高中数学北师大版（2019）必修 第一册第四章 对数函数与对数运算：对数函数的图像与性质 提升训练（含解析）

对数函数的图像与性质
基础过关练
题组一　对数函数的概念
1.下列函数表达式中,是对数函数的有 (　　)
①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知函数f(x)=loga(x+2)(a>0,且a≠1),若其图像过点(6,3),则f(2)的值为 (　　)
A.-2 B.2 C. D.-
3.设集合A={x|y=lgx},B={y|y=lgx},则下列关系中正确的是 (　　)
A.A∪B=A B.A∩B=
C.A=B D.A B
4.(2021广东东莞七校高一上联考)函数f(x)=log2(x-1)+的定义域为　　　　.(结果用区间表示)
5.已知对数函数f(x)的图像过点(4,2),求f及f(2lg2)的值.
题组二　与对数函数图像有关的问题
6.为了得到函数f(x)=log2x的图像,只需将函数g(x)=log2的图像 (　　)
A.向上平移3个单位长度
B.向下平移3个单位长度
C.向左平移3个单位长度
D.向右平移3个单位长度
7.(2020陕西延安吴起高中高一上期中)函数y=|lg(x+1)|的图像是 (　　)
8.函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一平面直角坐标系中的图像大致是 (　　)
9若点(a,b)在函数f(x)=lnx的图像上,则下列点中,不在函数f(x)图像上的是 (　　)
A. B.(a+e,1+b)
C. D.(a2,2b)
10.(2021江西南昌五校高一上期中联考)函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图像过一定点,则这个定点坐标是 (　　)
A.(2,4) B.(4,2) C.(1,4) D.(2,5)
11.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像,已知a取,,,,则对应C1,C2,C3,C4的a值依次为 (　　)
A.,,, B.,,,
C.,,, D.,,,
题组三　与对数函数单调性有关的问题
12.函数y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上的单调性为 (　　)
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
13.已知函数f(x)=loga|x+1|在(-1,0)上有f(x)>0,那么 (　　)
A.f(x)在(-∞,0)上是增函数
B.f(x)在(-∞,0)上是减函数
C.f(x)在(-∞,-1)上是增函数
D.f(x)在(-∞,-1)上是减函数
14.(2020浙江91高中联盟高一上期中)若a>b>0,0A.ca>cb B.logcaC.ac15.(2021重庆南开中学高一上月考)函数f(x)=ln(x2-4)的递增区间是　　　　.
16.(2020湖南益阳六中高一上期中)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
17.设函数f(x)=loga,其中0(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;
(2)若f(x)>1,求x的取值范围.
18.若函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,求实数a的取值范围.
能力提升练
一、选择题
1.函数y=loga(x-1)+loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图像必过定点 (　　)
A.(,0) B.(0,-)
C.(,0) D.(-,0)
2.设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a、b、c的大小关系是 (　　)
A.aC.b3.(2020湖南茶陵三中高一下月考)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图像如图所示,则函数g(x)=loga(x-b)的图像大致是 (　　)
4.为了得到函数y=log4的图像,只需把函数y=log2x图像上的所有点 (　　)
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
5.函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是 (　　)
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
6.若0A.f>f(2)>f B.f>f(2)>f
C.f>f>f(2) D.f(2)>f>f
二、填空题
7.已知函数f(x)=lg(x2+2ax-5a)在[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围为　　　　.
8.函数f(x)=+lo(x+1)的定义域是　　　　　　　　.
9.已知函数f(x)=对定义域中任意的x1,x2,当x1f(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.
三、解答题
10.已知函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1).
(1)若函数y=f(x)的图像经过点P(3,4),求a的值;
(2)比较f与f(-2.1)的大小,并写出比较过程;
(3)若f(lga)=100,求a的值.
11.已知函数f(x)=+lg.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)在定义域内的单调性,并根据函数单调性的定义证明;
(3)解关于x的不等式f-1-lg3>0.
　　　　　　　　　　　　
参考答案：
基础过关练
1.B 2.B 3.D 6.A 7.A
8.C 9.B 10.A 11.C 12.C
13.C 14.B
1.B　①中,自变量出现在底数,∴①不是对数函数;
②中,底数a∈R不能保证a>0,且a≠1,∴②不是对数函数;
由于⑤⑦的真数分别为x+2,x+1,
∴⑤⑦也不是对数函数;
⑥中,log4x的系数为2,∴⑥也不是对数函数;
只有③④符合对数函数的定义.故选B.
2.B　将(6,3)代入函数f(x)的解析式,得3=loga(6+2)=loga8,
即a3=8,∴a=2,
∴f(x)=log2(x+2),∴f(2)=log2(2+2)=2.
3.D　因为A={x|y=lgx}表示函数y=lgx的定义域,即A=(0,+∞),B={y|y=lgx}表示函数y=lgx的值域,即B=R,所以A B,故选D.
4.答案　(1,4]
解析　要使函数f(x)=log2(x-1)+有意义,则解得1故函数的定义域为(1,4].
5.解析　设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则2=loga4,故a=2,则f(x)=log2x,
因此f=log2=-1,f(2lg2)=log22lg2=lg2.
6.A　因为函数g(x)=log2=log2x-log28=log2x-3,所以只需将函数g(x)=log2的图像向上平移3个单位长度,即可得到函数f(x)=log2x的图像,故选A.
7.A　由题意,函数y=|lg(x+1)|的定义域为x∈(-1,+∞),其中,当x=0时,y=|lg(0+1)|=|lg1|=0.故选A.
8.C　f(x)=1+log2x的图像是由y=log2x的图像向上平移1个单位长度得到的,且过点(1,1),g(x)=2-x+1=的图像是由y=的图像向右平移1个单位长度得到的,且过点(0,2),故只有C选项中的图像符合.
9.B　因为点(a,b)在f(x)=lnx的图像上,所以b=lna,所以-b=ln,1-b=ln,2b=2lna=lna2,故选B.
10.A　令x-1=1,则x=2,此时f(2)=4+loga1=4,所以函数f(x)=4+loga(x-1)(a>0,且a≠1)的图像恒过定点(2,4),故选A.
11.C　解法一:C1,C2对应的对数函数的底数都大于1,当x>1时底数大的图低,所以C1,C2对应的a分别为,,C3,C4对应的对数函数的底数都小于1,当x<1时底数大的图高,所以C3,C4对应的a分别为,.综合以上分析,可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为,,,.故选C.
解法二:如图,作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以C1,C2,C3,C4对应的a值依次为,,,.故选C.
12.C　当x>2时,函数f(x)=log2|x-2|=log2(x-2),又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+∞)上也是增函数,故y=log2|x-2|在区间(2,+∞)上单调递增,故选C.
13.C　当x∈(-1,0)时,|x+1|∈(0,1).
∵loga|x+1|>0,∴0画出f(x)的大致图像如图,
由图可知选C.
14.B　解法一:∵0b>0,∴cab>0,∴logcab>0,∴ac>bc,故C错误;
∵0b>1时,logac>logbc,故D错误.故选B.
解法二:特殊值法.取a=4,b=2,c=,则ca=,cb=,∴cabc,排除C;logac=-,logbc=-1,∴logac>logbc,排除D;易知选B.
15.答案　(2,+∞)
解析　函数f(x)=ln(x2-4)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
令t=x2-4,则函数t=x2-4在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
又函数y=lnt单调递增,所以函数f(x)=ln(x2-4)在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.
易错提醒
求与对数函数有关的复合函数的单调性时,要注意“定义域优先”的原则,即在函数的定义域范围内求单调区间.
16.解析　(1)由题知,ax-1>0,即ax>1,
当a>1时,ax>1的解集是(0,+∞);
当01的解集是(-∞,0);
所以当a>1时,f(x)的定义域是(0,+∞);
当0(2)令u=ax-1,则当a>1时,y=logau是增函数,u=ax-1是增函数,从而函数f(x)=loga(ax-1)在(0,+∞)上是增函数,
同理,当017.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(a,+∞),
且令0∵00,
∴g(x1)-g(x2)<0,
∴g(x1)又∵0∴f(x)是(a,+∞)上的减函数.
(2)∵loga>1,∴0<1-∴1-a<<1,
又∵00,
∴a∴x的取值范围是.
18.解析　令u=x2-ax+a,y=lou显然为减函数,要使函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,)上是增函数,需满足u=x2-ax+a在区间(-∞,)上是减函数,且恒大于0,
则
解得2≤a≤2+2,
故实数a的取值范围是[2,2+2].
能力提升练
1.C 2.C 3.B 4.C 5.A
6.C
一、选择题
1.C　由得x>1,∴y=loga(x-1)+loga(x+1)(a>0,且a≠1)的定义域为(1,+∞),
∴y=loga(x2-1)(a>0,且a≠1,x>1).
令x2-1=1,得x2=2,又x>1,∴x=.
当x=时,y=loga[()2-1]=0,
因此y=loga(x-1)+loga(x+1)的图像必过定点(,0),故选C.
2.C　由y=log0.7x是减函数,且0.7<0.8<1得,log0.70.7>log0.70.8>log0.71,即0由y=log1.1x是增函数,且0.9<1得,
log1.10.9由y=1.1x是增函数,且0.9>0得,
1.10.9>1.10=1,即c>1.
因此,b3.B　解法一:结合题中二次函数的图像可知,a>1,-1解法二:结合题中二次函数的图像可知,a>1,-14.C　因为y=lo=log2(x-3)-1,
所以将y=log2x的图像向右平移3个单位长度,可以得到y=log2(x-3)的图像;再将所得图像向下平移1个单位长度,可以得到y=log4的图像,故选C.
5.A　∵x2+2x-3>0,∴x>1或x<-3.
设t=x2+2x-3,∵t=x2+2x-3在(-∞,-3)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
且y=log2t在(0,+∞)上是增函数,
∴函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(-∞,-3),故选A.
6.C　因为0f==loga,
f==loga.
因为0f>f(2),故选C.
二、填空题
7.答案　[-2,4)
解析　由函数f(x)=lg(x2+2ax-5a)在[2,+∞)上是增函数,
可得解得-2≤a<4,即a的取值范围为[-2,4).
8.答案　(-1,1)∪(1,2]
解析　要使函数f(x)有意义,则需满足即
解得-1故函数f(x)的定义域是(-1,1)∪(1,2].
9.答案　
解析　依题意得函数f(x)在定义域内递减,则解得0三、解答题
10.解析　(1)∵函数y=f(x)的图像经过点P(3,4),∴a3-1=4,即a2=4,
又∵a>0,∴a=2.
(2)当a>1时,f>f(-2.1);
当0由题得,f=f(-2)=a-3,f(-2.1)=a-3.1.
当a>1时,y=ax在(-∞,+∞)上为增函数,∵-3>-3.1,∴a-3>a-3.1,
即f>f(-2.1);
当0-3.1,∴a-3即f(3)由f(lga)=100知,alga-1=100,
∴lgalga-1=2(或lga-1=loga100),
∴(lga-1)·lga=2,
∴lg2a-lga-2=0,
∴lga=-1或lga=2,
∴a=或a=100.
11.解析　(1)要使函数f(x)有意义,
则需满足解得0因此函数f(x)的定义域为(0,4).
(2)f(x)在区间(0,4)上单调递减.
下面给予证明:
任取x1,x2∈(0,4),且x1则f(x1)-f(x2)=+lg--lg
=+lg.
∵0∴>0,4x2-x1x2>4x1-x1x2,
∴>1,
∴lg>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在区间(0,4)上单调递减.
(3)∵f(1)=1+lg3,
∴原不等式等价于f>f(1).
由题(2)知,f(x)在(0,4)上单调递减,
∴0由x(3-x)>0得x(x-3)<0,
解得0由x(3-x)<1得x2-3x+2>0,
解得x<1或x>2,
∴原不等式的解集为(0,1)∪(2,3).