高中数学北师大版（2019）必修 第一册第三、四章 指数函数与对数函数：综合拔高训练（含解析）

指数函数与对数函数综合拔高练
五年高考练
考点1　指数式与对数式的恒等变形
1.设alog34=2,则4-a= (　　)
A. B.
C. D.
2.已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则 (　　)
A.aC.b3.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为　　 (　　)
A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1
考点2　指数函数、对数函数的综合运用
4.若2x-2y<3-x-3-y,则 (　　)
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
5.在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0,且a≠1)的图像可能是 (　　)
6.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
7.若a>b>1,0A.acC.alogbc8.函数f(x)=的定义域为　　　　.
9.已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　.
考点3　含参数的指数函数、对数函数问题的解法
10.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
11.已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=　　　　.
12.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a=　　　　.
13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　.
三年模拟练
1.已知a=,b=,c=ln3,则 (　　)
A.aC.b2.函数f(x)=的部分图像大致为 (　　)
3.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=-,则函数y=[f(x)]的值域是 (　　)
A.{0,1} B.{-1,1}
C.{-1,0} D.{-1,0,1}
4.若函数f(x)=log3(x2+ax+a+5),f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[-3,-2] B.[-3,-2)
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2)
5.当1≤x≤2时,不等式(x-1)2≤logax恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
6.已知函数f(x)=若f(a)≥f,则实数a的取值范围是　　　　.
7.(1)求值:÷10+(-1)0-;
(2)求函数f(x)=4x-2x+1-3(x∈[-1,1])的最值.
8.已知y=f(x)是定义在R上的函数,x<0,有f(x)<0,若对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1.
(1)用定义证明函数f(x)在R上是增函数;
(2)解不等式:f(lox)+f(log2x)<2.
9.20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式:M=lgA-lgA0,其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg5≈0.6990)
(1)根据中国地震台网测定,2019年9月27日01时17分,新疆某地发生地震,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30,此时标准地震的振幅是0.001,试估计这次地震的震级(精确到0.1);
(2)2008年5月12日在我国四川省汶川地区发生特大地震,根据中华人民共和国地震局的数据,此次地震的里氏震级达8.0级,地震烈度达到11度.此次地震的地震波已确认共环绕了地球6圈.地震波及大半个中国及亚洲多个国家和地区,北至辽宁,东至上海,南至香港、澳门、泰国、越南,西至巴基斯坦均有震感.请计算汶川地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的多少倍
参考答案：
五年高考练
1.B 2.A 3.A 4.A 5.D
6.D 7.C 10.D
1.B　∵alog34=2,∴a=2log43=log23,∴4-a====,故选B.
2.A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则==log53·log58<=<1,∴a又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135,∴c>.
又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)综上所述,c>b>a,故选A.
3.A　依题意,m1=-26.7,m2=-1.45,所以lg=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg=25.25×=10.1,所以=1010.1.故选A.
4.A　由2x-2y<3-x-3-y,得2x-3-x<2y-3-y,
令f(t)=2t-3-t.∵y=2x为R上的增函数,y=3-x为R上的减函数,∴f(t)为R上的增函数,∴x∵y-x>0,∴y-x+1>1,∴ln(y-x+1)>0,故A正确,B错误;
∵|x-y|与1的大小不确定,故C、D无法确定.故选A.
思想方法
本题考查对数式的大小的判断问题,解题的关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到x,y的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.
5.D　对于函数y=loga,当y=0时,有x+=1,得x=,即y=loga的图像恒过定点,排除选项A、C;函数y=与y=loga在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.
解题方法
掌握基本初等函数的图像和性质,利用排除法求解是解答本题的关键.
6.D　函数f(x)=的图像如图所示:
由f(x+1)∴x<0,故选D.
7.C　解法一:由a>b>1,0bc,A错;
∵0∴bc-1>ac-1,又ab>0,∴ab·bc-1>ab·ac-1,即abc>bac,B错;
易知y=logcx是减函数,∴0>logcb>logca,
∴logbc由logbc-logac>0,又a>b>1>0,∴-alogbc>-blogac>0,∴alogbc解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.
8.答案　[2,+∞)
解析　要使函数f(x)有意义,必须满足解得x≥2,所以函数f(x)的定义域为[2,+∞).
9.答案　-2
解析　依题意得f(-x)=ln(+x)+1.
∵f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,
∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=-2.
10.D　由x2-4x-5>0,得x>5或x<-1,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).
因为函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,
所以a≥5,故选D.
11.答案　-7
解析　∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,
∴f(3)=log2(9+a)=1,
∴a+9=2,∴a=-7.
12.答案　-3
解析　由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函数可知f(-x)=-f(x),
∴x>0时,f(x)=-f(-x)=-[-ea(-x)]=e-ax,则f(ln2)=e-aln2=8,
∴-aln2=ln8=3ln2,∴a=-3.
13.答案　
解析　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),所以f(2|a-1|)>f(),所以2|a-1|<,解得三年模拟练
1.A 2.B 3.D 4.A
1.A　a===,因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<<1,
所以alne=1,所以a2.B　由题意得f(x)的定义域为R,排除C,D;
当x≥-2时,f(x)==.∵0<<1,∴f(x)在[-2,+∞)上单调递减,排除A.故选B.
3.D　函数f(x)=-=-∈.
当-当0≤f(x)<1时,y=[f(x)]=0;当1≤f(x)<时,y=[f(x)]=1,
∴函数y=[f(x)]的值域是{-1,0,1},故选D.
解题模板
新定义题型的特点:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求学生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
4.A　令u=x2+ax+a+5,则g(x)=log3u在定义域上为增函数.
要使f(x)在区间(-∞,1)上是减函数,根据复合函数“同增异减”原则,知u(x)在区间(-∞,1)上是减函数,同时需保证最大值u(1)≥0,所以解得-3≤a≤-2.
故选A.
5.答案 　(1,2]
解析　根据题意画出图像,如图所示:
由图可知,当x∈[1,2]时,不等式(x-1)2≤logax恒成立,则函数y=logax为增函数,且有loga2≥1,所以解得16.答案　∪
解析　函数f(x)=的图像如图所示:
当0当1当0-log2a≥log2,
解得综上可得,实数a的取值范围是∪.
7.解析　(1)原式=(lg25+2lg2)÷(102+1-
=2(lg5+lg2)÷10+1-
=+1-=+1-=.
(2)由题知f(x)=(2x)2-2×2x-3.
令t=2x,由-1≤x≤1得≤t≤2,
∴y=t2-2t-3=(t-1)2-4.
∴当t=1,即2x=1,x=0时,f(x)min=-4;
当t=2,即2x=2,x=1时,f(x)max=-3.
8.解析　(1)证明:任取x1、x2∈R,且x1∴f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)
=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).
∵x<0,有f(x)<0,又x1∴f(x1-x2)<0,∴f(x1)∴函数f(x)在R上是增函数.
(2)∵f(x+y)=f(x)+f(y),且f(2)=1,
∴2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),
又f(lox)+f(log2x)<2,
∴f∴f∵函数y=f(x)在定义域R上单调递增,
∴log2x<4,即log2x<8,解得0故原不等式的解集为{x|09.信息提取　①里氏震级M计算公式为M=lgA-lgA0;②新疆某地发生地震,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是30,此时标准地震的振幅是0.001;③汶川地震的里氏震级达8.0级.
数学建模　本题以地震的里氏震级为背景,构建对数函数模型,借助对数运算解决与地震相关的问题.
解析　(1)根据题意,得M=lg30-lg0.001=lg30000=4+lg3≈4.5.
因此,这次地震的震级约为4.5.
(2)由M=lgA-lgA0可得
M=lg,则A=A0·10M,
当M=8.0时,地震的最大振幅为A1=A0·108,
当M=5.0时,地震的最大振幅为A2=A0·105,
所以,两次地震的最大振幅之比是=103=1000.
答:8.0级地震的最大振幅是5.0级地震的最大振幅的1000倍.