高中数学北师大版（2019）必修 第一册第二章 函数：章节复习提升（含解析）

第二章　函数
易混易错练
易错点1　忽视函数的定义域导致错误
1.(2021浙江宁波高三上期中联考)给出下列四组函数:①y=2|x|(x∈R),s=2(t∈R);②y=|x|(-1≤x≤1),u=v2(-1≤v≤1);③y=x(x∈{-1,0,1}),m=n3(n∈{-1,0,1});④y=2x(x∈{0,1}),y=2|x-1|(x∈{0,1}).其中,表示相同函数的是 (　　)
A.①③④ B.①② C.①③ D.①
2.(2020河南南阳一中高一上第一次月考)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且满足f(2a-1)A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
3.判断函数f(x)=(2-x)的奇偶性.
易错点2　忽略分段函数的自变量范围导致错误
4.(2021河南新乡高二上期中联考)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是　　　　.
5.函数f(x)=的最大值为　　　　.
6.对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的最大者,则f(x)的最小值是　　　　.
7.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),求函数g(x)的单调递增区间.
8.已知函数f(x)=
(1)作出函数图像;
(2)说明函数f(x)的单调区间(不需要证明);
(3)若函数y=f(x)的图像与函数y=m的图像有四个交点,求实数m的取值范围.
易错点3　忽视对参数取值范围的讨论导致错误
9.若方程ax2-x-1=0有且仅有一个负实数根,则实数a的取值范围为　　　　　　.
10.已知幂函数f(x)=(x∈R且x≠0,m∈Z)在(0,+∞)上单调递减,且为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论F(x)=af(x)+(a-2)x5·f(x)的奇偶性,并说明理由.
11.(2021山西高一上期中联考)已知函数f(x)=-x2-2ax+a-5(a∈R).
(1)若函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1,求实数a的值.
思想方法练
一、数形结合思想在函数中的运用
1.已知图①的图像对应的函数为y=f(x),则图②的图像对应的函数的解析式为 (　　)
A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|
C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)
2.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}= (　　)
A.{x|04}
B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6}
D.{x|x<-2或x>2}
3.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(x)的图像关于y轴对称,当x≥0时,f(x)=x2-4x.
(1)求出f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图像;
(3)若函数y=f(x)与函数y=m的图像有四个交点,求m的取值范围.
二、分类讨论思想在函数中的运用
4.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有 <0成立,则实数a的取值范围是　　　　.
5.(2021山东淄博一中高一上月考)已知二次函数f(x)的图像与x轴交于点A(2,0),B(4,0),且过点(1,3).
(1)求二次函数f(x)的解析式;
(2)求1≤x≤b(b>1)时f(x)的最大值和最小值.
三、转化与化归思想在函数中的运用
6.若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b] D(其中aA. B.
C. D.
7.设奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1,若对所有的x∈[-1,1]及任意的m∈[-1,1]都满足f(x)≤t2-2mt+1,则t的取值范围是 (　　)
A.[-2,2]
B.
C.∪∪{0}
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}
8.已知函数f(x)=x3+x+1,若对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)>2,则实数a的取值范围是　　　　.
参考答案：
易混易错练
1.D 2.B
1.D　对于①,y=2|x|(x∈R),s=2=2|t|(t∈R),两函数的定义域相同,对应关系也相同,是相同函数;对于②,y=|x|(-1≤x≤1),u=v2(-1≤v≤1),两函数的定义域相同,对应关系不同,不是相同函数;对于③,y=x(x∈{-1,0,1}),m=n3(n∈{-1,0,1}),两函数的定义域相同,对应关系不相同,不是相同函数;对于④,y=2x(x∈{0,1}),y=2|x-1|(x∈{0,1}),两函数的定义域相同,对应关系不同,不是相同函数,故选D.
2.B　由题意可知解得0又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)∴1-a<2a-1,解得a>②.
由①②可知即实数a的取值范围为.
3.解析　由题知,当且仅当≥0且2-x≠0时,函数有意义,即-2≤x<2,∴定义域不关于原点对称,
∴函数f(x)是非奇非偶函数.
易错警示
研究函数的性质时应先求定义域,再化简解析式.若忽视定义域,常导致判断错误.
4.答案　
解析　由函数f(x)=在R上单调递减,
则满足解得所以a的取值范围是.
5.答案　2
解析　当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;
当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
易错警示
分段函数的定义域为R,定义域的分段点是x=1,解题时要按x≥1及x<1两种情况来解决,要防止忽视分段点导致解析错误.
6.答案　2
解析　依题意,对于任意x∈R,函数f(x)表示-x+3,x+,x2-4x+3中的最大者.
如图,画出函数y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图像,解方程得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).
观察图像可得函数f(x)的表达式为
f(x)=
f(x)的图像是图中的实线部分,图像的最低点是点B(1,2),所以f(x)的最小值是2.
7.解析　依题意得,当x>1时,x-1>0,f(x-1)=1;当x=1时,x-1=0,f(x-1)=0;当x<1时,x-1<0,f(x-1)=-1,
∴g(x)=
作出函数g(x)的图像,如图所示(实线部分),
∴函数g(x)的单调递增区间为(-∞,0],(1,+∞).
8.解析　(1)如图:
(2)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,1];单调递减区间为[-2,0]和[1,+∞).
(3)由图像知,函数y=f(x)的图像与函数y=m的图像有四个交点时,m的取值范围为(-1,0).
易错警示
作分段函数f(x)的图像,可先作出每一段的图像,再截取在此段定义域内的部分,解题时定义域要截取准确.
9.答案　∪[0,+∞)
解析　设f(x)=ax2-x-1.当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;
当a>0时,此函数图像开口向上,f(0)=-1<0,结合二次函数图像知符合题意;
当a<0时,此函数图像开口向下,f(0)=-1<0,由图像得即a=-.
综上可知,实数a的取值范围为∪[0,+∞).
易错警示
研究二次项系数含字母的二次函数时,要注意二次项系数为0的特殊情况,防止漏掉a=0的情况,导致解题错误.
10.解析　(1)由于幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1因为f(x)是偶函数,所以m=1,故f(x)=x-4.
(2)由(1)得F(x)=af(x)+(a-2)x5·f(x)=a·x-4+(a-2)x.
当a=0时,F(x)=-2x,对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有F(x)=-F(-x),
所以F(x)=-2x是奇函数;
当a=2时,F(x)=,对于任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有F(x)=F(-x),
所以F(x)=是偶函数;
当a≠0且a≠2时,F(1)=2a-2,F(-1)=2,
因为F(1)≠F(-1),F(1)≠-F(-1),
所以F(x)=+(a-2)x是非奇非偶函数.
易错警示
对含参数的函数进行研究时,要注意对参数取值的特殊情况进行思考,如本题中防止漏掉a=0与a=2的情况,导致解题不全面.
11.解析　(1)∵f(x)的图像的对称轴为直线x=-=-a,且开口向下,∴f(x)在(-∞,-a]上单调递增,
又f(x)在(-∞,1]上单调递增,
∴-a≥1,解得a≤-1,
∴实数a的取值范围为(-∞,-1].
(2)f(x)的图像的对称轴为直线x=-a.
①当-a≥1,即a≤-1时,f(x)在[0,1]上单调递增,
∴f(x)max=f(1)=-1-2a+a-5=-a-6=1,解得a=-7,符合题意;
②当-a≤0,即a≥0时,f(x)在[0,1]上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=a-5=1,解得a=6,符合题意;
③当0<-a<1,即-1综上所述:a=-7或a=6.
思想方法练
1.C 2.A 6.C 7.D
1.C　观察题图②中函数的图像,图像关于y轴对称,故题图②中的图像对应的函数为偶函数,比较题图①与图②中两个函数的图像,x<0时,两函数图像相同,只有C符合,故选C.
以数助形,利用函数的奇偶性与对称性确定
函数的图像.
2.A　解法一:由题知函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,
则x<0时,f(x)为增函数,且f(-2)=0.
令t=x-2,
则f(x-2)>0转化为f(t)>0,
得t>2或-22或-2解得x>4或0故选A.
解法二:由函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)为增函数,且f(2)=0,可得函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(-2)=0,
故函数f(x)的大致图像如图所示:
以数助形,由函数的性质画出函数的草图.
由函数的图像可得,f(x-2)>0时,
-22,
以形助数,借助图像确定不等式的解集.
解得04,故选A.
3.解析　(1)由题知,当x<0时,-x>0,
则f(-x)=x2+4x,
由题意知f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
∴f(x)=
(2)作函数f(x)的图像如图所示.
利用数形结合思想,结合函数的奇偶性画
出函数的图像.
(3)由(2)及图像可知,函数y=f(x)与函数y=m的图像有四个交点时,-4以形助数,通过图像确定参数的取值范围.
思想方法
数形结合思想在函数中应用极为广泛,常见应用:利用函数的图像研究函数的性质,研究方程根的个数,解不等式或比较大小,求参数范围等.此外常利用奇、偶函数的图像特征画出其对称区间上的图像,再借助图像解决相关问题.
4.答案　[-2,0)
解析　∵对任意x1≠x2,都有<0,∴f(x)是R上的减函数.
由分段函数单调性知
解得-2≤a<0.
故实数a的取值范围是[-2,0).
对两段解析式的单调性分类讨论,从而得到
a的限制条件.
5.解析　(1)设f(x)=a(x-2)(x-4),将点(1,3)代入,得3=(1-2)×(1-4)a,
解得a=1,
∴f(x)=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.
(2)f(x)=(x-3)2-1的图像的对称轴为直线x=3,
点(1,3)关于对称轴对称的点为(5,3),
轴定区间动,故对区间分类讨论.
若1则当x=1时取得最大值,为f(1)=1-6+8=3,
当x=b时取得最小值,为f(b)=b2-6b+8;
若3由f(1)=f(5)可知,需再对b与5的大小关系
分类讨论.
当x=1时取得最大值,为f(1)=1-6+8=3,
当x=3时取得最小值,为f(3)=9-18+8=-1;
若b>5时,
当x=b时取得最大值,为f(b)=b2-6b+8;
当x=3时取得最小值,为f(3)=9-18+8=-1.
综上所述,
当1当3当b>5时,f(x)的最大值为b2-6b+8,最小值为-1.
思想方法
与函数有关的含参问题、分段函数问题常常需要利用分类讨论思想求解,应用分类讨论思想解决问题的关键是对分类标准的确定,要注意做到不重不漏.
6.C　因为函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数,所以a所以当x∈[a,b]时,函数g(x)单调递减,
则g(a)=b,g(b)=a,
将a与b的大小关系转化为函数的单调性.
即a2+m=b,b2+m=a,
两式相减,得a2-b2=b-a,
即b=-(a+1),
代入a2+m=b,得a2+a+m+1=0.
∵a∴a<-(a+1)<0,
即∴
将b转化为a,从而得到a的不等式组.
解得-1故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间内有实数解,
记h(a)=a2+a+m+1,则h(-1)>0,h<0,即1-1+m+1>0且-+m+1<0,
将方程有解问题转化为函数在区间上的端点
值的正负问题.
解得m>-1且m<-,即-17.D　由奇函数f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(-1)=-1得,f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=-f(-1)=1.
因为对所有的x∈[-1,1]都有f(x)≤t2-2mt+1,所以f(x)max≤t2-2mt+1,
将恒成立问题转化为函数的最值问题.
即t2-2mt≥0,设g(m)=t2-2mt.
又因为对任意的m∈[-1,1]都有g(m)=t2-2mt≥0,所以g(m)min≥0.
由函数g(m)=t2-2mt的图像是直线得,g(m)min为g(-1)或g(1),
因此g(-1)≥0,且g(1)≥0,
即t2+2t≥0,且t2-2t≥0,
解得t≤-2或t≥2或t=0,故选D.
8.答案　(0,4)
解析　函数f(x)=x3+x+1不具有奇偶性,令g(x)=x3+x,则g(x)的定义域是R,定义域关于原点对称,又g(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-g(x),
构造函数g(x)进行转化.
所以g(x)是奇函数,此时f(x)=g(x)+1.
因为对任意的x,都有f(x2+a)+f(ax)>2,所以对任意的x,都有g(x2+a)+g(ax)>0,即g(x2+a)>g(-ax).
利用函数的奇偶性进行转化.
因为函数y=x3和函数y=x在R上都是增函数,所以g(x)在R上是增函数,所以g(x2+a)>g(-ax)对任意的x恒成立,即x2+a>-ax对任意的x恒成立,即x2+ax+a>0对任意的x恒成立,所以Δ=a2-4a<0,解得0利用函数的单调性脱去“f”.
所以a的取值范围是(0,4).
将一元二次不等式恒成立转化为根的判别
式为负数求值.
思想方法
转化与化归思想在本章中的主要应用有:解决方程的解的个数、不等式恒成立或有解问题,利用函数的单调性比较大小、解不等式求参数的取值范围等.要注意转化的过程也是一个探索的过程,抓住函数的内在联系,通过一步一步地转化才能使得结果慢慢显现出来.