高中数学北师大版（2019）必修 第一册：指数运算的性质（含解析）

指数运算的性质
基础全面练　(20分钟　35分)
1．(2021·大连高一检测)计算的结果为(　　)
A． B． C． D．
2．化简·的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，
则2α·2β－(2α)β＝(　　)
A．4＋ B．4＋
C．－ D．－
4．计算(－2)2 019·(＋2)2 020＝(　　)
A．＋2 B．－2
C．－－2 D．－＋2
5．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
6．化简下列各式：
(1)1.5＋80.25×＋(×)6－.
(2) (a＞0，b＞0).
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若a＋b＝m，ab＝m (m>0)，则a3＋b3＝(　　)
A．0 B． C．－ D．
2．x＝1＋2b，y＝1＋2－b，则y等于(　　)
A． B．
C． D．
3．化简÷a (a>0)＝(　　)
A．a B．a C．1 D．a
4．设a2n＝3，a>0，则的值为(　　)
A． B．2 C． D．
5．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为(　　)
A． B．2或－2 C．－2 D．2
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x－y＝________．
【变式训练】
方程92x＋1＝的解为________．
7．若a－a＝m，则＝________．
8.÷＝________(其中a>0).
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算：
(1)＋(0.008)－(0.25)×.
(2)(×)6＋()－4－×80.25－(－2 009)0.
10．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
创新练
　设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－2，f3(x)＝x，求
f1的值．
【变式训练】
已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
参考答案：
基础全面练　(20分钟　35分)
1．(2021·大连高一检测)计算的结果为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为
2．化简·的结果是(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】选B.由题意可知a≤0，
则·＝(－a)·a
＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)＝－＝－.
3．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，
则2α·2β－(2α)β＝(　　)
A．4＋ B．4＋
C．－ D．－
【解析】选D.因为α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，所以α＋β＝－＝－2，αβ＝，所以2α·2β－(2α)β＝2α＋β－2α β＝2－2－2＝－.
4．计算(－2)2 019·(＋2)2 020＝(　　)
A．＋2 B．－2
C．－－2 D．－＋2
【解析】选C.原式＝[(－2)(＋2)]2 019·(＋2)＝[(－1)]2 019·(＋2)＝－－2.
5．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________．
【解析】102x－y＝＝＝＝.
答案：
6．化简下列各式：
(1)1.5＋80.25×＋(×)6－.
(2) (a＞0，b＞0).
【解析】(1)原式＝＋＋(22×33)－＝＋4×27＝2＋108＝110.
(2)原式＝
综合突破练　(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若a＋b＝m，ab＝m (m>0)，则a3＋b3＝(　　)
A．0 B． C．－ D．
【解析】选B.a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)
＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]
＝＝.
2．x＝1＋2b，y＝1＋2－b，则y等于(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为x＝1＋2b，所以2b＝x－1，又y＝1＋2－b＝1＋＝＝＝.
3．化简÷a (a>0)＝(　　)
A．a B．a C．1 D．a
【解析】选D.÷a＝÷a＝÷a＝a÷a＝a．
4．设a2n＝3，a>0，则的值为(　　)
A． B．2 C． D．
【解析】选C.由a2n＝3，a>0，
得an＝，a－n＝，a3n＝()3＝3，a－3n＝.
故＝＝＝＝.
【误区】本题易犯的错误是找不到条件与所求式子的关系．
5．若a>1，b>0，且ab＋a－b＝2，则ab－a－b的值为(　　)
A． B．2或－2 C．－2 D．2
【解析】选D.因为(ab＋a－b)2＝8，
所以a2b＋a－2b＝6，
所以(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，
又ab>a－b(a>1，b>0)，所以ab－a－b＝2.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x－y＝________．
【解题技巧】将所给式子化为同底，利用指数相同建立x，y的方程即可解出x和y的值，进而求出x－y.
【解析】由已知可得2x＝(23)y＋1，(32)y＝3x－9，
所以
解得于是x－y＝15.
答案：15
【变式训练】
方程92x＋1＝的解为________．
【解析】因为92x＋1＝，
所以32(2x＋1)＝3－x，
所以2(2x＋1)＝－x，解得x＝－.
答案：x＝－
7．若a－a＝m，则＝________．
【解析】由a－a＝m，两边平方得a＋a－1－2＝m2，即a＋a－1＝m2＋2，
故＝a＋a－1＝m2＋2.
答案：m2＋2
8.÷＝________(其中a>0).
【解析】原式＝
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．计算：
(1)＋(0.008)－(0.25)×.
(2)(×)6＋()－4－×80.25－(－2 009)0.
【解析】(1)＋(0.008)－(0.25)×＝π－3＋0.2－0.5×4＝π－4.8.
(2)(×)6＋()－4－×80.25－(－2 009)0
＝22×33＋2－4×－2×2－1
＝108＋2－7－2－1＝100.
10．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
【解析】因为x－－2y＝0，x>0，y>0，
所以()2－－2()2＝0，
所以(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
所以－2＝0，所以x＝4y，
所以＝＝.
创新练
　设函数f1(x)＝x，f2(x)＝x－2，f3(x)＝x，求
f1的值．
【解题技巧】复合函数求值从内部函数求起，故先计算f3(x)＝x，然后计算f2(x)＝(x)－2＝x－3，然后计算f1(x－3)＝(x－3)＝x－1，将代入得到最终结果．
【解析】f3(x)＝x，f2(x)＝(x)－2＝x－3，
f1(x－3)＝(x－3)＝x－1，
所以f1＝＝2 020.
【变式训练】
已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
【解析】因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a>b>0，所以>，
＝＝＝，
所以＝＝.
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