).
(3)由图像知,当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
12.解析　(1)由题得f(x)===2+,其图像可由y=-的图像向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示:
由图像知,f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
证明:任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=2--
=.
∵x1又∵x1,x2∈(-1,+∞),
∴x1+1>0,x2+1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知,f(x)在[2,5]上单调递增,
∴f(x)min=f(2)=,f(x)max=f(5)=.