高中数学北师大版（2019）必修 第一册第四章 对数函数与对数运算：对数及其运算换底公式提升训练（含解析）

换底公式
基础过关练
题组一　对数的概念及其性质
1.(2021上海嘉定高一上期中联考)若a>0且a≠1,将指数式a2b=N转化为对数式为 (　　)
A.loN= B.b=logaN2
C.b=loN D.b=loga
2.已知a>0,且a≠1,下列说法中正确的是 (　　)
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①③ B.②④
C.② D.①②③④
3.若log2[log3(log4x)]=0,则x等于 (　　)
A.4 B.16 C.64 D.256
4.(2020河北辛集中学高一期中)若log32=x,则3x+9x的值为 (　　)
A.6 B.3 C. D.
5.(2020吉林梅河口三校高一上期末联考)计算:lo4+=　　　　.
6.若对数式log(x-1)(x+3)有意义,则x的取值范围为　　　　.
题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形
7.已知ab>0,有下列四个等式:
①lg(ab)=lga+lgb;②lg=lga-lgb;③lg=lg;④lg(ab)=.其中正确的是 (　　)
A.①②③④ B.①② C.③④ D.③
8.log29·log34的值为 (　　)
A.14 B.12 C.2 D.4
9.已知2x=9,log2=y,则x+2y的值为 (　　)
A.6 B.8 C.4 D.log48
10.已知=,log74=b,则log4948=　　　　(用含a,b的式子表示).
11.计算:
(1)(log43+log83)×;
(2)+log4(-)2.
题组三　对数运算的综合运用
12.(2021江西吉安安福二中、吉安三中、泰和二中高一上联考)设lg2=a,lg3=b,则log1210= (　　)
A. B. C.2a+b D.2b+a
13.(2020湖北仙桃、天门、潜江高一下期末联考)若2a=3,3b=4,4c=ab,则abc= (　　)
A. B.1 C.2 D.4
14.若log34·log48·log8m=ln,则m的值为　　　　.
15.计算eln3+lo25+(0.125的值为　　　　.
16.方程lg(4x+2)=lg2x+lg3的解是　　　　　　　.
17.已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lgE-11.4).若A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,则A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的　　　　倍.
18.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,2x=py.
(1)求p的值;
(2)求证:-=.
能力提升练
一、选择题
1.已知lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=ex+b(b为常数),则f(-ln2)等于 (　　)
A.- B.1 C.-1 D.-3
3.已知函数f(x)=,则f(lg3)+f= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.9
4.已知m>0,n>0,k=log2m=log4n=log8(4m+3n),则k= (　　)
A.-2 B.2 C.- D.
5.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30) (　　)
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
二、填空题
6.2log39-eln1+=　　　　.
7.lg4+2lg5=　　　　;若loga2=m,loga3=n,则=　　　　.
8.已知2a=5b=m,且+=2,则实数m的值为　　　　.
9.已知2a=3,3b=7,则log756=　　　　(用含a,b的式子表示).
三、解答题
10.(2021河南新乡高一上期中联考)计算:
(1)+×-;
(2)++log69×log62+ln.
11.求值:
(1)××+lg-;
(2)(log25+log40.2)(log52-log250.5).
12.设a>0,且a≠1,x,y满足logax+3logxa-logxy=3,用logax表示logay,并求当x取何值时,logay取得最小值.
参考答案：
基础过关练
1.C 2.C 3.C 4.A 7.D
8.D 9.A 12.A 13.B
1.C　由a2b=N,可得2b=logaN,解得b=logaN=loN.故选C.
2.C　对于①,当M=N≤0时,logaM,logaN都没有意义,故不成立;对于②,logaM=logaN,则必有M>0,N>0,M=N;对于③,当M,N互为相反数且不为0时,也有logaM2=logaN2,但此时M≠N;对于④,当M=N=0时,logaM2,logaN2都没有意义,故不成立.
综上,只有②正确.
3.C　由log2[log3(log4x)]=0得log3(log4x)=1,∴log4x=31=3,∴x=43=64,故选C.
4.A　由log32=x得3x=2,
因此9x=(3x)2=4,
所以3x+9x=2+4=6,故选A.
5.答案　2
解析　lo4+=-2+4=2.
6.答案　(1,2)∪(2,+∞)
解析　若log(x-1)(x+3)有意义,则解得x>1且x≠2.
7.D　①②式成立的前提条件是a>0,b>0;④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立.
8.D　log29·log34=×=×=4,故选D.
9.A　由2x=9,得x=log29,∴x+2y=log29+2log2=log29+log2=log264=6.
10.答案　
解析　由=得a=log73,又b=log74,
∴log4948==
==.
11.解析　(1)原式=×
=×+×
=+=.
(2)原式=×+log4(-)2
=lo×lo9+log4(3++3--2)
=×+log4(6-2×2)
=×+log42
=-+log22
=-+=-1.
12.A　log1210===,故选A.
13.B　由2a=3得a=log23,由3b=4得b=log34,∴ab=log23×log34=2,∴4c=ab=2,∴c=,∴abc=2×=1.故选B.
14.答案　
解析　因为log34·log48·log8m=ln,由换底公式可得··=-1,所以lgm=-lg3,故m=.
15.答案　11
解析　原式=eln3+lo52+
=3+log55+(2-3=3+4+4=11.
16.答案　x=0或x=1
解析　原方程可化为lg(4x+2)=lg(2x×3),从而可得4x+2=2x×3,令t=2x(t>0),则方程可化为t2+2=3t,即t2-3t+2=0,解得t=1或t=2,即2x=1或2x=2,所以x=0或x=1.经检验,x=0与x=1都是原方程的解.
17.答案　10
解析　设A地和B地地震释放的能量分别为E1,E2,
则9=(lgE1-11.4),8=(lgE2-11.4),
所以lgE1=24.9,lgE2=23.4,
从而lgE1-lgE2=1.5,
即lg=1.5,
所以=101.5=10,
即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10 倍.
18.解析　设3x=4y=6z=t,则t>0,且t≠1,
∴x=log3t,y=log4t,z=log6t.
(1)∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·.
∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.
(2)证明:∵-=-=logt6-logt3=logt2,
又==·logt4=·2logt2=logt2,∴-=.
能力提升练
1.B 2.C 3.A 4.B 5.B
一、选择题
1.B　由一元二次方程根与系数关系得,lga+lgb=2,lga·lgb=,所以=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×=2.故选B.
2.C　由f(x)在R上是奇函数,知f(0)=e0+b=0,即b=-1,
∴f(-ln2)=-f(ln2)=-(eln2-1)=-1,故选C.
3.A　依题意得f(lg3)+f
=+=+
=+==1,故选A.
4.B　由题得log2m=log2n=log2(4m+3n),
所以
即整理,得m3=4m+3m2.
因为m>0,所以m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1(舍),
当m=4时,n=16,k=log24=2.故选B.
5.答案　B
信息提取　①2020年全年投入研发资金130万元;②每年投入的研发资金比上一年增长12%.
数学建模　本题以资金投入的增长为背景,构建指数函数模型,再利用指数与对数的关系转化为对数运算求解.
解析　设x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,则130(1+12%)x>200,即1.12x>,解得x>log1.12,所以x>≈=3.8,所以x>3.8,
故2024年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.故选B.
二、填空题
6.答案　7
解析　2log39-eln1+=4log33-1+22=7.
7.答案　2;2
解析　lg4+2lg5=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2lg(2×5)=2lg10=2.
由loga2=m得am=2,由loga3=n得an=3,
∴=am·(an=2×=2.
8.答案　
解析　由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m,因此+=+=logm2+logm5=logm10=2,∴m2=10,又m>0,∴m=.
9.答案　
解析　由2a=3两边同时取对数,得lg2a=lg3,即alg2=lg3,
同理,由3b=7,得blg3=lg7,
所以lg7=ablg2,
因此log756====.
三、解答题
10.解析　(1)原式=+×-2=2+9-2=9.
(2)原式=(log63)2+(log62)2+2log63·log62+=(log63+log62)2+=1+=.
11.解析　(1)××+lg-=××+lg10-2-2=2-2-2=-2.
(2)(log25+log40.2)(log52-log250.5)=log25+log20.2log52-log50.5
=log52-log5
=log2×log52=×
=×=.
12.解析　由换底公式,得logax+-=3,
整理,得(logax)2+3-logay=3logax,∴logay=(logax)2-3logax+3=logax-2+,∴当logax=,即x=时,logay取得最小值,为.