北师大版九年级数学下册试题 第二章 二次函数 单元测试卷 （含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册试题 第二章 二次函数 单元测试卷 （含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-23 09:43:28 | ||
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文档简介
第二章《二次函数》单元测试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一块缺角矩形地皮（如图），其中．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的实验大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为，则S关于的函数图象大致是（ ）
B．
C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 3
y n 3 3
当n＜0时，下列结论中一定正确的有（ ）个．
①abc＜0；②若点(﹣2，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为9，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
9．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
11．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，则（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误
12．如图，抛物线y＝x2+7x﹣与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C1将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______．
14．如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为_．
15．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ___．
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），与y轴交于点A．把抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处，点A平移至点D处，则两条抛物线、对称轴EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积为 ___．
17．如图所示，从高为2m的点处向右上抛一个小球，小球路线呈抛物线形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，己知m，m，m，若小球弹起形成一条与形状相同的抛物线，且落点与，在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是_______________________m
18．如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB＝．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．说法正确的是__________．
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣t2+9t；
⑤若△BPQ 的面积是四边形 OABC 的面积的，则时间t＝2或t＝．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2a﹣1（a≠0）与平行于x轴的一条直线交与A，B两点．
（1）若抛物线的图象过（0，1），求a的值；
（2）若点A的坐标为（﹣1，﹣3），求点B的坐标；
（3）若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线的顶点M到点N的距离为3，求抛物线的解析式．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像回答下列问题：
（1）观察图像，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为 ；
（3）观察图像，当函数值小于0时，自变量x的取值范围为 ．
22．如图1，抛物线G：y＝﹣x2+bx+c经过点B(6，0)，顶点为A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点(0，8)，若点P为x轴上方的抛物线上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
答案
一、选择题。
C．A．B．D．A．B．C．B．A．B．B．A．
二、填空题。
13．
14．．
15．．
16．2
17．
18．①③④⑤
三、解答题
19．
（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
20．
解：（1）将点（0，1）代入抛物线解析式得
，解得
故答案为；
（2）由抛物线解析式，可得
抛物线的对称轴为
由题意可得：关于对称轴对称
∵点A的坐标为（﹣1，﹣3）
∴点的坐标为
故答案为；
（3）根据题意可得的纵坐标为，
点都在对称轴上，∴
当点在点的上方时，顶点M到点N的距离为3，则
将代入抛物线解析式得，，解得
此时抛物线解析是为
当点在点的下方时，顶点M到点N的距离为3，则
将代入抛物线解析式得，，解得
此时抛物线解析式为
所以抛物线解析式为或
21．
解：（1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
此时x的范围为；
故答案为；
（2）由二次函数与一元二次方程的关系可得，
两点的横坐标为一元二次方程的两个根，
由图像可得点的横标为，且两点关于对称
所以点的横坐标为
∴一元二次方程的两个根为，
故答案为，；
（3）当函数值小于0时，函数图像在轴的下方，即在点的左侧或点的右侧
此时x的范围为或
故答案为或．
22．
（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，
当x＝2时，y＝﹣x2+x+3＝4，即抛物线G的顶点A的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式为y＝kx+t，
把A、B两点的坐标代入上式中得：，解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
设C的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），
∴
设△ACH与△BCH的边CH上的高分别为h1和h2，则
设△ABC面积为S，
则
=×4×（﹣x2+2x-3）＝﹣（x﹣4）2+2，
故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；
（3）由于抛物线G的顶点为（2，4），
则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为y＝﹣x2+4，
令y＝﹣x2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），
设点P的坐标为（p，﹣p2+4），
设直线PE的解析式为：，
把点P、E的坐标代入上式得：，解得：，
∴直线PE的表达式为y＝﹣（p﹣4）x+4 p，
当y＝8时，即y＝﹣（p﹣4）x+4 p＝8，解得x＝＝m，
同理可得：n＝，
故mn＝﹣16．
23．
解：（1）依题意，当时，；时，，
当时，设，
则有，解得，
与的关系式为：．
（2）依题意，
，
，
整理得，，
当时，
随增大而增大，
时，取最大值，
当时，
，
，
时，取得最大值，此时，
综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元．
（3）依题意，
，
第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，
对称轴，得，
故的最小值为3．
24．
证明（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴，DH=AH，
∴，
∴△DHQ∽△ABC．
解：（2）在Rt△ABC中AB=，BP的长为x，AQ=BP=x，点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，AQ=QD=BP=PE= x，
①如图1，当时， ED=，
∵HQ⊥AB，
∴∠AQH=∠C=90°，
∵∠QAH=∠CAB，
∴△QAH∽△CAB，
∴即
∴QH=，
此时．
②如图2，当时，
∵ED=，QH=，
此时．
∴y与x之间的函数解析式为；
解：（3）等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后，
D、E相遇前，当DH=DE时，QD=x，QH=，
∴DH=，DE=5-4x，
∴，
解得；
当ED=EH时，AE=5-BE=5-2 x，QE=5-3 x，QH=，
在Rt△QBE中，，
解得；
当DE=DH时，，
解得；
当EH=DH时，
∵HQ⊥ED，
∴EQ=DQ，
∵EQ=EB-QB=2x-(5-x)=3x-5，
∴3x-5=x，
解得x=；
当x的值为，，时，△HDE是等腰三角形．
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上均不正确
2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝bx在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．有一块缺角矩形地皮（如图），其中．现准备用此块地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的实验大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正方形ABCD的边长为1．E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为，则S关于的函数图象大致是（ ）
B．
C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 3
y n 3 3
当n＜0时，下列结论中一定正确的有（ ）个．
①abc＜0；②若点(﹣2，y1)，D(π，y2)在该抛物线上，则y1＜y2；③n＜4a；④对于任意实数t，总有4（at2+bt）≤9a+6b．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而增大，且当时，的最大值为9，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
9．如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10．如图，抛物线与抛物线交于点，且它们分别与轴交于点、．过点作轴的平行线，分别与两抛物线交于点、，则以下结论：
①无论取何值，总是负数；
②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当时，随着的增大，的值先增大后减小；
④四边形为正方形．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③
11．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，则（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误
12．如图，抛物线y＝x2+7x﹣与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C1将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是______．
14．如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为_．
15．有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x2﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x2+bx+1＝0有解的概率为 ___．
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点B（3，0），C（4，3），与y轴交于点A．把抛物线向上平移，使得顶点E落在x轴上点F处，点A平移至点D处，则两条抛物线、对称轴EF和y轴围成的图形（图中阴影部分）的面积为 ___．
17．如图所示，从高为2m的点处向右上抛一个小球，小球路线呈抛物线形状，小球水平经过2m时达到最大高度6m，然后落在下方台阶B处弹起，己知m，m，m，若小球弹起形成一条与形状相同的抛物线，且落点与，在同一直线上，则小球弹起时的最大高度是_______________________m
18．如图①，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB＝．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图②中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．说法正确的是__________．
①点Q的运动速度为3cm/s；
②点B的坐标为（9，18）；
③线段EF段的函数解析式为S＝t；
④曲线FG段的函数解析式为S＝﹣t2+9t；
⑤若△BPQ 的面积是四边形 OABC 的面积的，则时间t＝2或t＝．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
（2）完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数
（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2a﹣1（a≠0）与平行于x轴的一条直线交与A，B两点．
（1）若抛物线的图象过（0，1），求a的值；
（2）若点A的坐标为（﹣1，﹣3），求点B的坐标；
（3）若直线AB与抛物线的对称轴交于点N，与y轴交点的纵坐标为﹣1，且抛物线的顶点M到点N的距离为3，求抛物线的解析式．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像回答下列问题：
（1）观察图像，当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围为 ；
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为 ；
（3）观察图像，当函数值小于0时，自变量x的取值范围为 ．
22．如图1，抛物线G：y＝﹣x2+bx+c经过点B(6，0)，顶点为A，对称轴为直线x＝2．
（1）求抛物线G的解析式；
（2）若点C为直线AB上方的抛物线上的动点，当ABC面积最大时，求C点的坐标；
（3）如图2，将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，平移后的抛物线与x轴交于点E、F，平行于x轴的直线l经过点(0，8)，若点P为x轴上方的抛物线上的动点，分别连接EP、FP，并延长交直线l于M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．
23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H，当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动，设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
答案
一、选择题。
C．A．B．D．A．B．C．B．A．B．B．A．
二、填空题。
13．
14．．
15．．
16．2
17．
18．①③④⑤
三、解答题
19．
（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，
第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，
第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，
第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，
由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；
（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
每个图中小圆圈的总数 1 7 19 37 61
（3）结合（1）（2）可知，与之间的函数关系为：
首尾相加得
．
20．
解：（1）将点（0，1）代入抛物线解析式得
，解得
故答案为；
（2）由抛物线解析式，可得
抛物线的对称轴为
由题意可得：关于对称轴对称
∵点A的坐标为（﹣1，﹣3）
∴点的坐标为
故答案为；
（3）根据题意可得的纵坐标为，
点都在对称轴上，∴
当点在点的上方时，顶点M到点N的距离为3，则
将代入抛物线解析式得，，解得
此时抛物线解析是为
当点在点的下方时，顶点M到点N的距离为3，则
将代入抛物线解析式得，，解得
此时抛物线解析式为
所以抛物线解析式为或
21．
解：（1）观察函数图像可得，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
此时x的范围为；
故答案为；
（2）由二次函数与一元二次方程的关系可得，
两点的横坐标为一元二次方程的两个根，
由图像可得点的横标为，且两点关于对称
所以点的横坐标为
∴一元二次方程的两个根为，
故答案为，；
（3）当函数值小于0时，函数图像在轴的下方，即在点的左侧或点的右侧
此时x的范围为或
故答案为或．
22．
（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；
（2）连接AC、BC，过点C作y轴的平行线交AB于点H，
当x＝2时，y＝﹣x2+x+3＝4，即抛物线G的顶点A的坐标为（2，4），
设直线AB的表达式为y＝kx+t，
把A、B两点的坐标代入上式中得：，解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+6，
设C的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点H（x，﹣x+6），
∴
设△ACH与△BCH的边CH上的高分别为h1和h2，则
设△ABC面积为S，
则
=×4×（﹣x2+2x-3）＝﹣（x﹣4）2+2，
故当x＝4时，△ABC面积最大，则点C（4，3）；
（3）由于抛物线G的顶点为（2，4），
则将抛物线G向左平移至顶点在y轴上，抛物线G′的表达式为y＝﹣x2+4，
令y＝﹣x2+4＝0，解得x＝±4，故点E、F的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0），
设点P的坐标为（p，﹣p2+4），
设直线PE的解析式为：，
把点P、E的坐标代入上式得：，解得：，
∴直线PE的表达式为y＝﹣（p﹣4）x+4 p，
当y＝8时，即y＝﹣（p﹣4）x+4 p＝8，解得x＝＝m，
同理可得：n＝，
故mn＝﹣16．
23．
解：（1）依题意，当时，；时，，
当时，设，
则有，解得，
与的关系式为：．
（2）依题意，
，
，
整理得，，
当时，
随增大而增大，
时，取最大值，
当时，
，
，
时，取得最大值，此时，
综上所述，为32时，当天的销售利润（元最大，最大利润为4410元．
（3）依题意，
，
第31天到第35天的日销售利润（元随的增大而增大，
对称轴，得，
故的最小值为3．
24．
证明（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴，DH=AH，
∴，
∴△DHQ∽△ABC．
解：（2）在Rt△ABC中AB=，BP的长为x，AQ=BP=x，点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，AQ=QD=BP=PE= x，
①如图1，当时， ED=，
∵HQ⊥AB，
∴∠AQH=∠C=90°，
∵∠QAH=∠CAB，
∴△QAH∽△CAB，
∴即
∴QH=，
此时．
②如图2，当时，
∵ED=，QH=，
此时．
∴y与x之间的函数解析式为；
解：（3）等腰三角形分两类情况，D、E相遇前与相遇后，
D、E相遇前，当DH=DE时，QD=x，QH=，
∴DH=，DE=5-4x，
∴，
解得；
当ED=EH时，AE=5-BE=5-2 x，QE=5-3 x，QH=，
在Rt△QBE中，，
解得；
当DE=DH时，，
解得；
当EH=DH时，
∵HQ⊥ED，
∴EQ=DQ，
∵EQ=EB-QB=2x-(5-x)=3x-5，
∴3x-5=x，
解得x=；
当x的值为，，时，△HDE是等腰三角形．