高中数学北师大版（2019）必修 第一册：对数（含解析）

对数
基础全面练　(20分钟　35分)
1．把对数式x＝lg 2化成指数式为(　　)
A．10x＝2 B．x10＝2
C．x2＝10 D．2x＝10
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
3．方程2＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
4．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．25．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
6．求下列各式中x的值．
(1)log4(log3x)＝0.
(2)lg (log2x)＝1.
(3)log(－1)＝x.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．指数式x3＝15的对数形式为(　　)
A．log315＝x B．log15x＝3
C．logx3＝15 D．logx15＝3
2．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
3．若2＝16，则x＝(　　)
A．32 B．64 C．16 D．log43
4．若log(x＋1)(x＋1)＝1，则x的取值范围是(　　)
A．x>－1 B．x>－1且x≠0
C．x≠0 D．x∈R
5．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．a＝M
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝＋lg (3x＋1)的定义域是______．
7．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝______，f(x)＝______．
8．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4.　　(2)log27＝－3.
(3)logx＝6.　　(4)43＝64.
(5)＝16.
10．若log2＝log3＝log5(log(log5z))＝0，请比较x，y，z的大小．
创新练
1．已知9＝，则x＝(　　)
A． B．± C．2 D．1
2．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，求＋的值．
【变式训练】
设M＝{0，1}，N＝{lg a，2a，a，11－a}，问是否存在a，使得M∩N＝{1}
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．把对数式x＝lg 2化成指数式为(　　)
A．10x＝2 B．x10＝2
C．x2＝10 D．2x＝10
【解析】选A.lg 2＝log102，即对数式为x＝log102，故指数式为10x＝2.
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log55＝1与51＝5
【解析】选C.C不正确，由log39＝2可得32＝9.
3．方程2＝的解是(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝9
【解析】选A.因为2＝2－2，
所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.
4．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)
A．a>5或a<2 B．2C．2【解析】选B.由对数的定义知

所以25．若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________．
【解析】因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3.所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
答案：12
6．求下列各式中x的值．
(1)log4(log3x)＝0.
(2)lg (log2x)＝1.
(3)log(－1)＝x.
【解析】(1)因为log4(log3x)＝0，
所以log3x＝40＝1，所以x＝31＝3.
(2)因为lg (log2x)＝1，所以log2x＝10，
所以x＝210＝1 024.
(3)因为log(－1)＝x，
所以(－1)x＝＝＝
＝－1，所以x＝1.
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．指数式x3＝15的对数形式为(　　)
A．log315＝x B．log15x＝3
C．logx3＝15 D．logx15＝3
【解析】选D.指数式x3＝15的对数形式为logx15＝3.
2．下列四个等式：
①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【解析】选C.因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；
因为ln e＝1，所以lg(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，所以x≠10，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．
3．若2＝16，则x＝(　　)
A．32 B．64 C．16 D．log43
【解析】选B.因为2＝16＝24，
所以log4x＝3，所以x＝43＝64.
4．若log(x＋1)(x＋1)＝1，则x的取值范围是(　　)
A．x>－1 B．x>－1且x≠0
C．x≠0 D．x∈R
【解析】选B.由对数的定义可知
解得x>－1且x≠0.
5．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有(　　)
A．log2M＝a B．logaM＝2
C．loga2＝M D．a＝M
【解析】选B.由指数式与对数式互化得B正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝＋lg (3x＋1)的定义域是______．
【解析】由解得－答案：
7．已知f(2x＋1)＝，则f(4)＝______，f(x)＝______．
【解析】令2x＋1＝4，解得x＝log23.
所以f(4)＝log23.
令2x＋1＝t，解得x＝log2(t－1)，
所以f(t)＝log2(t－1)，
所以f(x)＝log2(x－1).
答案：log23　log2(x－1)
8．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________．
【解析】设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，所以x＝23＝8或x＝2－1＝.
答案：8或
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4.　　(2)log27＝－3.
(3)logx＝6.　　(4)43＝64.
(5)＝16.
【解析】(1)因为log216＝4，所以24＝16.
(2)因为log27＝－3，所以＝27.
(3)因为logx＝6，所以()6＝x.
(4)因为43＝64，所以log464＝3.
(5)因为＝16，所以log16＝－2.
10．若log2＝log3＝log5(log(log5z))＝0，请比较x，y，z的大小．
【解析】由log5(log(log5z))＝0，得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56)，
由log3(log(log3y))＝0，得log(log3y)＝1，
log3y＝，y＝3＝(310)．
又由log2(log (log2x))＝0，得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215)．
因为310＞215＞56，所以y＞x＞z.
创新练
1．已知9＝，则x＝(　　)
A． B．± C．2 D．1
【解析】选B.因为9＝，所以3＝3－1，
即2log2|x|＝－1，所以log2|x|＝－，
解得|x|＝，所以x＝±.
【解题技巧】选B.代入选项检验即可快速求解．
2．若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)，求＋的值．
【解析】设2＋log2a＝3＋log3b＝log6(a＋b)＝x，
则a＝2x－2，b＝3x－3，a＋b＝6x.
＋＝＝＝22×33＝108.
【变式训练】
设M＝{0，1}，N＝{lg a，2a，a，11－a}，问是否存在a，使得M∩N＝{1}
【解析】不存在a，使得M∩N＝{1}．
理由如下：若lg a＝1，则a＝10，此时，11－a＝1＝lg a，这与集合中元素的互异性矛盾；
若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；
若a＝1，则lg a＝0，此时M∩N＝{0，1}，与题设不符；
若11－a＝1，则a＝10，lg a＝1＝11－a，这与集合中元素的互异性矛盾．
综上所述，不存在a，使得M∩N＝{1}．
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