北师大版九年级数学下册试题 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 （含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册试题 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 （含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 729.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-23 09:45:45 | ||
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文档简介
第一章《直角三角形的边角关系》单元测试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于( )
A．2 B．3
C．4 D．
2．如图所示，在矩形ABCD中，，，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如果，那么＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线上顺次截取，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结、、，则下列说法错误的是（ ）
A．为等边三角形 B．的面积为
C． D．
7．如图给出了一种机器零件的示意图，其中米、米，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为（ ）
A． B．×22020 C．×22021 D．×22019
12．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．已知是锐角，，则________．
14．已知是的三个内角，若，且均为锐角，则的度数为__________．
15．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
16．已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB＝5，tan∠BAC＝，则△ABC的底边长为_________．
17．如图，已知菱形ABCD的对角线经过原点O，且∠B＝60°，A、C分别在双曲线y＝的图象上，若B在双曲线y＝的图象上，则k的值为_____．
18．如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝3，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为______．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少
20．如图，在△ABC中，BC＝，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．
21．（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①_______；
②_______；
③_______；
④_______；
⑤_______．
猜想：已知，则_______；
（2）如图，在中，，请根据提示，利用面积方法验证结论．
22．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端沿斜坡走了26米到达坡顶处，在坡顶处看建筑物的顶端D的仰角为35°，然后小李沿斜坡走了米到达底部点，已知建筑物上有一点，在处看建筑物点的仰角为18°，（点、、、、、在同一平面内）建筑物顶端到的距离长度为28.8米，（参考数据：，，，）
（1）求小李从斜坡走到处高度上升了多少米．
（2）求建筑物的高度．
23．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若，．
①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；
②若，则熨烫台的高度h=__________；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．
（参考数据：，，，
24．边长为4的正方形与边长为的正方形如图1摆放，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，．
（1）如图1，与的关系为______；
（2）如图2，连接，，判断是否为定值．若是，求这个定值；若不是，说明理由；
（3）当旋转到，，三点共线时，请直接写出此时的值．
答案
一、选择题。
B.A．B．A．B．B.C.A．D．A．B．D．
二、填空题。
13．．
14．75°．
15．米
16．或8．
17．﹣9．
18．．
三、解答题
19．
解：作DE⊥AB于E，如图，
∴∠AED=∠DEB=90°
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，
∴
在Rt△BED中，，
∴BE=5x，
∴，
∴
∴
20．
解：作AD⊥BC与D，如图，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴BD＝AD＝x，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
而BD＋CD＝BC，
∴x＋x＝，解得x＝2，
即AD＝2，
∴△ABC的面积＝×＝ ．
21．
（1）①=；
②=；
③=；
④=；
⑤=．
猜想：已知，则=；
（2）证明：图1中，
∵，
∴，
又∵，
∴；
图2中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．
解：（1）过作，
∵的坡比，
设，
∴在中，
∴，
∴；
答：小李从斜坡走到处高度上升了10米．
（2）延长角的水平边交于则，
在中，
设，在中，，
∴
∵四边形是矩形，
∴
又∵，
在中，，
，
；
∴；
答：建筑物的高度为40.8米．
23．
解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE=∠AOC=×120°=60°，AC=2AE．
在Rt△AEO中，OE=OA=40（cm），
AE=AO sin∠AOE=80×=40（cm），
∴AC=2AE=80．
答：AC的长为80cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，
∴OF=OB=×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，
∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
在Rt△ABF中，AB===160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．
24．
（1）证明：∵四边形与为正方形，
，，
在和中，，
，
∴∠CBG＝∠CDE，
∵∠CBG＋∠BGC＝90°，
又∵∠DGH＝∠BGC，
∴∠EDC＋∠DGH＝90°，
∴∠DHG＝180° 90°＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）解：连接，，设，交于点，，交于点，
，，，
在和中，，．
，，
，
，由勾股定理得，，
，
，，，，
．
（3）①分类讨论，情况一，如下所示：
作于点，
为等腰直角三角形，
，且，
在中，，
，
，
．
．
②分类讨论，情况二，如下所示：
作于点，
为等腰直角三角形，
，且，
在中，，
，
，
，
，
．
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BD是AC边上的高线，DC＝1，则BD的长等于( )
A．2 B．3
C．4 D．
2．如图所示，在矩形ABCD中，，，点C沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，线段BE交AD于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如果，那么＝（ ）．
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线上顺次截取，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结、、，则下列说法错误的是（ ）
A．为等边三角形 B．的面积为
C． D．
7．如图给出了一种机器零件的示意图，其中米、米，则的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．如图，在中，，，平分交于点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．在RtABC中，∠A＝90°，tan∠C＝，E为AC上一点，且CE＝5AE，点D为BC中点，把CDE沿ED翻折到FDE，且EG＝，则DF的长度为（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，已知中，，，分别为，的中点，连结，过作的平行线与的角平分线交于点，连结，若，，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，有一个，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍（即OA1＝2OA）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到，则的长度为（ ）
A． B．×22020 C．×22021 D．×22019
12．如图1，为矩形边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点C时停止，点Q从点B出发沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（ ）
A．当时， B．
C．当时， D．当时，
二、填空题：本题共6个小题，每小题3分，共18分。
13．已知是锐角，，则________．
14．已知是的三个内角，若，且均为锐角，则的度数为__________．
15．如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8米，则树高AB为多少？___．（结果保留根号）
16．已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB＝5，tan∠BAC＝，则△ABC的底边长为_________．
17．如图，已知菱形ABCD的对角线经过原点O，且∠B＝60°，A、C分别在双曲线y＝的图象上，若B在双曲线y＝的图象上，则k的值为_____．
18．如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝3，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为______．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少
20．如图，在△ABC中，BC＝，∠B＝30°，∠C＝45°，求△ABC的面积．
21．（1）通过用计算器计算，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：
①_______；
②_______；
③_______；
④_______；
⑤_______．
猜想：已知，则_______；
（2）如图，在中，，请根据提示，利用面积方法验证结论．
22．如图，在建筑物的左边有一个小山坡，坡底、同建筑底端在同一水平线上，斜坡的坡比为，小李从斜坡底端沿斜坡走了26米到达坡顶处，在坡顶处看建筑物的顶端D的仰角为35°，然后小李沿斜坡走了米到达底部点，已知建筑物上有一点，在处看建筑物点的仰角为18°，（点、、、、、在同一平面内）建筑物顶端到的距离长度为28.8米，（参考数据：，，，）
（1）求小李从斜坡走到处高度上升了多少米．
（2）求建筑物的高度．
23．有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度，图2是这种升降熨烫台的平面示意图，和是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，，，表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若，．
①点O到的距离为__________，的长为__________（结果保留根号）；
②若，则熨烫台的高度h=__________；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为时，两根支撑杆的夹角是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆的长度．
（参考数据：，，，
24．边长为4的正方形与边长为的正方形如图1摆放，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为，连接，．
（1）如图1，与的关系为______；
（2）如图2，连接，，判断是否为定值．若是，求这个定值；若不是，说明理由；
（3）当旋转到，，三点共线时，请直接写出此时的值．
答案
一、选择题。
B.A．B．A．B．B.C.A．D．A．B．D．
二、填空题。
13．．
14．75°．
15．米
16．或8．
17．﹣9．
18．．
三、解答题
19．
解：作DE⊥AB于E，如图，
∴∠AED=∠DEB=90°
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，
∴
在Rt△BED中，，
∴BE=5x，
∴，
∴
∴
20．
解：作AD⊥BC与D，如图，
设AD＝x，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，
∴BD＝AD＝x，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝x，
而BD＋CD＝BC，
∴x＋x＝，解得x＝2，
即AD＝2，
∴△ABC的面积＝×＝ ．
21．
（1）①=；
②=；
③=；
④=；
⑤=．
猜想：已知，则=；
（2）证明：图1中，
∵，
∴，
又∵，
∴；
图2中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．
解：（1）过作，
∵的坡比，
设，
∴在中，
∴，
∴；
答：小李从斜坡走到处高度上升了10米．
（2）延长角的水平边交于则，
在中，
设，在中，，
∴
∵四边形是矩形，
∴
又∵，
在中，，
，
；
∴；
答：建筑物的高度为40.8米．
23．
解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO=CO=80cm，
∴∠AOE=∠AOC=×120°=60°，AC=2AE．
在Rt△AEO中，OE=OA=40（cm），
AE=AO sin∠AOE=80×=40（cm），
∴AC=2AE=80．
答：AC的长为80cm；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO=90°，∠FBO=30°，
∵OB=20cm，
∴OF=OB=×20=10（cm），
∴h=OF+OE=10+40=50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF=128cm，
∵AO=CO，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
在Rt△ABF中，AB===160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．
24．
（1）证明：∵四边形与为正方形，
，，
在和中，，
，
∴∠CBG＝∠CDE，
∵∠CBG＋∠BGC＝90°，
又∵∠DGH＝∠BGC，
∴∠EDC＋∠DGH＝90°，
∴∠DHG＝180° 90°＝90°，
∴BG⊥DE．
（2）解：连接，，设，交于点，，交于点，
，，，
在和中，，．
，，
，
，由勾股定理得，，
，
，，，，
．
（3）①分类讨论，情况一，如下所示：
作于点，
为等腰直角三角形，
，且，
在中，，
，
，
．
．
②分类讨论，情况二，如下所示：
作于点，
为等腰直角三角形，
，且，
在中，，
，
，
，
，
．