高中数学北师大版（2019）必修 第一册第四章对数函数与对数运算：对数函数图像与性质的应用 提升训练（含解析）

对数函数图像与性质的应用
基础过关练
题组一　对数函数的最大(小)值与值域问题
1.函数y=log0.2(2x+1)的值域为 (　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.[0,+∞) D.(-∞,0]
2.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是 (　　)
A.0C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1
3.(2020河北师大附中高一上期中)下列函数中,值域为R的是 (　　)
A.y=2x B.y=x-1
C.y= D.y=lg(x-2)
4.已知函数f(x)=log3·log3(27x),其中x∈.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)求函数f(x)的单调区间.
题组二　指数函数与对数函数的关系
5.函数y=与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是 (　　)
A.ab=1 B.a+b=1
C.a=b D.a-b=1
6.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)= (　　)
A.log2x B.
C.lox D.2x-2
7.点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的反函数的图像上,则f= (　　)
A.-2 B.2
C.-1 D.1
8.(2020浙江嘉兴中学高一上期中)在同一坐标系中,函数y=与y=loga(-x)(a>0,且a≠1)的图像可能是 (　　)
题组三　对数函数性质的综合运用
9.已知x∈(e-1,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>b>c D.b>a>c
10.已知函数f(x)=2lox的定义域为[2,4],则函数f(x)的值域是　　　　.
11.若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是　　　　　　.
12.若loa>1,则a的取值范围是　　　　　　;若logb<1(b>0,且b≠1),则b的取值范围是　　　　　　.
13.不等式lo(4x+)>0的解集为　　　　　.
14.(2021安徽师大附中高一上月考)记函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=lg[(x-a-1)·(x-a+1)]的定义域为集合B.
(1)求集合B;
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
15.已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值;
(2)解不等式lo(x-1)>lo(a-x);
(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.
能力提升练
一、选择题
1.已知函数y=f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a的值为 (　　)
A.-e B.- C. D.e
2.已知奇函数f(x)在R上是增函数,若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.aC.c3.指数函数f(x)与g(x)的图像关于直线y=x对称,且g(x)的图像过点(5,3),则f(6)= (　　)
A.5 B.10 C.25 D.125
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数m满足f(log2m)+f(lom)≤2f(1),则m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2] B.
C. D.(0,2]
5.(2021陕西西安高陵一中、田家炳中学高一上联考)已知函数 f(x)=lg,则f(x) (　　)
A.既不是奇函数也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是奇函数,且在R上单调递增
C.既不是奇函数也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.是偶函数,且在R上单调递减
6.若一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点,那么称这个点为“好点”.下列四个点P1(1,1),P2(1,2),P3,P4(2,2)中,“好点”的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若函数f(x)=+1(x∈[-2,-1]∪[1,2])的最大值为M,最小值为N,则M+N= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2021四川泸州一诊)我国的5G通信技术领先世界,5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式,香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中,计算最大信息传送速率C的公式:C=W·log2,其中W是信道带宽(赫兹),S是信道内所传信号的平均功率(瓦),N是信道内部的高斯噪声功率(瓦),其中叫作信噪比.根据此公式,在不改变W的前提下,将信噪比从99提升至λ,使得C大约增加了60%,则λ的值大约为(参考数据:100.2≈1.58) (　　)
A.1559 B.3943 C.1579 D.2512
二、填空题
9.已知loga>0,若≤,则实数x的取值范围为　　　　　　.
10.若函数f(x)=log2kx2+(2k-1)x+的值域为R,则实数k的取值范围为　　　　　.
11.若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是　　　　.
12.若x∈时,4x三、解答题
13.(2020陕西咸阳实验中学高一上月考)已知函数f(x)=lo是奇函数,a∈R.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并说明理由;
(3)若任意x∈[3,4],不等式f(x)>+m恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案：
基础过关练
1.B 2.C 3.D 5.A 6.A
7.C 8.C 9.B
1.B　设u=2x+1,因为2x+1>1,且y=log0.2u是减函数,u=2x+1为增函数,所以log0.2(2x+1)2.C　令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,得函数t=x2-2kx+k的图像一定恒与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.
3.D　y=2x的值域为(0,+∞),A错误;y=x-1的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),B错误;
y==2-,其值域为(-∞,2)∪(2,+∞),C错误;y=lg(x-2)的值域为R,D正确.故选D.
4.解析　(1)由题得f(x)=log3·log3(27x)=(-1+log3x)(3+log3x),x∈.令t=log3x,t∈[-2,1],
则g(t)=(-1+t)(3+t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[-2,1].
当t=-1时,g(t)min=g(-1)=-4;
当t=1时,g(t)max=g(1)=0.
所以函数f(x)的值域为[-4,0].
(2)由(1),知t=log3x在x∈上为增函数,且g(t)=(t+1)2-4在t∈[-2,-1]上为减函数,在t∈[-1,1]上为增函数,
所以当t∈[-2,-1],即x∈时,f(x)为减函数;
当t∈[-1,1],即x∈时,f(x)为增函数.
综上,f(x)的单调减区间为,f(x)的单调增区间为.
5.A　由函数y=与y=logbx互为反函数,得=b,化简,得ab=1,故选A.
6.A　依题意得f(x)=logax(a>0,a≠1),由f(2)=1得loga2=1,即a=2,因此f(x)=log2x,故选A.
7.C　因为点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的反函数的图像上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图像上,因此loga4=2,即4=a2,又a>0,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f=log2=-1.
8.C　函数y=的图像过点(0,1),函数y=loga(-x)的图像过点(-1,0),只有C选项符合,故选C.
9.B　∵x∈(e-1,1),∴lnx∈(-1,0),∴a∈(-1,0),b∈(1,2),c∈(e-1,1),∴b>c>a.故选B.
10.答案　[-4,-2]
解析　∵y=lox在(0,+∞)上是减函数,∴当2≤x≤4时,lo4≤lox≤lo2,即-2≤lox≤-1,∴-4≤2lox≤-2,∴函数f(x)的值域是[-4,-2].
11.答案　(1,2)
解析　∵y=log0.5x是减函数,
∴log0.5(m-1)>log0.5(3-m)

∴112.答案　;∪(1,+∞)
解析　由loa>1=lo得,0由logb<1=logbb得,当0b,此时01时,1,所以b的取值范围是∪(1,+∞).
13.答案　(-∞,log2(-1))
解析　由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,
所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x14.解析　(1)使函数g(x)有意义,需使(x-a-1)(x-a+1)>0.
∵a-1a+1.
∴B={x|xa+1}.
(2)由已知,得 A={x|1-2x≥0}={x|x≤0},又A∩B=A,∴A B,
由(1)知,B={x|xa+1},
∴a-1>0,
∴a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞).
15.解析　(1)∵loga3>loga2,∴a>1,
∴y=logax在[a,2a]上为增函数,
∴loga(2a)-logaa=1,∴a=2.
(2)依题意可知解得1∴所求不等式的解集为.
(3)∵g(x)=|log2x-1|,
∴当log2x-1≥0,即x≥2时,g(x)=log2x-1;当log2x-1<0,即0∴函数g(x)在(0,2)上为减函数,在[2,+∞)上为增函数,
即g(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为[2,+∞).
能力提升练
1.C 2.C 3.C 4.C 5.A
6.B 7.C 8.C
一、选择题
1.C　由y=h(x)的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称,知h(x)=-f(x),
∴f(a)=-h(a)=-1,
故点(a,-1)在f(x)的图像上,
又f(x)与g(x)互为反函数,
∴(-1,a)在g(x)的图像上,
∴e-1=a,即a=,故选C.
2.C　∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴a=-f=f(log25),又b=f(log24.1),c=f(20.8),1<20.8<23.C　设f(x)=ax(a>0,a≠1),则g(x)=logax(a>0,a≠1),依题意得loga5=3,即a3=5,因此a=,∴f(6)=()6=()6=52=25,故选C.
4.C　依题意得f(log2m)+f(lom)≤2f(1)
f(log2m)+f(-log2m)≤2f(1) f(log2m)≤f(1) f(|log2m|)≤f(1) |log2m|≤1 -1≤log2m≤1 log2≤log2m≤log22 ≤m≤2,故选C.
5.A　要使函数有意义,需使>0,即ex>,∴e2x>1,即2x>0,解得x>0,
∴函数f(x)的定义域为(0,+∞),定义域不关于原点对称,∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
∵y=ex,y=-e-x=-是增函数,
∴y=是增函数,
又y=lgx是增函数,∴函数f(x)=lg在(0,+∞)上单调递增.
故选A.
6.B　设指数函数为y=ax(a>0,a≠1),对数函数为y=logbx(b>0,b≠1).对于对数函数,当x=1时,y=0,则P1,P2不是对数函数图像上的点,∴P1,P2不是“好点”;将P3的坐标代入指数函数和对数函数的解析式得解得a=b=,
∴P3是指数函数y=和对数函数y=lox的交点,∴P3是“好点”;
同理,将P4的坐标代入函数解析式得
解得a=b=,∴P4是“好点”.
∴“好点”的个数为2,故选B.
7.C　设F(x)=f(x)-=-=,
则F(x)在x∈[-2,-1]∪[1,2]上是奇函数.
因此F(x)max+F(x)min=0,
所以M+N=f(x)max+f(x)min=F(x)max++F(x)min+=0+3=3.故选C.
8.答案　C
信息提取　①C=W·log2;②在不改变W的前提下将信噪比从99提升至λ,使得C大约增加了60%.
数学建模　本题以5G通信技术为背景,构建对数函数模型,利用对数函数知识求解.
解析　由题意得≈60%,
则≈1.6,1+λ≈1001.6=103.2=103×100.2≈1580,∴λ≈1579.
故选C.
二、填空题
9.答案　(-∞,-3]∪[1,+∞)
解析　由loga>0,得loga>loga1,
因此0所以由≤a-1可得x2+2x-4≥-1,
即x2+2x-3≥0,
解得x≤-3或x≥1.
所以x的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).
10.答案　∪[1,+∞)
解析　设u=kx2+(2k-1)x+的值域为A,y=log2u的定义域为B,则B=(0,+∞).当k=0时,u=-x+,A=R,则A∩B=(0,+∞),函数f(x)的值域为R,符合题意;当k≠0时,依题意得k>0,B A,因此(2k-1)2-4×k×≥0,解得k≤或k≥1,此时k的取值范围是∪[1,+∞).
综上所述,实数k的取值范围为∪[1,+∞).
11.答案　[-1,2)
解析　当x≥1时,lnx≥0,
从而1+lnx≥1.
设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,
则(-∞,1) B,
因此
解得-1≤a<2.
故a的取值范围是[-1,2).
12.答案　
解析　由题意得,当0当a>1时,不符合题意,舍去.
所以实数a的取值范围是.
三、解答题
13.解析　(1)∵f(x)是奇函数,∴定义域关于原点对称,
由>0,得(x-1)(1-ax)>0.
令(x-1)(1-ax)=0,得x1=1,x2=,
∴=-1,解得a=-1.
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.
理由如下:由(1)知,f(x)=lo.
令u(x)==1+,设任意x1,x2∈(1,+∞),且x1则u(x1)-u(x2)=.
∵10,x2-1>0,x2-x1>0,
∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2).
又对任意x1,x2∈(1,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=lo-lo
=lou(x1)-lou(x2),
由函数y=lox在定义域内单调递减,得lou(x1)∴f(x1)-f(x2)=lou(x1)-lou(x2)<0,即f(x1)∴f(x)=lo在(1,+∞)上单调递增.
(3)由题意,知lo->m,x∈[3,4]时恒成立,
令g(x)=lo-,x∈[3,4],
由(1),知y=lo在[3,4]上为增函数,
又y=-在[3,4]上也是增函数,
故g(x)在[3,4]上为增函数,
∴g(x)的最小值为g(3)=lo2-=-,∴m<-,
故实数m的取值范围是.