北师大版（2019）必修第一册高中数学：复合函数问题的解法（含解析）

复合函数问题的解法
一、选择题
1.函数y=的值域为 (　　)
A. B.
C. D.(0,2]
2.函数y=的单调递增区间是 (　　)
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[1,2] D.[0,1]
3.f(x)=lo(x2-2x-3)的单调递增区间是 (　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(-∞,-1) D.(3,+∞)
4.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上 (　　)
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
5.若函数f=lg(x+),则f+f的值为 (　　)
A.2 B.lg5 C.0 D.3
二、填空题
6.已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],则f(x)的定义域为　　　　.
7.函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为　　　　.
8.函数f(x)=log2(-x2+2x+7)的值域是　　　　　.
9.设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　.
10.已知y=loga(2-ax)(a>0,且a≠1)在区间(0,1)上是减函数,则a的取值范围为　　　　.
11.已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,对于任意的x∈R,f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(2)=　　　　.
12.若函数y=loga(3-ax)(a>0,且a≠1)在[0,1)上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
13.若-1≤x≤2,求函数y=-3×2x+5的最大值和最小值,并求出取得最值时x的值.
14.已知f(x)=lg(ax2-2x+1).
(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求a的取值范围.
15.已知函数f(x)=为奇函数,其中a为实数.
(1)求实数a的值;
(2)当a>0时,不等式f(f(x))+f(t·2x)<0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案：
1.A 2.C 3.C 4.A 5.C
一、选择题
1.A　∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,∴≥=,故y=的值域为.故选A.
2.C　由-x2+2x≥0,得0≤x≤2,所以函数y=的定义域为[0,2],令t=,则y=是减函数,t==在[0,1]上递增,在[1,2]上递减,∴函数y=的增区间是[1,2].故选C.
3.C　由x2-2x-3>0得x<-1或x>3.
设u=x2-2x-3,则f(x)由y=lou,u=x2-2x-3复合而成.
∵y=lou是减函数,
u=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),故选C.
4.A　设t=(a-1)x+1,则f(x)由y=logat,t=(a-1)x+1复合而成.当a>1时,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函数,所以f(x)是增函数;当05.C　依题意得f=f
=lg(-2+),f=f=lg(2+),∴f+f
=lg(-2+)+lg(2+)
=lg[(-2+)(2+)]=lg(5-4)=lg1=0,故选C.
二、填空题
6.答案　
解析　在函数y=f(2x)中,令t=2x,
则y=f(t).
∵y=f(2x)的定义域为[-1,1],
∴-1≤x≤1,∴2-1≤2x≤21,
即≤t≤2.
∵y=f(t)与y=f(x)是同一函数,
∴y=f(x)的定义域为.
7.答案　
解析　令u=2x,由x∈(-∞,2]得0当u=时,y有最小值,ymin=;当u=4时,y有最大值,ymax=21.
∴函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为.
8.答案　(-∞,3]
解析　设t=-x2+2x+7,
∵-x2+2x+7=-(x-1)2+8≤8,∴0∴log2(-x2+2x+7)≤log28=3,故f(x)的值域是(-∞,3].
9.答案　(-∞,1]
解析　设u=|x-1|,则f(x)=.
∵f(x)=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,
∴f(x)=在(-∞,1]上单调递增,
∴f(x)=的单调递增区间为(-∞,1].
10.答案　(1,2)
解析　令t=2-ax,因为a>0,且a≠1,所以t=2-ax在(0,1)上单调递减,
又因为y=loga(2-ax)在(0,1)上单调递减,所以y=logat为增函数,
所以所以1解题模板
复合函数f(g(x))的单调性的判断方法:
(1)先分析函数定义域,然后判断外层函数的单调性,再判断内层函数的单调性;
(2)当内外层函数单调性相同时,则函数f(g(x))为增函数;
(3)当内外层函数单调性相反时,则函数f(g(x))为减函数.
11.答案　5
解析　∵y=f(x)在R上是单调函数,
且f[f(x)-2x]=3恒成立,
∴f(x)-2x是常数.
设f(x)-2x=t,则f(x)=2x+t,且f(t)=3,
因此2t+t=3.
设g(t)=2t+t,则g(t)在R上递增,
且g(1)=21+1=3,因此g(t)=3有唯一解,∴t=1,
从而f(x)=2x+1,∴f(2)=22+1=5.
12.答案　(1,3]
解析　令u=3-ax,则y=logau.因为a>0,所以u=3-ax单调递减,又由函数y=loga(3-ax)在[0,1)上是减函数知,y=logau递增,所以a>1.
又函数y=loga(3-ax)在[0,1)上有意义,所以u=3-ax在x∈[0,1)上大于0恒成立,而u=3-ax在x∈[0,1)上是减函数,所以3-a≥0,即a≤3.综上,1三、解答题
13.解析　依题意得y=×(2x)2-3×2x+5.
令2x=t,由-1≤x≤2得≤t≤4,
又y=t2-3t+5=(t-3)2+,
所以当t=3时,y有最小值,此时x=log23;当t=时,y有最大值,此时x=-1.
14.解析　(1)依题意得ax2-2x+1>0的解集为R.
当a=0时,-2x+1>0,则x<,不符合题意;
当a≠0时,由二次函数的图像知,解得a>1.因此a的取值范围是(1,+∞).
(2)设u=ax2-2x+1,则y=lgu.
由f(x)的值域为R,知y=lgu中u的取值范围是(0,+∞),
因此,当a=0时,u=-2x+1,符合题意;
当a≠0时,由 015.解析　(1)由函数f(x)=为奇函数,可得f(-x)=-f(x),
代入,得=,
整理,得a2-=1-a2·,
所以a2=1,
解得a=±1.
(2)当a>0时,由(1)知a=1,
所以f(x)==1-,
令u=2x+1,
则u=2x+1为增函数,且u=2x+1>0,
又因为为减函数,所以-为增函数,
所以f(x)为增函数,
又因为f(x)为奇函数,
f(f(x))+f(t·2x)<0,
所以f(x)+t·2x<0,
即+t·2x<0在x∈[-1,1]上恒成立,
若t≥0,x=1时不成立,故t<0,
令s=2x,则s∈,2,
整理,得t·s2+(t+1)s-1<0,
令g(s)=t·s2+(t+1)s-1,
若-≤或-≥2,
需g=t-<0,g(2)=6t+1<0,
解得-≤t<-或t≤-,
若<-<2,需g-<0,
解得-综上可得:实数t的取值范围为.